基本不等式(很全面)(8页).doc

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1、-基本不等式(很全面)-第 8 页基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若，则 （2）若，则2、基本不等式一般形式（均值不等式）若，则3、基本不等式的两个重要变形（1）若，则（2）若，则总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若，则 (当且仅当时取“=”）（2）若，则 (当且仅当时取“=”）（3）若，则 (当且仅当时取“=”）（4）若，则（5）若，则特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”6、柯西不等式 （1）若，则（2）若，则有

2、：（3）设是两组实数，则有【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设均为正数，证明不等式:题目2、已知为两两不相等的实数，求证：题目3、已知，求证：题目4、已知，且，求证：题目5、已知，且，求证：题目6、（新课标卷数学（理）设均为正数,且,证明:题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域（1） （2）（3） （4）题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项） 1、已知，求函数的最小值；变式1：已知，求函数的最小值；变式2：已知，求函数的最大值；变式3：已知，求函数的最大值；练习：1、已知，求函数的最小值；题目2、已知，求函数的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）

3、题目1、当时，求的最大值；变式1：当时，求的最大值；变式2：设，求函数的最大值。题目2、若，求的最大值；变式：若，求的最大值；题目3、求函数的最大值；变式：求函数的最大值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题题目1、已知，求的最小值；变式1：已知，求的最小值；变式2：已知，求的最小值；变式3：已知，且，求的最小值。变式4：已知，且，求的最小值；变式5：（1）若且，求的最小值；（2）若且，求的最小值；变式6：已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，求的最小值；变式7：若正数x，y满足x3y5，则3x4y的最小值是（ ）() C5 D6变式8：设若的最小值为 （ ）A B1 C4 D8变式9：已知

4、，且，则的最小值为 变式10：已知，求的最小值.变式11：求的最小值变式12：已知，求函数的最小值变式13：设正实数 满足的最小值为 变式14：【2013天津理】设a + b = 2, b0, 则当a = 时, 取得最小值.变式15：设 满足，则的最小值为 变式16：已知且，则的最小值是 .题型六：分离换元法求最值（了解）题目1、求函数的值域；变式：求函数的值域；题目2、求函数的最大值；变式：求函数的最大值；题型七：基本不等式的综合应用题目1、已知，求的最小值题目2、已知，求的最小值；变式1：（2010四川）如果，求关于的表达式的最小值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当时，函数的图像恒

5、过定点，若点在直线上，求的最小值；变式3：【2017天津】若，则的最小值为 题目3、已知，求最小值；变式1：已知，满足，求范围；变式2：已知，求最大值；（提示：通分或三角换元）变式3：已知，求最大值；题目4、（2013年山东（理）设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为（ ）（）A B C D变式：设是正数，满足，求的最小值；题型八：利用基本不等式求参数范围题目1、已知，且恒成立，求正实数的最小值；2、已知且恒成立，如果，求的最大值；（参考：4）变式：已知满则，若恒成立，求的取值范围；题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式 若，则2、二维形式的柯西不等式的变式3、二维形式的柯西不等式的向量形式4、三维柯西不等式若，则有：5、一般维柯西不等式设是两组实数，则有:【题型归纳】题型一：利用柯西不等式一般形式求最值题目1、设，若，则的最小值为时， 析：最小值为此时 ，题目2、设，求的最小值，并求此时之值。题目3、设，求之最小值为 ，此时 （析：）题目4、已知则的最小值是 ()题目5、设,且满足:,求的值；题目6、求 的最大值与最小值。（：最大值为，最小值为 -）析：令 = (2q，q，- q)，= (1，f，f)