图形折叠问题(10页).doc

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1、-图形折叠问题-第 10 页图形折叠问题图形的折叠实际就是反射变换或者说是对称变换，或者说是翻折。这类问题大都联系实际，内容丰富，解法灵活，具有开放性，有利于考查解题者的动手能力，空间观念和几何变换的思想。例1.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠AD边与对角线BD重合，得折痕DG。若AB=2，BC=1，求AG。解：作GEBD，垂足为E。设AG=x，则，易知，则GE=x，根据勾股定理可知所以在中，由勾股定理得解得例2.如图2，矩形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是多少？解法一：设，则在中，由勾股定理

2、得解得，即。连结BD，设BD与EF交于点O，易得，由题意可知EF是BD的中垂线，所以，EFBD，在中，由勾股定理得所以。解法二：求DE同上法，再作EGBC，垂足为点G。易知，所以，所以。例3.四边形ABCD是一块矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA=5：3，EC=，将BCE沿折痕EC翻折，若点B恰好落在AD边上的点F上，求AB、BC的长。解：连结EF、FC、BF。设BF交EC于M。因为B、F关于EC对称，所以BFEC，BE=EF，。设BE=5x，则。因为，所以因为，所以，所以，所以BC=30。所以，即，所以，所以。例4.如图4，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落

3、在点的位置，交AD于G，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，则ME的长为多少？解法一：延长BA、交于F，由轴对称性质知所以又因为，所以，所以。再根据EN是折痕可知：EN垂直平分AD，所以EN/AB。又因为M是AD中点，所以E是DF中点，所以EM是DFA的中位线。令EM=x，则FA=2x，FD=FB=2x+3，所以。解得，即。解法二：连结GN，易证BGD是等腰三角形。因为A点、D点关于EN对称，所以N是BD的中点，所以GNBD，所以RtGNDRtBAD，所以。而所以。又因为，所以又因为RtDMERt，所以，例5.如图5，有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、B

4、C边上的中点，将点C折至MN上，落在点P位置，折痕为BQ，连结PQ。（1）求MP；（2）求证：以PQ为边长的正方形面积等于。解：（1）连结BP、PC，把MN看作是正方形对折的折痕，则BP和PC关于MN对称，故BP=PC。因为C点和P点关于BQ（折痕）成轴对称，所以BQ垂直平分PC，所以BP=BC，CBQ=PBQ，所以BP=PC=BC=1，所以PBC是等边三角形，所以CBQ=PBQ=30。在RtBPN中，所以。（2）证明：由折叠可知，在RtQCB中，所以以PQ为边长的正方形面积是。例6.如图6，把矩形ABCD对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到RtABE，沿着EB线折叠得到AEF，若矩形

5、的宽CD=4，求AEF的面积。解：由题意可知：EC/BN/AD。因为N是CD中点，所以B是EF中点。又因为EBA=90，所以ABEF，所以AB是EF的中垂线，所以AE=AF。因为AE是折痕，所以2EAB+BAF=90，所以3EAB=90所以EAB=30，所以EAF=60，所以AEF是等边三角形。设BE=x，则AE=2x，又因为AB=4，所以，解得，所以，所以。例7.如图7，已知将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，AD=8，AB=4，求BDE的面积。解：易证BDE是等腰三角形，所以。作EFBD，垂足为F，则。因为BEF，所以，又因为，所以，所以。所以。例8.如图8，把矩形纸

6、片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上。连结AC，且，。（1）求A、C两点的坐标；（2）求AC所在直线的函数解析式；（3）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积。解：（1）因为，所以，即OA=2OC。因为，所以。所以点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（0，4）。（2）设AC所在直线的函数解析式为y=kx+b，把A（8，0）、C（0，4）代入，得解得。所以AC所在直线的函数解析式为。（3）因为纸片OABC折叠后，点A与点C重合，所以折痕EF垂直平分AC，所以EC=EA。设EC=EA=t。因为，所以，解得t=5，所以，所

7、以。如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG如图，在RtABC中，ACB=90AB，CM是斜边AB的中线，将ACM沿直线CM折叠，点A落在D处，如果CD恰好与AB垂直，那么A等于_法一、在RtABC中，ABCM是斜边AB上的中线， CM=AM， A=ACM，将ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处设A=ACM=x度， A+ACM=CMB， CMB=2x，如果CD恰好与AB垂直在RtCMG中， MCG+CMB=90 即3x=90 x=30则得到MCD=BCD=ACM=30根据CM=MD， 得到D=MCD=30=A A等于30法二、CM平分ACD，ACM=MCDA+B=B+BCD=90A=BCDBCD=DCM=MCA=30A=30如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长解答：D，F关于AE对称，所以AED和AEF全等，AF=AD=BC=10，DE=EF，设EC=x，则DE=8-xEF=8-x，在RtABF中，BF=6，FC=BC-BF=4在RtCEF中，由勾股定理得：CE2+FC2=EF2，即：x2+42=（8-x）2，解得x=3EC的长为3cm