面积的存在性问题.docx

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1、中考数学压轴题解题策略 面积的存在性问题解题策略2015年9月24日星期四专题攻略面积的存在性问题常见的题型与解题策略有两类：第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确例题解析例 如图1-1，矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物线yx26x10滑动，在滑动过程中CD/x轴，CD1，AB在CD的下方当点D在y轴上时，AB落在x轴上当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标图1-1【解析】先求出CB5，再进行两次转化，然后解方程把上下两部分的面积比为14转化为S上S全15或S上S全45

2、把面积比转化为点C的纵坐标为1或4如图1-2，C (3, 1)如图1-3，C(, 4)或(3, 4)图1-2 图1-3例 如图2-1，二次函数y(xm)2k的图象与x轴交于A、B两点，顶点M的坐标为(1,4)，AM与y轴相交于点C，在抛物线上是否还存在点P，使得SPMB=SBCM，如存在，求出点P的坐标图2-1【解析】BCM是确定的，PBM与三角形BCM有公共边BM，根据“同底等高的三角形面积相等”与“平行线间的距离处处相等”，过点C画BM的平行线与抛物线的交点就是点P一目了然，点P有2个由y(x1)24(x1)(x3)，得A(1,0)，B(3,0)由A、M，得C(0,2)如图2-2，设P(x

3、, x22x3)，由PC/BM，得CPEBMF所以解方程，得所以或图2-2例 如图3-1，直线yx1与抛物线yx22x3交于A、B两点，点P是直线AB上方抛物线上的一点，四边形PAQB是平行四边形，当四边形PAQB的面积最大时，求点P的坐标图3-1 【解析】PAB的面积最大时，平行四边形PAQB的面积也最大我们介绍三种割补的方法求PAB的面积：如图3-2，把PAB分割为两个共底PE的三角形，高的与等于A、B两点间的水平距离；如图3-3，用四边形PACB的面积减去ABC的面积；如图3-4，用直角梯形ABNM的面积减去两个直角三角形的面积我们借用图3-2介绍一个典型结论已知A(1,0)、B(2,

4、3)，设P(x,x22x3)SPABSPAESPBE当时，PAB的面积最大的几何意义是点E为AB的中点，这是一个典型结论同时我们可以看到，由于xBxA是定值，因此当PE最大时，PAB的面积最大图3-2 图3-3 图3-4例 如图4-1，在平行四边形ABCD中，AB3，BC5，ACAB，ACD沿AC方向匀速平移得到PNM，速度为每秒1个单位长度；同时点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为每秒1个单位长度；当PNM停止运动时，点Q也停止运动，如图4-2，设移动时间为t秒（0t4）是否存在某一时刻t，使SQMCS四边形ABQP14？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由图4-1 图4-2【解析

5、】两步转化，问题就解决了QMC与QPC是同底等高的三角形，QPC是ABC的一部分因此SQMCS四边形ABQP14就转化为SQPCSABC15，更进一步转化为SQPC如图4-3，解方程，得t2图4-3例 如图5-1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0, 1)，直线y2x4与抛物线相交于点B，与y轴交于点D将ABD沿直线BD折叠后，点A落在点C处（如图5-2），问在抛物线上是否存在点P，使得SPCD3SPAB？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由图1 图2【解析】由A(0, 1)，B(4, 4)，D(0,4)，可得ABAD5，这里隐含了四边形ADCB是菱形因此PCD与

6、PAB是等底三角形，而且两底CD/AB如果SPCD3SPAB，那么点P到直线CD的距离等于它到直线AB距离的3倍如果过点P与CD平行的直线与y轴交于点Q，那么点Q到直线CD的距离等于它到直线AB距离的3倍所以QD3QA点Q的位置有两个，在DA的延长线上或AD上如图5-3，过点Q画CD的平行线，得P，或如图5-4，过点Q画CD的平行线，得P，或图5-3 图5-4例 如图6-1，抛物线经过点E(6, n)，与x轴正半轴交于点A，若点P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形的面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？图6-1【解析】如图6-2，当点P在直线AE上方

7、的抛物线上，过点P作AE的平行线，当这条直线与抛物线相切时，PAE的面积最大这时我们可以在直线OE的上方画一条与OE平行的直线，这条直线与抛物线有2个交点P与P，满足SPAESPOESPOE设过点P与直线AE平行的直线为，联立，消去y，整理，得x216x8m0由0，解得m8因此方程x216x640的根为x1x28所以P(8, 2)如图6-3，作PHx轴于H，可以求得SS四边形OAPE95216图6-2 图6-3例 如图7-1，点P是第二象限内抛物线上的一个动点，点D、E的坐标分别为(0, 6)、(4, 0)若将“使PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”，请写出所有“好点”的个数图7-1【解析

8、】第一步，求PDE的面积S关于点P的横坐标x的函数关系式；第二步，分析S关于x的函数关系式如图7-2，SPDESPODSPOESDOE因此S是x的二次函数，对称轴为直线x6，S的最大值为13如图7-3，当8x0时，4S13所以面积的值为整数的个数为10当S12时，对应的x有两个解8, 4，都在8x0范围内所以“使PDE的面积为整数” 的 “好点”P共有11个图7-2 图7-3例 如图8-1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a, 3)（其中a4），射线OA与反比例函数的图象交于点P，点B、C分别在函数的图象上，且AB/x轴，AC/y轴试说明的值是否随a的变化而变化？ 图8-1【解析】如图8

9、-2，我们在“大环境”中认识这个问题，关系清清楚楚由于S1S2，所以SABOSACO所以B、C到AO的距离相等于是ABP与ACP就是同底等高的三角形，它们的面积比为1图8-2例 如图9-1，已知扇形AOB的半径为2，圆心角AOB90，点C是弧AB上的一个动点，CDOA于D，CEOB于E，求四边形ODCE的面积的最大值图9-1【解析】如图9-2，图9-3，设矩形ODCE的对角线交于点F，那么OF1为定值作OHDE于H，那么OHOF因为DE2为定值，因此当OH与OF相等时（如图9-4），DOE的面积最大，最大值为1所以矩形ODCE的面积的最大值为2图9-2 图9-3 图9-4例 如图10-1，在A

10、BC中，C90，AC6，BC8，设直线l与斜边AB交于点E，与直角边交于点F，设AEx，是否存在直线l同时平分ABC的周长与面积？若存在直线l，求出x的值；若不存在直线l，请说明理由图10-1【解析】先假设存在，再列方程，如果方程有解那么真的存在ABC的周长为24，面积为24如图10-2，点F在AC上，假设直线EF同时平分ABC的周长与面积，那么AEx，AF12x，解方程，得当，此时点F不在AC上所以取（如图10-3）如图10-4，点F在BC上，假设直线EF同时平分ABC的周长与面积，那么AEx，BE10x，BF12(10x)2x，方程整理，得此方程无实数根 图10-2 图10-3 图10-4第 9 页