（5年高考+3年模拟）文科数学通用版课件：10.3　抛物线及其性质 .pptx

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1、10.3抛物线及其性质,高考文数 ( 课标专用),1.(2016课标全国,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k0)与C交于点P,PFx轴,则k =() A.B.1C.D.2,A组统一命题课标卷题组,五年高考,答案D由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y=(k0)得k=12=2,故选D.,2.(2014课标,10,5分,0.615)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0= () A.1B.2C.4D.8,答案A由y2=x得2p=1,即p=, 因此焦点F,准线方程为l:x=-, 设点A到准线的距离为d,由抛物线的定义可知

2、d=|AF|, 从而x0+=x0, 解得x0=1,故选A.,B组自主命题省(区、市)卷题组 考点一抛物线的定义和标准方程 1.(2014辽宁,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为() A.-B.-1C.-D.-,答案C由点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,得焦点F(2,0),kAF=-,故选C.,2.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.,评析本题考查抛物线的定义及标准方程,直线与

3、抛物线的位置关系.,3.(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1. (1)求p的值; (2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.,解析(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1. 因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由消去x得y2-4sy-4=0, 故y1

4、y2=-4,所以,B. 又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-. 从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-. 所以N. 设M(m,0),由A,M,N三点共线得 =,于是m=. 所以m2. 经检验,m2满足题意. 综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).,思路分析(1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后利用A,M,N三点共线可得kAN=kAM,最终求出结果.,评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查

5、解析几何的基本思想方法和综合解题能力.,考点二抛物线的性质 1.(2016四川,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是() A.(0,2)B.(0,1) C.(2,0)D.(1,0),答案D抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为, 抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),故选D.,2.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为() A.(-1,0)B.(1,0) C.(0,-1)D.(0,1),答案B抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-,由题设知-=-1,即=1,所以焦点坐标为(1, 0).故选B.,3.(2014安徽,3,5

6、分)抛物线y=x2的准线方程是() A.y=-1B.y=-2 C.x=-1D.x=-2,答案A由y=x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=-=-1.故选A.,4.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.,5.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC=120,则圆的方程为.,6.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛

7、 物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.,方法小结利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,注意抛物线的形式.,7.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O 的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点. (1)求点A,B的坐标; (2)求PAB的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.,解析(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线

8、PA的方程为y=k(x-t), 由消去y,整理得: x2-4kx+4kt=0, 由于直线PA与抛物线相切,得k=t. 因此,点A的坐标为(2t,t2). 设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0), 由题意知:点B,O关于直线PD对称, 故 解得 因此,点B的坐标为.,(2)由(1)知|AP|=t, 和直线PA的方程tx-y-t2=0. 点B到直线PA的距离是d=, 设PAB的面积为S(t), 所以S(t)=|AP|d=.,C组教师专用题组 1.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的

9、中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是() A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4),答案D显然00、k4(y00),即r2.,2.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,= 2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是() A.2B.3C.D.,答案B如图,可设A(m2,m),B(n2,n),其中m0,n0,则=(m2,m),=(n2,n),=m2n2+mn=2, 解得mn=1(舍)或mn=-2.lAB:(m2-n2)(y-n)=(m-n)(x-n2),即(m+n)(y-n)=x-n2,令y=0,解

10、得x=-mn=2,C(2,0). SAOB=SAOC+SBOC=2m+2(-n)=m-n,SAOF=m=m,则SAOB+SAOF=m-n+m=m-n= m+2=3,当且仅当m=,即m=时等号成立.故ABO与AFO面积之和的最小值为3.,3.(2013课标,8,5分,0.571)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4 ,则POF的面积为() A.2B.2C.2D.4,答案C如图,设点P的坐标为(x0,y0),由|PF|=x0+=4,得x0=3,代入抛物线方程得,=4 3=24,所以|y0|=2,所以SPOF=|OF|y0| =2=2.故选C.,一题多解由题意知

11、抛物线C的焦点F(,0),设P,由|PF|=4得 =4,得m=2,所以SPOF=|OF|m|=2.,思路分析设P(x0,y0),由抛物线的定义结合|PF|算出x0,从而得到y0,得到POF的边OF上的高等于2,然后根据三角形面积公式可算出POF的面积.,4.(2011课标,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为() A.18B.24C.36D.48,答案C设抛物线方程为y2=2px. 当x=时,|y|=p, p=6. 又P到AB的距离始终为p, SABP=126=36. 评析本题主要考查抛物线的定义、

12、抛物线方程等相关知识,明确准线上任一点到直线l的距离为p.,5.(2014陕西,11,5分)抛物线y2=4x的准线方程为.,6.(2014上海,4,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线 方程为.,7.(2014浙江,22,14分)已知ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3. (1)若|=3,求点M的坐标; (2)求ABP面积的最大值.,解析(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1. 设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2, 所以P(2,2)或P(-2,2). 由=3,分别

13、得M或M. (2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). 由得x2-4kx-4m=0, 于是=16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m). 由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), 所以由=4y0得k2=-m+. 由0,k20,得-m. 又因为|AB|=4,点F(0,1)到直线AB的距离为d=, 所以SABP=4SABF=8|m-1|=. 记f(m)=3m3-5m2+m+1. 令f (m)=9m2-10m+1=0,解得m1=,m2=1. 可得f(m)在上是增函数,在上

14、是减函数,在上是增函数. 又f=f, 所以,当m=时, f(m)取到最大值,此时k=. 所以,ABP面积的最大值为. 评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式、平面向量等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.,8.(2014福建,21,12分)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2. (1)求曲线的方程; (2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明

15、你的结论.,解析(1)解法一:设S(x,y)为曲线上任意一点, 依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等, 所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线的方程为x2=4y.,9.(2010全国,21,12分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D. (1)证明:点F在直线BD上; (2)设=,求BDK的内切圆M的方程.,解析设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l的方程为x=my-1(m0). (1)证明:将x=my-1代入y2=4x并整理得y2-4my+4=

16、0, 从而y1+y2=4m,y1y2=4. 直线BD的方程为y-y2=(x-x2), 即y-y2=. 令y=0,得x=1.所以点F(1,0)在直线BD上.,(时间:30分钟分值:60分) 一、选择题(每小题5分,共50分) 1.(2018安徽黄山一模,4)若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为10,则点P的坐标为() A.(8,8)B.(8,-8)C.(8,8)D.(-8,8),三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案C设P(xP,yP), 点P到焦点的距离等于它到准线x=-2的距离, xP=8,则yP=8, 点P的坐标为(8,8).故选C.,2.(2018福建福州模拟,3

17、)过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F的直线交C于A,B两点,若|AF|=3|BF|=3,则p=() A.3B.2C.D.1,答案C设抛物线的准线与x轴的交点为P,则|FP|=p. 过A,B作准线的垂线AM,BN, 则|AM|=|AF|=3,|BN|=|BF|=1, 设直线AB与准线交于Q,设BQ=a, 由QBNQFPQAM可得=,=, 解得p=.故选C.,3.(2018湖南永州三模,6)已知抛物线y=px2(其中p为常数)过点A(1,3),则抛物线的焦点到准线的距离等于() A.B.C.D.,答案D由抛物线y=px2(其中p为常数)过点A(1,3), 可得p=3,则抛物线的标准方程为x2

18、=y, 则抛物线的焦点到准线的距离等于.故选D.,4.(2018江西南昌模拟,7)设抛物线C:x=2py2(p0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,B为l上一点,满足=,则直线AB的斜率为() A.1B. C.2D.2,答案D如图所示,过点A作AD直线l,垂足为D, 由抛物线的定义可知|AD|=|AF|, 设|AF|=m, =, |FB|=2|AF|=2m, |BD|=2m, 设直线AB的倾斜角为, 则|tan |=2, 直线AB的斜率k=tan =2,故选D.,5.(2018山西晋城一模,6)抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线l与x轴交于点A,点M在抛物线C上,当=时,AMF的面积为(

19、) A.1B.C.2D.2,答案C过M作MP垂直于准线,垂足为P, 则=, 则cosMAF=, 则MAF=45,此时AMF是等腰直角三角形, 易知|AF|=|MF|=2, 所以三角形AMF的面积为22=2.故选C.,6.(2018湖北武汉模拟,9)过点P(2,-1)作抛物线x2=4y的两条切线,切点分别为A,B,PA,PB分别交x轴于E,F两点,O为坐标原点,则PEF与OAB的面积之比为() A.B.C.D.,答案C设过P点的直线方程为y=k(x-2)-1,代入x2=4y可得x2-4kx+8k+4=0, 令=0,可得16k2-4(8k+4)=0, 解得k=1. 直线PA,PB的方程分别为y=(

20、1+)(x-2)-1,y=(1-)(x-2)-1, 分别令y=0,可得E(+1,0),F(1-,0), 即|EF|=2. SPEF=21=, 易求得A(2+2,3+2),B(2-2,3-2), 直线AB的方程为y=x+1,|AB|=8, 又原点O到直线AB的距离d=, SOAB=8=2.PEF与OAB的面积之比为.故选C.,7.(2018山西太原一模,8)抛物线y2=8x的焦点为F,设A,B是抛物线上的两个动点,|AF|+|BF|=| AB|,则AFB的最大值为() A.B.C.D.,答案D设|AF|=m,|BF|=n, |AF|+|BF|=|AB|, |AB|2,mn|AB|2, 在AFB中

21、,由余弦定理得cosAFB=-, AFB的最大值为.故选D.,8.(2018四川资阳模拟)若P为抛物线C:y=2x2上的动点,F为C的焦点,则|PF|的最小值为() A.1B. C.D.,答案D由y=2x2,得x2=y, 2p=,则=, 由抛物线上所有点中,顶点到焦点的距离最小可得,|PF|的最小值为.故选D.,9.(2017湖南岳阳二模,7)若直线y=2x+与抛物线x2=2py(p0)相交于A,B两点,则|AB|等于() A.5p B.10p C.11pD.12p,答案B将直线方程代入抛物线方程, 可得x2-4px-p2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=4p,y1

22、+y2=9p, 直线过抛物线的焦点, |AB|=y1+y2+p=10p,故选B.,10.(2017广东汕头一模,8)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则|AF|=() A.1B.2C.3D.4,答案Ax2=2y,y=,y=x, 抛物线C在点B处的切线斜率为1, B, 抛物线x2=2y的焦点F的坐标为, 直线l的方程为y=, |AF|=|BF|=1.故选A.,二、填空题(每小题5分,共10分) 11.(2017山西五校联考,13)抛物线x2=-10y的焦点在直线2mx+my+1=0上,则m=.,答案,解析抛物线的焦点为,代入直线方程2

23、mx+my+1=0,可得m=.,12.(2016河北武邑中学3月模拟,14)已知直线l:y=kx+t与圆:x2+(y+1)2=1相切,且与抛物线C:x2=4y交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是.,答案t0或t-3,解析由题意知k0.因为直线l与圆相切, 所以=1k2=t2+2t. 由k20,得t0或t0,得t0或t0或t-3.,B组20162018年高考模拟综合题组 (时间:30分钟分值:45分) 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.(2018天津滨海新区模拟,9)已知双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p 0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲

24、线的离心率为2,ABO的面积为2,则抛物 线的焦点为() A.B. C.(1,0) D.(,0),答案D双曲线-=1(a0,b0), 双曲线的渐近线方程是y=x, 又抛物线y2=2px(p0)的准线方程是x=-, 故A,B两点的纵坐标分别是,-, 又由双曲线的离心率为2, 所以=2,则=, A,B两点的纵坐标分别是,-, 又AOB的面积为2,x轴是AOB的平分线, p=2, 解得p=2. 抛物线的焦点坐标为(,0),故选D.,2.(2018河北唐山一模,6)已知P为抛物线y2=x上异于原点O的点,PQx轴,垂足为Q,过PQ的中点作x轴的平行线交抛物线于点M,直线QM交y轴于点N,则=() A.

25、B.1C.D.2,答案C如图,设P(t2,t),则Q(t2,0),PQ的中点H,M, 直线MQ的斜率为=-, 则直线MQ的方程为y=-(x-t2), 令x=0,可得yN=, =,故选C.,3.(2018河北石家庄一模,6)过抛物线y=x2的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在直线y=-1 上,若ABC为正三角形,则其边长为() A.11B.12C.13D.14,答案B抛物线y=x2,即x2=4y的焦点F的坐标为(0,1), 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点D(x0,y0), 由题意知直线AB的斜率存在,且不为零, 设直线AB的斜率为k(k0),则直线AB的方程为y=kx

26、+1, 由消去y,可得x2-4kx-4=0, x1+x2=4k, y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2, |AB|=y1+y2+2=4k2+4,x0=2k,y0=2k2+1, D(2k,2k2+1), 线段AB的垂直平分线的方程为y-2k2-1=-(x-2k),即y=-x+2k2+3,令y=-1,得x=2k3+4k, C(2k3+4k,-1), 点C到直线AB的距离|CD|=, ABC为正三角形, |CD|=|AB|, =(4k2+4), 整理可得k2=2, |AB|=4k2+4=12,即正ABC的边长为12.故选B.,思路分析设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点D(x

27、0,y0),由题意知直线AB的斜率存在且不为零,设直线AB的斜率为k,则直线方程为y=kx+1,联立直线与抛物线方程,可得x2-4kx-4=0,根据根与系数的关系求出点D的坐标,根据抛物线的性质求出|AB|,由线段AB的垂直平分线的方程,求出点C的坐标,根据点到直线的距离公式,求出|CD|,根据正三角形的性质可得|CD|=|AB|,即可求 出k2=2,则正ABC的边长即可求出.,4.(2017河北石家庄一模,10)已知圆C1:x2+(y-2)2=4,抛物线C2:y2=2px(p0),C1与C2相交于A,B两点,且|AB|=,则抛物线C2的方程为() A.y2=xB.y2=x C.y2=xD.y

28、2=x,答案C由题意,知直线AB必过原点, 则设AB的方程为y=kx(易知k0), 圆心C1(0,2)到直线AB的距离d=,解得k=2, 由得或 把代入抛物线方程, 得=2p,解得p=, 所以抛物线C2的方程为y2=x.故选C.,5.(2017江西南昌二模,11)已知抛物线C1:y=x2(p0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连 线交C1于点M(点M在第一象限),若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=() A.B.C.D.,答案D由抛物线C1:y=x2(p0)得x2=2py(p0), 所以抛物线的焦点坐标为. 由-y2=1得a=,b=1,则c=2. 所以双曲线的右焦点为(2

29、,0). 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为=,6.(2016湖北华师一附中联考,11)已知F是抛物线x2=4y的焦点,P为抛物线上的动点,且A的坐标为(0,-1),则的最小值是() A.B.C.D.,答案C抛物线的准线为l:y=-1,过点P作PDl于D, 则|PD|=|PF|,如图所示, =sinPAD, 当直线PA与抛物线相切时,=sinPAD有最小值,由y=得y=, 设切点为(x00),则=, 解得x0=2,此时PAD=, 所以=sin=,故选C.,解后反思(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离时应充分利用抛物线的定义进行转化,注意数形结合思想在解题中的应用. (2)本题若设

30、出点P的坐标,再利用函数思想求最值,计算比较烦琐容易失分.,二、填空题(共5分) 7.(2017安徽黄山二模,14)已知抛物线C:y2=8x,焦点为F,点P(0,4),点A在抛物线上,当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时,连接AF并延长交抛物线于点B,连接OA,OB,则AOB的面积为.,答案4,解析F(2,0),设A在抛物线准线上的投影为A, 由抛物线的定义知,|AA|=|AF|, 则点A到点P(0,4)的距离与A到该抛物线准线的距离之和d=|AP|+|AF|PF|=2,当F、A、P 三点共线时d取得最小值, 此时直线AB的斜率为-2,方程为y=-2(x-2),即x=-+2,

31、 代入y2=8x,可得y2+4y-16=0,y=-22, AOB的面积为24=4.,三、解答题(共10分) 8.(2017安徽合肥二模,19)如图,已知抛物线E:y2=2px(p0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上的动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M. (1)求抛物线E的方程; (2)求点M到直线CD距离的最大值.,解析(1)由xA=2得=4,故2pxA=4,p=1. 所以抛物线E的方程为y2=2x. (2)设C,D,切线l1:y-y1=k, 代入y2=2x得ky2-2y+2y1-k=0, 由=0解得k=, l1的方程为y=x+, 同理,l2的方程为y=x+, 由解得 易得CD的方程为x0 x+y0y=8,其中x0,y0满足+=8,x02,2, 由得x0y2+2y0y-16=0,则 M(x,y)满足即点M为. 点M到直线CD:x0 x+y0y=8的距离d=, 易知当且仅当x0=2时,dmax=.,