一元二次方程全章复习与巩固知识讲解.doc

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1、一元二次方程全章复习与巩固知识讲解一元二次方程全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法【知识网络】 【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其

2、是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：一个未知数；未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0要点二、一元二次方程的解法1基本思想 一元二次方程一元一次方程2基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当0

3、时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a0， 0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题 2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二

4、次方程要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就

5、是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1已知（m1）x|m|+1+3x20是关于x的一元二次方程，求m的值.【答案与解析】依题意得|m|+12，即|m|1，解得m1，又m10，m1，故m1.【总结升华】依题意可知m10与|m|+12必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程是关于的一元二次方程，求m的值【答案】 根据题意得 解得所以当方程是关于的一元二次方程时，类型二、一元二次方程的解法2解下列一元二次方程 (1)； (2)；

6、(3)【答案与解析】 (1)原方程可化为：， 即(2x-6)2-(5x-10)20， (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)0， 即(7x-16)(-3x+4)0， 7x-160或-3x+40， ， (2)， ， (x-3)5(x-3)-(x+3)0， 即(x-3)(4x-18)0， x-30或4x-180， ，(3)， 即， 【总结升华】 (1)方程左边可变形为，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)20再求解举

7、一反三：【变式】解方程： (1)3x+15-2x2-10x； (2)x2-3x(2-x)(x-3)【答案】(1)移项，得3x+15+(2x2+10x)0， 3(x+5)+2x(x+5)0， 即(x+5)(3+2x)0， x+50或3+2x0， ， (2)原方程可化为x(x-3)(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)0， (x-3)(2x-2)0， x-30或2x-20， ，类型三、一元二次方程根的判别式的应用3关于x的方程有实数根则a满足（ ）Aa1 Ba1且a5 Ca1且a5 Da5【答案】A；【解析】当，即时，有，有实数根；当时，由0得，解得且综上所述，使关于x的方

8、程有实数根的a的取值范围是答案：A【总结升华】注意“关于x的方程”与“关于x的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为04 为何值时，关于x的二次方程（1）满足 时,方程有两个不等的实数根； （2）满足 时,方程有两个相等的实数根； （3）满足 时,方程无实数根.【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式及k0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5已知关于x的方程，试探求：是否存在实数m使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说

9、明理由【答案与解析】存在设方程两根为x1、x2，根据题意，得，而，于是有，整理得，解这个方程得， ，当时， ，当时，所以符合条件的m的值为-2【总结升华】由两个实数根的平方和等于56，列出关系式，再由根与系数关系求出m的值，通过判别式去验证m值是否符合题意，从而得出结论.举一反三：【变式】已知关于x的方程有两个不相等的实数根、 (1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由【答案】(1)根据题意，得(2k-3)2-4(k-1)(k+1)，所以由k-10，得k1.当且k1时，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在如果方程的

10、两个实数根互为相反数，则，解得当时，判别式-50，方程没有实数根所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数类型五、一元二次方程的应用6甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.【答案与解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得解之,得x1=16，x2=2.经检验：x1=16，x2=2都是原方程的根，但x2=2不合题意，舍去.当x=16时，x+4=20.答：甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米.【总结升华】注意解题的格式，解分式方程应用题要双检验，即验根、符合题意.举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2.求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数.【答案】（1）1000m2；（2）20%.6 / 6