异面直线所成角求法-总结加分析(15页).doc
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1、-异面直线所成的角一、平移法:常见三种平移方法:直接平移:中位线平移(尤其是图中出现了中点):补形平移法:“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1在空间四边形ABCD中,ADBC2,E,F分别为AB、CD的中点,EF,求AD、BC所成角的大小解:设BD的中点G,连接FG,EG。在EFG中 EF FGEG1EGF120 AD与BC成60的角。2正ABC的边长为a,S为ABC所在平面外的一点,SASBSCa,E,F分别是SC和AB的中点求异面直线SA和EF所成角答案:45BMANCS3S
2、是正三角形ABC所在平面外的一点,如图SASBSC,且ASBBSCCSA,M、N分别是AB和SC的中点求异面直线SM与BN所成的角的余弦值证明:连结CM,设Q为CM的中点,连结QN 则QNSMQNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ,设SCa,在BQN中BN NQSMa BQCOSQNB4如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M、N分别是A1B1和A1C1的中点,若BCCACC1,求BM与AN所成的角解:连接MN,作NGBM交BC于G,连接AG,易证GNA就是BM与AN所成的角设:BCCACC12,则AGAN,GNBM,cosGNA。5如图,在正方体中,E、F分别是、CD的中点求
3、与所成的角。证明:取AB中点G,连结A1G,FG, 因为F是CD的中点,所以GFAD,又A1D1AD,所以GFA1D1,故四边形GFD1A1是平行四边形,A1GD1F。设A1G与AE相交于H,则A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点,所以RtA1AGABE, GA1A=GAH,从而A1HA=90,即直线AE与D1F所成的角为直角。B(图128)AABCDCDFE6如图128的正方体中,E是AD的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA成异面直线? (2)求直线BA和CC所成的角的大小; (3)求直线AE和CC所成的角的正切值; (4)求直线AE和BA所成的角的余弦值解:(1)
4、A平面BC,又点B和直线CC都在平面BC内,且BCC, 直线BA与CC是异面直线 同理,正方体12条棱中的CD、DD、DC、AD、BC所在的直线都和直线BA成异面直线 (2) CCBB, BA和BB所成的锐角就是BA和CC所成的角 ABB=45 BA和CC所成的角是45 (3) AABBCC,故AE和AA所成的锐角AAE是AE和CC所成的角在RtAAE中,tanAAE,所以AE和CC所成角的正切值是 (4)取BC的中点F,连EF、BF,则有EF()AB()AB, ABFE是平行四边形,从而BF()AE, 即BFAE且BF=AE. BF与BA所成的锐角ABF就是AE和BA所成的角ABFM(图12
5、9)设正方体各棱长为2,连AF,利用勾股定理求出ABF的各边长分别为AB2,AFBF,由余弦定理得:cosABF7. 长方体ABCDA1B1C1D1中,若AB=BC=3,AA1=4,求异面直线B1D与BC1所成角的大小。解法一:如图,过B1点作B1EBC1交CB的延长线于E点。则DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角,连结DE交AB于M,DE=2DM=3,DB1E= DB1E=。解法二:如图,在平面D1DBB1中过B点作BEDB1交D1B1的延长线于E,则C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角,连结C1E,在B1C1E中,C1B1E=135,C1E=3,C1BE=,C1BE=。练
6、习:8. 如图,PA矩形ABCD,已知PA=AB=8,BC=10,求AD与PC所成角的余切值为。9. 在长方体ABCD- A1B1C1D1中,若棱B B1=BC=1,AB=,求D B和AC所成角的余弦值. 中位线平移法:构造三角形找中位线,然后利用中位线的性质,将异面直线所成的角转化为平面问题,解三角形求之。解法一:如图连结B1C交BC1于0,过0点作OEDB1,则BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB,由已知有B1D=,BC1=5,BE=,BOE= BOE=解法二:如图,连DB、AC交于O点,过O点作OEDB1,过E点作EFC1B,则OEF或其补角就是两异面直线所成的角,过O
7、点作OMDC,连结MF、OF。则OF=,OEF=,异面直线B1D与BC1所成的角为。解法三:如图,连结D1B交DB1于O,连结D1A,则四边形ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点O作EFBC1交AB、D1C1于E、F,则DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在ADF中DF=,DOF=,DOF=。课堂练习10. 在正四面体ABCD中,已知E是棱BC的中点,求异面直线AE和BD所成角的余弦值。补形平移法:在已知图形外补作一个相同的几何体,以例于找出平行线。解法一:如图,以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2,连结D2B,则DB1D2B
8、,C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角,连C1D2,则C1D2C2为Rt,C1BD2=,异面直线DB1与BC1所成的角是。课堂练习:11. 求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体,将A1C1平移到BE,则D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角,在BD1E中,BD1=3, 二、利用模型求异面直线所成的角模型1引理:已知平面的一条斜线a与平面所成的角为1,平面内的一条直线b与斜线a所成的角为,与它的射影a所成的角为2。求证:cos= cos1cos2。在平面a的斜线a上取一点P,过点P分别作直
9、线c、b的垂线PO、PB,垂足为O、B连接OB,则OBb.在直角AOP中,.在直角ABC中,.在直角ABP中,.所以 所以PbABO证明:设PA是的斜线,OA是PA在上的射影,OB/b,如图所示。则PAO=1,PAB=,OAB=2,过点O在平面内作OBAB,垂足为B,连结PB。可知PBAB。所以cos1=, cos=,cos2=。所以cos= cos1cos2。利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角,即引理中的角。需:过a的一个平面,以及该平面的一条斜线b以及b在内的射影。12. 如图,MA平面ABCD,四边形ABCD是正方形,且MA=AB=a,试求异面直线MB与AC所成的角。ABCDM解
10、:由图可知,直线MB在平面ABCD内的射影为AB,直线MB与平面ABCD所成的角为45,直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45,所以直线AC与直MB所成的角为,满足cos=cos45 cos45=,所以直线AC与MB所成的角为60。13. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( D )(A) (B) (C) (D) 解:设的中点为D,连结D,AD,易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理,易知.故选D PEDFABC14. 如图,在立体图形P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形,BAD=90,AD/BC,AB=BC=a,AD=2a,
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