四、高职不定积分教案(11页).doc

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1、-第四章第五章第六章 四、高职不定积分教案-第 11 页第七章 不定积分一、 基本要求：1、 理解原函数与不定积分的概念；2、 掌握不定积分的性质和了解不定积分的几何意义。二、 授课内容：4-1 原函数与不定积分一、 原函数 定义1 如果对任一，都有 或 则称为在区间I 上的原函数。例如：，即是的原函数。 ，即是的原函数。原函数存在定理：如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数，使得对任一，有。注1：如果有一个原函数，则就有无穷多个原函数。设是的原函数，则，即也为的原函数，其中为任意常数。注2：如果与都为在区间I 上的原函数，则与之差为常数，即 （C为常

2、数）注3：如果为在区间I 上的一个原函数，则（为任意常数）可表达的任意一个原函数。二、不定积分定义2 在区间I上，的带有任意常数项的原函数，成为在区间I上的不定积分，记为。如果为的一个原函数，则 ，（为任意常数）例1 因为 ， 得 例2 因为，时，；时，得 ，因此有例3 设曲线过点，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。解：设曲线方程为，其上任一点处切线的斜率为从而由，得，因此所求曲线方程为三、不定积分的性质由原函数与不定积分的概念可得：四、不定积分的几何意义不定积分的几何意义如图51所示：图 51设是的一个原函数，则在平面上表示一条曲线，称它为的一条积分曲线于是的不定积分表示一

3、族积分曲线，它们是由的某一条积分曲线沿着轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标的点处有互相平行的切线，其斜率都等于在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式，再从中确定一个满足条件 (称为初始条件)的原函数从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点的积分曲线例4 设曲线通过点，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线的方程解 设所求曲线的方程为，按题意有于是 因为这曲线通过点，代入上式可得故所求曲线的方程为小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式

4、的使用。三、 基本要求：3、 巩固不定积分的概念；4、 掌握不定积分的基本公式和不定积分的性质；5、 熟练掌握直接积分法。四、 授课内容：4-2 不定积分的概念与性质二、 不定积分的的基本公式及性质1、积分公式1) (为常数)2) ()3) 4) 5) 2、不定积分的性质性质1性质2，（为常数，）二、直接积分法例1 求解： 例2 求解： 例3 求解：例4求解：a) 求解：b) 求解：一、 基本要求：1、 了解换元积分法的基本思想；2、 熟练掌握第一类换元积分法和第二类换元积分法。二、 授课内容：4-3 换元积分法一、 第一类换元积分法（或称凑微分法）设为的原函数，即 或 如果 ，且可微，则即为

5、的原函数，或因此有定理1 设为的原函数，可微，则 (2-1)公式(2-1)称为第一类换元积分公式。例1 求 解：例2 求 解：例3 求 解：原式=例4 求 ， 解：例5 求 解：例6 求 解： 例7 求 解： 例8 求 解： 二、 第二类换元积分法定理2 设是单调的可导函数，且，又设 具有原函数，则 (2-2)其中为的反函数。公式(2-2)称为第二类换元积分公式。例9 求 ， 解：令 ，则 ，因此有例10 求 ，解：令 ，则 ，因此有其中。用类似方法可得例11 求 解： 小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一类换元法也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了

6、三种三角代换，即或，与，分别适用于三类函数，与。“倒代换”也属于第二类换元法。一、 基本要求：1、 熟悉不定积分的分部积分公式；2、 掌握三种不同类型函数的分部积分法。二、 授课内容：4-4 分部积分法一、分部积分法设 ，则有或 两端求不定积分，得或 即 (3-1) 或 (3-2)公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。例1 求 解： 例2 求 解： 注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为，其余部分取为。例3 求 解： 例4 求 解： 注2：由例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或

7、是幂函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为，其余部分取为。 例5 求 解： 因此得即 例6 求 解： 令 ，则 ，因此小结：本节学习了不定积分的分部积分法。对两类不同形式的被积函数给出了分部积分的参考原则，也讨论了分部方法与换元方法结合使用的例题。一、 基本要求：1、 了解积分表的结构；2、 掌握积分的使用方法。二、 授课内容：4-5积分表的使用方法例 1查表求解被积函数含 a + bx 因式，在积分表(一)类中，查到公式 9 ， 当 a = 3，b = 2 时，得例 2查表求解被积函数含 a + bsin x 因式，在积分表(十一)类中，查到公式 103 或 104

8、，因为a = 5，b = 4， a2 b2 .所以用公式 103， 得2.先进行变量代换，再查表例 3查表求解该积分在积分表中直接查不到，要进行变量代换，令 3x = t，于是有上式右端积分的被积函数中有在积分表(五)类中，查到公式 39，当 a = 2(x 相当于 t)时，得代入原积分中，得例 4查表求解被积函数中含三角函数，在积分表(十一)类中查到公式 97，递推公式为当 n = 4 时，原积分为等，都不能用初等函数表示.第八章 小结一、不定积分定义 在区间I上，的带有任意常数项的原函数，成为在区间I上的不定积分，记为。如果为的一个原函数，则 ，（为任意常数）由原函数与不定积分的概念可得：二、 不定积分的的基本公式及性质1、积分公式1) (为常数)2) ()3) 4) 5) 2、不定积分的性质性质1性质2，（为常数，）三、积分法1、直接积分法2、换元积分法（1）第一类换元积分法（2）第二类换元积分法3、分部积分法