8.2 动量定理.pdf

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1、8.2、质心与动量（、质心与动量（3-1） 1、质点系质心点的定义、质点系质心点的定义 m rm r ii c 321 332211 mmm rmrmrm r ccc c 刚体系统的质心点刚体系统的质心点(如含三个刚体的刚体系统如含三个刚体的刚体系统): 质心（质心（Center of mass） m xm x ii c m ym y ii c m zm z ii c 1 2 3 4 5 2、 质点质点(系系)的动量的动量 vmP 质点质点:质点系质点系: iiv mP cii rmrm cii vmvm cii amam m rm r ii c 特例特例:刚体刚体/刚体系统刚体系统 3322

2、11321 )( cccc vmvmvmvmmm 332211321 )( cccc rmrmrmrmmm 质点系的动量等于系统质量全部集中于质心时质心点的动量质点系的动量等于系统质量全部集中于质心时质心点的动量 1 678 321 332211 mmm rmrmrm r ccc c 5 9 10 例例8.2-1 |OA|=|AB|=L, 两杆两杆(匀质匀质)及滑块及滑块B的的质量质量 都为都为m, 已知已知, 求系统动量求系统动量. 解解 设系统质心坐标为（设系统质心坐标为（xc , yc), 则有：则有： 3 sin sin 2 1 sin 2 1 3 cos4 cos2cos 2 3 c

3、os 2 1 L mmm LmLm y L mmm LmLmLm x C C sin43 mLmvP xCx cos3 mLmvP yCy 34 /sinmLv xC 3 /cosLv yC 11 13 12 14 15 16 a b 习题习题1 图图a中圆轮作纯滚动中圆轮作纯滚动,质量为质量为m,质心点质心点C的偏心距的偏心距OC=r/2;图图 b为匀质圆轮绕轮心定轴转动，角速度为为匀质圆轮绕轮心定轴转动，角速度为；图；图c中匀质细杆质量中匀质细杆质量 为为m,长度为长度为L.求圆轮与细杆各自在图示时刻的动量（求圆轮与细杆各自在图示时刻的动量（v已知）已知） (讲解完毕讲解完毕) b 5 8

4、.2、质心运动定理与动量定理（、质心运动定理与动量定理（3-2） 其中第其中第i个质点受到的内力矢量和、外力矢量和个质点受到的内力矢量和、外力矢量和 依次表示为：依次表示为： )(e i F 质点受到内力质点受到内力(internal force 、外力、外力(external force )作用。作用。 )(i i F )()(i i e iii FFam )()( )( i i e i ii FF dt vmd )()(i i e iii FFam )()( )( i i e i ii FF dt vmd 0 )( i i F )(e ic Fam )( )( e i c F dt vmd

5、 5 9 cii rmrm cii vmvm cii amam m rm r ii c 1 234 6 7 8 10 11 特例特例:刚体刚体/刚体系统刚体系统 1) 刚体质量与质心点加速度刚体质量与质心点加速度的乘积等于它所受外力系主矢的乘积等于它所受外力系主矢; 2) 刚体系统中各成员刚体质量与自身质心点加速度乘积的矢量和刚体系统中各成员刚体质量与自身质心点加速度乘积的矢量和,等等 于系统所受外力的和于系统所受外力的和 )( 332211 e icccc Famamamam 定理定理8.2-1 质点系总质量与系统质心点加速度的乘积质点系总质量与系统质心点加速度的乘积，等于系统所受全部等于系

6、统所受全部 外力的和外力的和(即外力系主矢即外力系主矢), 这称为质点系质心运动定理这称为质点系质心运动定理; 质点系动量对时质点系动量对时 间的导数等于系统所受外力系的主矢间的导数等于系统所受外力系的主矢, 质点系动量的改变量等于系统所质点系动量的改变量等于系统所 受外力系主矢对时间的积分受外力系主矢对时间的积分(称为冲量称为冲量),这称为质点系动量定理。这称为质点系动量定理。 dtFvmvm e i t coc )( )( 0 )( )( e i c F dt vmd )(e ic Fam 8 11 12 13 Fox=？ iCiOi m aFm g 0 /2/2 1231234 Ox O

7、y F m am am aFm gm gm gm g 1234123 ()(/2/2) Oy Fmmmm gmmma 14 图1 15 16 17 图2 图3 图4 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 分析图分析图5、6中各匀质圆轮的受力情况中各匀质圆轮的受力情况(质量都为质量都为m) 2 emamGF cN 2 emGF N 静约束力附加约束力，或动约束力 Fam c 质心运动定律质心运动定律:Fam 牛顿第二定律牛顿第二定律: 18 19 图5 图6 2021 某特种电机转子质量为某特种电机转子质量为m,转速转速n=5万转万转/分钟分钟,偏心

8、距偏心距e=0.1mm. 附加约束力与电机自重的比值为：附加约束力与电机自重的比值为： 250 2 mg me )(e iyciyi Fam mgWNtme2cos2 2 tmemgWNcos22 2 22 图10 图7 图8 图9 23 24 25 解解 由质心运动定理得由质心运动定理得: c amgmNN 21 cossin 2 v mmg g v 2 tan mdH164. 0tan 例例8.2-2 如图如图11所示所示, 火车拐弯时为使两铁轨对车轮的支持力火车拐弯时为使两铁轨对车轮的支持力FN1和和 FN2都垂直于路基都垂直于路基, 外轨要高于内轨外轨要高于内轨. 试计算内外轨的合理高

9、度差试计算内外轨的合理高度差H,已已 知铁路的转弯半径知铁路的转弯半径=1000m, 列车规定时速列车规定时速v =120km/h(匀速匀速), 两铁轨两铁轨 之间标准轨距之间标准轨距d =1.435m. 图11 图12 26 27 28 29 (讲解完毕讲解完毕) 12 8.2、质心运动守恒定理与动量守恒定理（、质心运动守恒定理与动量守恒定理（3-3） 定理定理8.2-2 如果质点系所受外力系的主矢为零如果质点系所受外力系的主矢为零,则系统总动量保持不则系统总动量保持不 变变. 更为广泛的情况是更为广泛的情况是: 如果质点系所受外力系的主矢在某个方向上如果质点系所受外力系的主矢在某个方向上(

10、 例如例如x轴上轴上)分量为零分量为零,则系统总动量在该方向上的投影分量保持不变则系统总动量在该方向上的投影分量保持不变. 这就是质点系动量守恒定理这就是质点系动量守恒定理. 定理定理8.2-3 如果质点系所受外力系的主矢为零如果质点系所受外力系的主矢为零, 则系统质心点加速度为则系统质心点加速度为 零零: 保持静止或匀速直线运动状态保持静止或匀速直线运动状态; 或者说如果质点系所受外力系的主或者说如果质点系所受外力系的主 矢在某个方向上分量为零矢在某个方向上分量为零, 则系统质心点在该方向上加速度为零则系统质心点在该方向上加速度为零. 这称这称 为质点系质心运动守恒定理为质点系质心运动守恒定

11、理, 简称质心守恒定理简称质心守恒定理. (讲解完毕讲解完毕) 图图1中匀质中匀质细杆细杆AB长度为长度为L, 质量为质量为m, 从从=0位置由静止状态开始位置由静止状态开始 倾倒倾倒. 试确定倾倒过程中试确定倾倒过程中AB杆速度瞬心点杆速度瞬心点P和和B端点端点的轨迹的轨迹. sin 2 1 LxPcos 2 1 LyP 图图1 LxBsin 2 1 LyBcos 1 2 14 例例8.2-4 图图2中三角块中三角块A、B质量分别为质量分别为mA、mB, 贴合在一起放在水平面贴合在一起放在水平面 上上, 角已知角已知, 所有摩擦都不计所有摩擦都不计, 系统从静止开始运动系统从静止开始运动.

12、求求:(1)三角块三角块A的的 加速度加速度aA和和B相对于相对于A的加速度的加速度ar; (2)地面对三角块地面对三角块A的支持力的支持力. 动点动点: 滑块滑块B的质心点的质心点, 动系动系:固定在三棱柱固定在三棱柱A上上, aaa BAr 图2 图3 3 15 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 对滑块对滑块B: )(e iC Fam gmFaam BNrAB )( gmFamy Faamx BNrB NrAB cossin- sin)cos( 轴： 轴： gmFFam ATNAA gmFFy Famx ATN NAA cos0 sin-

13、轴： 轴： 对滑块对滑块A: 4个未知数个未知数: aA, ar , FN , FT; 解法解法1 3 4 5 图2 图3 6 7 8 9 10 16 对系统整体，由刚体系统质心运动定理得：对系统整体，由刚体系统质心运动定理得： TBArABAA Fgmgmaamam )( TBArB rABAA Fgmgmamy aamamx sin 0)cos 轴： （轴： 对滑块对滑块B:gmFaam BNrAB )( sincos gmamam BrBAA 沿斜面投影：沿斜面投影： 3个个方程方程3个个未知数未知数:aA, ar , FT; 解法解法2 图2 图3 3 11 12 13 14 15 1

14、7 g mm m a BA B A 2 sin sincos g mm mm a BA BA r 2 sin sin)( gm mm mm F A BA BA T 2 sin 图2 图3 18 例例8.2-5 图图2中三角块中三角块A、B质量分别为质量分别为mA、mB, 贴合在一起放在水平面贴合在一起放在水平面 上上, 角已知角已知, 摩擦系数都为摩擦系数都为f, 系统从静止开始运动系统从静止开始运动. 求求:(1)三角块三角块A的加的加 速度速度aA和和B相对于相对于A的加速度的加速度ar; (2)地面对三角块地面对三角块A的支持力的支持力. 动点动点: 滑块滑块B的质心点的质心点, 动系动

15、系:固定在三棱柱固定在三棱柱A上上, 图2 图3 3 19 对滑块对滑块B: )(e iC Fam gmFaam BNrAB )( gmFamy Faamx BNrB NrAB cossin- sin)cos( 轴： 轴： gmFFam ATNAA gmFFy Famx ATN NAA cos0 sin- 轴： 轴： 对滑块对滑块A: 4个未知数个未知数: aA, ar , FN , FT; 解法解法1 3 4 5 图2 图3 6 7 8 9 10 fFN fF N cos fF N sin fFN fF N cos fF N sin 对系统整体，由刚体系统质心运动定理得：对系统整体，由刚体系

16、统质心运动定理得： TBArABAA Fgmgmaamam )( TBArB rABAA Fgmgmamy aamamx sin 0)cos 轴： （轴： 对滑块对滑块B:gmFaam BNrAB )( sincos gmamam BrBAA 沿斜面投影：沿斜面投影： 3个个方程方程3个个未知数未知数:aA, ar , FT; 解法解法2 图2 图3 3 11 12 13 14 15 fF T fF T fFN fFN 21 22 对于包含对于包含n个物体的物体系统，可以对每个物体进行受力分析，列个物体的物体系统，可以对每个物体进行受力分析，列 出质心运动定理方程，再联立求解；也可以先整体再局部：分析系出质心运动定理方程，再联立求解；也可以先整体再局部：分析系 统整体受力情况，对整体列质心运动定理方程（推论统整体受力情况，对整体列质心运动定理方程（推论8.2-1），再），再 对其中的对其中的n-1个物体逐个进行受力分析，并列出质心运动定理方程个物体逐个进行受力分析，并列出质心运动定理方程 ，再联立求解。这有点类似于静力学中对物体系统平衡问题的分析，再联立求解。这有点类似于静力学中对物体系统平衡问题的分析 求解方法。求解方法。 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）