解析几何中的定点问题.docx

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1、1、已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.（）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；（）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将代入， 消去整理得 设 则 由线段中点的横坐标是， 得，解得，适合. 所以直线的方程为 ，或 . （）解：假设在轴上存在点，使为常数.当直线与轴不垂直时，由（）知 所以将代入，整理得 注意到是与无关的常数， 从而有， 此时 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时， 亦有 综上，在轴上存在定点。2、已知线段AB过轴上一点，斜率为，两端点A，B到轴距离之差为，（1）求以O为顶点，轴

2、为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；（2）设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点；解：（1）设抛物线方程为，AB的方程为，联立消整理，得；，又依题有，抛物线方程为；（2）设，的方程为；过，同理为方程的两个根；又，的方程为，显然直线过点3、已知椭圆的一个焦点是，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为 （i）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；（ii）求面积的取值范围。 解：（1）易得，则所以椭圆的标准方程为 （2）（I）不妨设直线方程为，与联立并消

3、去得：，设，则有，由关于轴的对称点为，得，根据题设条件设定点为，得，即，整理得，代入得 则定点为（II）由（I）中判别式，解得 ，而直线过定点所以记，易得在上位单调递减函数，得 4、在平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点, .()求动点的轨迹的方程；() 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、 的中点分别为求证：直线必过定点解：()依题意知，直线的方程为：点是线段的中点，且，是线段的垂直平分线 是点到直线的距离点在线段的垂直平分线， 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为： .7分() 设，直线AB的方程为则（1）（2）得，即， 代入方程，解得所以点的坐标为 同理可得：的坐标为 直线的斜率为，方程为，整理得， 显然，不论为何值，均满足方程，所以直线恒过定点第 5 页