关于刚体平面运动动力学方程_理论力学若干概念的思考.pdf

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1、第6 期洪嘉振：关于刚体平面运动动力学方程 理论力学若干概念的思考731 关于刚体平面运动动力学方程 理论力学若干概念的思考 洪嘉振 1) (上海交通大学工程力学系，上海 200240) 摘要 目前不少理论力学教材都涉及刚体平面运动动力学方 程的教学内容，但有些教材在叙述上有许多值得商榷之处. 对这一重要的基本概念，本文提出作者的思考，供理论力学 教学的教师与学过此内容的学生讨论. 关键词 理论力学，教学研究，刚体平面运动，动力学方程 中图分类号：O311.2文献标识码：A doi：10.6052/1000-0879-15-236 前 言 刚体平面运动动力学方程是我国工科本科理论 力学的基本教

2、学内容.教育部力学基础课程教学指 导委员会每两年组织一次的青年教师讲课比赛，其 中约有两届曾以此作为讲课比赛决赛的选题.比较 遗憾，晋级参加比赛的教师在讲授这部分内容过程 中， 或多或少地都出现了概念性的错误.究其原因， 一是在理论力学教学中青年教师对静力学与运动学 的教学内容下的功夫比较多，而对动力学的教学内 容钻研比较少.二是目前一些理论力学的新教材或 再版教材中确实也存在一些概念论述上的问题. 在体系上，大多教材先后安排静力学、平面运 动刚体运动学与动力学三大定理等三方面的教学内 容，然后开始介绍刚体平面运动动力学方程的推导. 基本叙述过程如下. 如图1所示，定义惯性坐标系O-xryr，

3、过刚体 质心C建立刚体连体系C-xbyb.刚体的位形由质心 C的矢径rC的坐标xC, yC与姿态角来描述.刚 体所受的外力为平面力系，其主矢与对质心的主矩 分别为FR与MC= MCzz.根据质心运动定理， 有 m xC= FRx m yC= FRy (1) 刚体对质心的动量矩为LC= JC z，根据对质心的 动量矩定理 LC= MC，有 JC = MCz(2) 方程(1)与(2)构成刚体平面运动动力学方程. 图 1 刚体平面运动描述 在叙述的过程中，都提及作用于作平面运动刚 体的力系必须为平面力系.然而，根据常识，刚体 在受力的情况下其最基本的运动是三维的空间运动. 那么刚体在平面力系的作用下

4、是否一定作平面运动 呢？纵观上述的推导过程，是从刚体平面运动学出 发去套用动力学定理，把一个三维的动力学定理人 为地降为二维处理，这样做显然缺乏依据和说服力. 本文将刚体的平面运动视为刚体空间一般运动 的特殊情况，从刚体空间一般运动的角度推导刚体 平面运动动力学方程，从中考察刚体作平面运动的 条件. 本文于 20150906 收到. 1) 洪嘉振， 教授，主要从事计算多体系统动力学与控制科学研究和理论力学教学工作. E-mail： 引用格式：洪嘉振. 关于刚体平面运动动力学方程 理论力学若干概念的思考. 力学与实践, 2015, 37(6): 731-736 Hong Jiazhen. Dyn

5、amic equation for rigid body plane motion-about some concepts in theoretical mechanics. Mechan- ics in Engineering, 2015, 37(6): 731-736 732力学与实践2015 年 第37 卷 1一般运动刚体运动学概要 1 1.1刚体一般运动的分解 如图2所示，过定点O建立三维惯性基 er= (xryrzr)T，过刚体质心C建立刚体的连 体基eb= xb ybzbT与刚体的平动基es= (xsyszs)T . 图 2 刚体的连体基与位形 定义质心C的矢径为rC，刚体在惯性基

6、上的 位置可由其描述.rC在参考基er的3个坐标为 xC,yC,zC,可定义为刚体的位置坐标. 刚体相对于惯性基er的姿态如同刚体连体基 eb相对于惯性基er的姿态.由于平动基es始终与 惯性基er平行，因而，刚体相对于惯性基er的姿 态与相对于平动基es的姿态相同.就刚体姿态及其 变化而言， 刚体一般运动与刚体相对于基es绕质心 C作定点运动一致. 综上所述，刚体一般运动可分解为刚体随质心 C的平移运动与刚体绕质心C的定点运动. 1.2刚体姿态的描述 如上所述，利用刚体绕质心的定点运动可描述 一般运动刚体的姿态.由于平动基es与惯性基er 始终平行， 所以在描述一般运动刚体的姿态时， 可用

7、如图3所示惯性基替代平动基. 图 3 定点运动刚体 对于图3， 定义基er为刚体的初始姿态， 基eb 为刚体的当前姿态.欧拉有限转动定理指出，对于 刚体的前后两个姿态，存在一个单位矢量p和一个 有限转角，刚体从初始姿态绕该单位矢量转过此 有限角度可到达当前姿态.该单位矢量p称为一次 转动矢量， 角称为一次转动角.据此， 对于刚体的 当前姿态可用单位矢量p的3个坐标pi(i = 1,2,3) 与等4个标量来描述， 它们构成描述刚体的姿态 坐标.由于单位矢量3个坐标pi(i = 1,2,3)的平方 和为1，故4个坐标独立的只有3个. 根据欧拉有限转动定理可以采取下面的方法来 定义刚体的另一种姿态坐

8、标.其基本思想是初始连 体基eb与参考基er重合，连体基的当前姿态是由 其初始状态绕空间3个不同的基矢量(如图4所示) 分别连续作三次有限转动( )T)后实现.这3 个角称为欧拉角.刚体的当前姿态可用欧拉角作为 姿态坐标. 图 4 刚体的三次有限转动 1.3刚体姿态的变化 考虑时刻t的刚体姿态， 用连体基eb表示.经 过微小的时间间隔t， 连体基的姿态有一微小的变 化.刚体的新姿态用连体基e0b表示(见图5).由欧 拉有限转动定理， 实现由基eb到基e0b变化的一次 转动矢量记为p0，转过的一次转动角为一小量，记 为.定义刚体的平均角速度矢量为 0= t p0(3) 显然， 当时间间隔t取得越

9、小， 上述转动的时间历 程越接近刚体实际的瞬时运动情况.在t趋于零的 过程中， 一次转动矢量p0将趋于一个极限方位p， 该方位的转轴称为刚体在瞬时t的转动瞬轴，简称 为瞬轴. t趋于0时，平均角速度矢量的极限称为 刚体在瞬时t的角速度矢量，记为，即 def = lim t0 0= lim t0 t p0= p(4) 通过上述分析， 瞬轴通过质心C， 与刚体不固结.时 间不同，它的方位也不同. 从运动学角度，只需参考基与连体基基点的概念. 为了应用到后面动力学的描述，将惯性基与质心给以替代. 第6 期洪嘉振：关于刚体平面运动动力学方程 理论力学若干概念的思考733 图 5 刚体的角速度矢量 定义

10、角速度矢量在基er上对时间t的导数为刚 体的角加速度矢量，即 def = d dt (5) 刚体角速度矢量可以在惯性基er上投影,记为 = (xyz)T，也可以在连体基eb上投影，记 为0= 0 x 0 y 0 z T. 后者与姿态坐标欧拉角及 其导数间的关系为 0 x 0 y 0 z = sinsincos0 sincossin0 cos01 (6) 由上式可解得 = sin/sincos/sin0 cossin0 sin/tancos/tan1 0 x 0 y 0 z (7) 这是以姿态坐标欧拉角为变量的一阶微分方程，称 为刚体定点运动的欧拉运动学方程. 此外，有了基eb相对于基er的角速

11、度矢量 概念， 可以推得任意矢量b在基er与基eb上对时 间导数的关系，有 rd dtb = rd dtb + b 或 b = 。 b + b(8) 2一般运动刚体动力学概要 1 2.1惯量 质点的惯性度量为该质点的质量.对于质点 系， 度量其惯性的物理量之一为质点系的总质量. 在刚体上过点O建立一连体基e (见图6)，定 义 JOx def = X k mk y2 k+ z 2 k (9a) JOy def = X k mk z2 k+ x 2 k (9b) JOz def = X k mk x2 k+ y 2 k (9c) 分别为刚体关于Ox,Oy与Oz轴的转动惯量.定义 如下与转动惯量有

12、相同量纲的量 JOxy= JOyx def = X k mkxkyk(10a) JOyz= JOzy def = X k mkykzk(10b) JOzx= JOxz def = X k mkzkxk(10c) 称JOxy与JOyx为刚体关于Oxy平面的惯性积； 称JOyz与JOzy为刚体关于Oyz平面的惯性积； JOzx与JOxz为刚体关于Ozx平面的惯性积. 图 6 刚体的质量分布 刚体的转动惯量和惯性积与连体基基点位置及 其指向有关.它们是描述刚体相对于该基质量分布 的重要物理量. 如果惯性积JOxz与JOyz为0， 则称Oz轴为刚 体的惯量主轴.同样如果JOxy与JOxz为0或JOxy

13、 与JOyz为0， 称Ox轴或Oy轴为刚体的惯量主轴. 可以证明对于刚体上的点O至少存在一个连体基， 该基的三根轴同时为刚体的惯量主轴，称该基为刚 体的惯量主轴连体基. 以下统一将所有矢量在连体基上的坐标阵与对应的 3 个坐标都带 “0” 上标，以示与在惯性基上投影的区别. 734力学与实践2015 年 第37 卷 2.2刚体平移运动的动力学方程 由2.1节知，刚体一般运动可分解为刚体随质 心的平移运动与刚体绕质心的定点运动.刚体平移 运动动力学方程可利用质心运动定理得到. 将质心C在在惯性基er上的速度矢量记为 vC，加速度矢量记为aC.它们分别是矢径rC在 er上对时间的一阶与二阶导数，即

14、 vC def = rd dtrC = rC,aC def = rd dtvC = vC= rC 根据质心运动定理，刚体平移运动的动力学方 程为 m rC= FR(11) 其中FR为刚体所受外力系的主矢.上式在惯性基 er上的投影式为 m xC= FRx(12a) m yC= FRy(12b) m zC= FRz(12c) 2.3刚体姿态动力学方程 考虑绕质心C作定点运动的刚体， 连体基相对 于惯性基的角速度矢量为.质点Pk的矢径为rk， 该点的速度矢量为vk， 有vk= rk.刚体对定点 C的动量矩LC为 LC= X k rk mkvk= X k mkrk ( rk) = X k mk (r

15、k rk) rk( rk)(13) 求和号对刚体所有质点.令上式中的各矢量在连体 基eb上的坐标阵分别记为 L0O= L0 Ox L0 Oy L0 Oz T 0= 0 x 0 y 0 z T r0 k = (x0 k y0 k z0 k) T (14) 式(13)可表为如下坐标式 L0C= X k mk 0r0T k r0k r0k 0Tr0 k 将式(14)代入上式， 考虑到转动惯量与惯性基的定 义式(9)与式(10)，经整理可得刚体对连体基三轴 的动量矩分别为 L0 Cx= J 0 Cx 0 x J0Cxy0y J0Cxz0z (15a) L0 Cy = J0 Cy 0 y J0Cyz0z

16、 J0Cyx0 x (15b) L0 Cz = J0 Cz 0 z J0Czx0 x J0Czy0y (15c) 图 7 刚体的定点运动 根据刚体对质心的动量矩定理：LC= MC， 其 中MC为刚体所受外力系对质心的主矩.由矢量在 惯性基下的绝对导数与在连体基下相对导数的关系 式(8)，有 。 LC+ LC= MC 此式在连体基上的坐标式为 L 0 C+ 0L0 C = M0C 其中L0C, M0C分别为动量矩矢量、 主矩在连体基的 坐标阵， 0为角速度矢量在连体基的坐标方阵.将 上式展开，有 L0Cx L0Cy L0Cz + 00 z 0 y 0 z 00 x 0 y 0 x 0 L0 Cx

17、 L0 Cy L0 Cz = M0 Cx M0 Cy M0 Cz 可得刚体姿态动力学方程组的普遍形式 L0Cx 0 zL0Cy+ 0yL0Cz= M 0 Cx (16a) L0Cy 0 xL0Cz+ 0zL0Cx= M 0 Cy (16b) L0Cz 0 yL0Cx+ 0 xL0Cy= M 0 Cz (16c) 若将刚体对质心C的动量矩的表达式(15)代入， 以上方程是关于角速度0 x,0y,0z 的比较复杂的一 阶微分方程组.如果力矩M0 Cx,M 0 Cy,M 0 Cz 只是时 间或刚体角速度的函数，方程组(16)是以角速度 0 x,0y,0z 为变量的封闭的一阶常微分方程组.通 第6 期

18、洪嘉振：关于刚体平面运动动力学方程 理论力学若干概念的思考735 过积分可得到这些变量的时间历程.如果要得到刚 体欧拉角姿态坐标( )的变化规律，则需将 上述结果代入欧拉运动学方程组(7)求解.如果力 矩M0 Cx,M 0 Cy,M 0 Cz 与欧拉角姿态坐标有关， 方程组 (16)含角速度与欧拉角等6个变量.如果要求解必 须将欧拉运动学方程组(7)与方程组(16)联立在一 起积分.由此可见， 通常情况下， 刚体姿态动力学数 学模型为含角速度与欧拉角等6个变量的式(16)与 式(7). 3刚体平面运动动力学方程 前述第2.2节给出刚体空间运动的描述： 平移运动 xC= xC(t),yC= yC

19、(t),zC= zC(t) vCx= vCx(t),vCy= vCy(t),vCz= vCz(t) 姿态运动 = (t), = (t), = (t) 0 x= 0 x(t), 0 y= 0y(t), 0 z= 0z(t) 前述第2.3节给出了一般运动刚体的动力学方程组 (12), (16)与(7).在给定初始条件下， 可解得上述的 刚体空间运动过程. 刚体平面运动作为刚体空间运动的特殊情况. 不失一般性，令 平移运动 xC= xC(t),yC= yC(t),zC= zC(t) c(17a) vCx= vCx(t),vCy= vCy(t),vCz= vCz(t) 0 (17b) 姿态运动 = (

20、t) 0, = (t) 0, = (t)(17c) 0 x= 0 x(t) 0, 0 y= 0y(t) 0, 0 z= 0z(t) (17d) 即刚体作这样的平面运动(如图8所示)：质心在平 行于惯性空间Oxy的某平面内运动， 同时刚体绕连 体基zb轴转动. 图 8 点刚体的平面运动 将式(17a)与(17b)代入平移方程(12)， 得平面 运动刚体平移运动动力学方程 FRz 0(18) m xC= FRx m yC= FRy (19) 将式(17d)代入式(15)，刚体对质心C的动量 矩变为 L0Cx= J0 Cxz 0 z, L0Cy= J0 Cyz 0 z, L0Cz= J0 Cz 0

21、z 将其代入姿态动力学方程(16)，得平面运动刚体的 姿态动力学方程 J0 Cxz 0 z+ J0Cyz02z = M0 Cx (20a) J0 Cyz 0 z J0Cxz02z = M0 Cy (20b) J0 Cz 0 z= M 0 Cz (20c) 方程(19)与(20)是刚体作平面运动(17)的动 力学方程组.下面分两种情况进行讨论. (1)考虑到式(18)， 如果系统受到的是如下的平 面力系(如图8所示) FRz 0,M0 Cx 0, M0 Cy 0 (21) 平移运动方程(19)存在，如同式(1). 对于姿态方程(20)，将后两式代入式(20a)与 (20b)，有 J0 Cxz 0

22、z+ J0 Cyz 02 z = 0(22a) J0 Cyz 0z J0 Cxz 02 z = 0(22b) 姿态方程为(20c)， 如同式(2).显然， 以上两式成立 的充分条件为：惯性积J0 Cxz = J0 Cyz = 0.考虑此条 件的必要性.将(22a) J0 Cxz+ (22b) J 0 Cyz， 得 736力学与实践2015 年 第37 卷 J02 Cxz+ J 02 Cyz 0z= 0 由于 0z6= 0，J02 Cxz+ J 02 Cyz 0，上式成立的条件为 J0 Cxz = J0 Cyz = 0.可见它也是式(20a)与(20b)成 立的必要条件. 综上所述，在平面力系(

23、21)的条件下，刚体作 如式(17)描述的平面运动，动力学方程(1)与(2) 成立的惯量充分必要条件为J0 Cxz = J0 Cyz = 0，即 Czb轴为惯量主轴. (2)如果系统受到如下非平面力系 FRz 0,M0 Cx6= 0, M0 Cy6= 0 (23) 也可能作如式(17)描述的刚体平面运动.如果由式 (20c)可解得0 z = 0 z(t)，由式 (20a)与(20b)可得 到两力矩与0 z, 0z 的关系式 M0 Cx= J 0 Cxz 0 z+ J0Cyz02z (24a) M0 Cy = J0 Cyz 0 z J0Cxz02z (24b) 如图9所示， 刚体绕非惯量主轴Cz

24、b的定轴转动， 是这种情况的一个案例.如刚体的重力与反力FOz 抵消，FRz 0.当刚体在主动力偶M0 Cz 驱动下， 图 9 一般刚体定轴转动 0 z 遵循方程(20c).约束反力在连体基上投影， 其中 F0 Ox 和F0 Ax，F 0 Oy 和F0 Ay 分别构成两力偶M0 Cy， M0 Cx, 肯定不为0，由式(24)知，它们与角速度0 z 和角加速度 0z有关，属轴承对转轴的动反力范畴. 4结 论 在外力系作用下，刚体通常作的是空间一般运 动， 其运动过程遵循刚体动力学方程(12),方程(16) 和方程(7).从该数学模型可知，刚体的运动形态与 作用的外力系有关，还与系统的质量及质量分

25、布有 关.特别需要指出的是刚体的质量分布将会明显影 响刚体姿态的变化. 在平面力系FRz 0，M0 Cx 0， M0 Cy 0下， 刚 体作平面运动惯量条件(Czb为主轴)是充要条件. 所以在叙述与推导刚体平面运动动力学方程时，除 了指出外力是平面力系的这个力的条件外，还需特 别强调刚体作平面运动的惯量条件. 不满足惯量条件(Czb为主轴)的刚体也有可能 作平面运动.但该力系肯定为非平面力系， 即FRz 0，M0 Cx6= 0与 M0 Cy 6= 0. 有人会提出，对于没有学过刚体一般运动动力 学的情况，是否能叙述清楚上述涉及惯量条件的概 念呢？作者认为有动力学的动量定理与对质心的动 量矩定理作为基础，完成这个概念的介绍是没有问 题的.由于本文篇幅有限， 读者可参阅文献1有关 章节. 最后需指出动力学方程为关于刚体位形的二阶 微分方程组， 刚体的运动还与初始条件有关， 即使对 于满足主轴条件， 在平面力系的作用下， 还必须满足 刚体平面运动的初始条件，才可能实现刚体的平面 运动. 参 考 文 献 1 洪嘉振， 刘铸永， 杨长俊. 理论力学 (第 4 版). 北京: 高等教育 出版社，2015 (责任编辑:胡漫)