（5年高考+3年模拟）文科数学通用版课件：2.3　二次函数与幂函数 .pptx

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1、2.3二次函数与幂函数,高考文数 ( 课标专用),1.(2016课标全国,7,5分)已知a=,b=,c=2,则() A.bacB.abcC.bcaD.cab,A组统一命题课标卷题组,五年高考,答案A解法一:a=,c=2=,而函数y=在(0,+)上单调递增,所以1=a=b,所以cab,故 选A.,2.(2014课标,15,5分,0.273)设函数f(x)=则使得f(x)2成立的x的取值范围是.,B组自主命题省(区、市)卷题组 考点一二次函数 1.(2017浙江,5,5分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m() A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与

2、b无关 C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关,答案B解法一:令g(x)=x2+ax, 则M-m=g(x)max-g(x)min.故M-m与b无关. 又a=1时,g(x)max-g(x)min=2,a=2时,g(x)max-g(x)min=3, 故M-m与a有关.故选B. 解法二:(1)当-1,即a-2时, f(x)在0,1上为减函数, M-m=f(0)-f(1)=-a-1. (2)当-1,即-2a-1时,M=f(0),m=f, 从而M-m=f(0)-f=b-=a2. (3)当0-,即-1a0时,M=f(1),m=f,从而M-m=f(1)-f=a2+a+1. (4)当-0,即a0时,

3、 f(x)在0,1上为增函数, M-m=f(1)-f(0)=a+1. 即有M-m= M-m与a有关,与b无关.故选B.,2.(2014北京,8,5分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为() A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟,答案B由已知得解得 p=-0.2t2+1.5t-2=-+,当t=3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.,评析本题

4、主要考查二次函数及配方法求最值,考查学生的计算能力,利用待定系数法求出a,b,c是解题关键.,3.(2016浙江,6,5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案A记g(x)=f(f(x)=(x2+bx)2+b(x2+bx)=-=-. 当b0时,-+0,即当-+=0时,g(x)有最小值,且g(x)min=-,又f(x)=-,所 以f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等,都为-,故充分性成立.另一方面,当b=0时, f(f(x)的最小 值为0,也与f

5、(x)的最小值相等.故必要性不成立.选A.,解后分析判定非必要很容易,只需举出反例.要使f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等,只需-,即b0或b2即可.,评析本题考查二次函数求最值,对运算能力和推理能力有较高要求.,4.(2017北京,11,5分)已知x0,y0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.,5.(2015浙江,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR). (1)当b=+1时,求函数f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表达式; (2)已知函数f(x)在-1,1上存在零点,0b-2a1,求b的取值范围.,解析(1)当b=+1时, f(x)=+1, 故对称轴为直线

6、x=-. 当a-2时,g(a)=f(1)=+a+2. 当-22时,g(a)=f(-1)=-a+2. 综上,g(a)=,评析本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等分析问题和解决问题的能力,属较难题.,考点二幂函数 1.(2014浙江,8,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x0),g(x)=logax的图象可能是(),答案Da0,且a1,f(x)=xa在(0,+)上单调递增,排除A;当01时,B、C中 f(x)与g(x)的图象矛盾,故选D.,规律方法幂函数y=x的性质及图象特征: 所有的幂函数在(0,+)上都有定义,并且图象都过

7、点(1,1); 如果0,则幂函数的图象过原点,并且在区间0,+)上为增函数; 如果0,则幂函数的图象在区间(0,+)上为减函数; 当为奇数时,幂函数为奇函数;当为偶数时,幂函数为偶函数.,2.(2018上海,7,5分)已知.若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,则 =.,3.(2014上海,9,4分)若f(x)=-,则满足f(x)0的x的取值范围是.,C组教师专用题组 1.(2014浙江,9,5分)设为两个非零向量a,b的夹角.已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1() A.若确定,则|a|唯一确定B.若确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则唯一确定D.若|b|确定,则

8、唯一确定,答案B|b+ta|2=|a|2t2+2abt+|b|2 =|a|2t2+2|a|b|cos t+|b|2, 设f(t)=|a|2t2+2|a|b|cos t+|b|2, 则二次函数f(t)的最小值为1, 即=1,化简得|b|2sin2=1. |b|0,0,|b|sin =1, 若确定,则|b|唯一确定,而|b|确定,不确定,故选B.,2.(2015广东,21,14分)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1). (1)若f(0)1,求a的取值范围; (2)讨论f(x)的单调性; (3)当a2时,讨论f(x)+在区间(0,+)内的零点个数.,解析(1)f(0)=a

9、2+|a|-a(a-1)=|a|+a. 当a0时, f(0)=01对于任意的a0恒成立; 当a0时, f(0)=2a,令2a1,解得0a时, f (x)=2x-(2a-1)=2(x-a)+10,所以f(x)在区间(a,+)上单调递增. (3)令h(x)=f(x)+,由(2)得,h(x)= 则h(x)= 当0a时,因为a2,所以x2,即00, 所以h(x)在区间(a,+)上单调递增. 因为h(1)=40,h(2a)=2a+0, 1)若a=2,则h(a)=-a2+a+=-4+2+2=0,此时h(x)在(0,+)上有唯一一个零点; 2)若a2,则h(a)=-a2+a+=-=-2时, f(x)+在区间

10、(0,+)内有两个零点.,考点一二次函数 1.(2018河北衡水武邑中学开学考试,6)若存在非零的实数a,使得f(x)=f(a-x)对定义域上任意的x恒成立,则函数f(x)可能是() A. f(x)=x2-2x+1B. f(x)=x2-1 C. f(x)=2x D. f(x)=2x+1,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案A由存在非零的实数a,使得f(x)=f(a-x)对定义域上任意的x恒成立,可得函数图象的对称轴为x=0,只有f(x)=x2-2x+1满足题意,而f(x)=x2-1; f(x)=2x; f(x)=2x+1都不满足题意,故选A.,2.(2018衡水金卷信息卷(

11、二),8)已知函数f(x)=-10sin2x-10sin x-,x的值域为,则 实数m的取值范围是() A.B.C.D.,答案B由题意得f(x)=-10+2,x,令t=sin x,则f(x)=g(t)=-10+2, 令g(t)=-,得t=-1或t=0,由g(t)的图象,可知当-t0时, f(x)的值域为,所以-m0. 故选B.,3.(2017山东模拟,4)二次函数f(x)的图象经过两点(0,3),(2,3),且函数的最大值是5,则该函数的解析式是() A. f(x)=2x2-8x+11B. f(x)=-2x2+8x-1 C. f(x)=2x2-4x+3 D. f(x)=-2x2+4x+3,答案

12、D二次函数f(x)的图象经过两点(0,3),(2,3),则图象的对称轴为x=1,又由函数的最大值是5,可设f(x)=a(x-1)2+5(a0),于是3=a+5,解得a=-2,故f(x)=-2(x-1)2+5=-2x2+4x+3.故选D.,4.(2017广东汕头一模,4)命题“ax2-2ax+30恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是() A.a3 D.0a3,答案A若ax2-2ax+30恒成立,则a=0或可得0a 0恒成立”是假命题时,a0或a3.,5.(2018福建泉州高中毕业班1月单科质量检查,15)若二次函数f(x)=ax2-x+b(a0)的最小值为0,则a+4b的取值范围为.,6.(2

13、017天津红桥期中,14)如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是.,考点二幂函数 1.(2018安徽巢湖柘皋中学第三次月考,3)已知p:|m+1|1,q:幂函数y=(m2-m-1)xm在(0,+)上单调递减,则p是q的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案Bp:由|m+1|1得-2m0, 幂函数y=(m2-m-1)xm在(0,+)上单调递减, m2-m-1=1,且m0, 解得m=-1, p是q的必要不充分条件,故选B.,2.(2018河南天一大联考阶段性测试(二),4)已知点(m,8)在幂函数f(

14、x)=(m-1)xn的图象上,设a= f,b=f(ln ),c=f(),则a,b,c的大小关系为() A.acbB.abc C.bcaD.bac,答案A因为f(x)=(m-1)xn是幂函数,所以m-1=1,m=2,所以f(x)=xn.因为点(2,8)在函数f(x)=xn的图象上,所以8=2nn=3.故f(x)=x3.a=f=1,c=f()= a.故a,b,c的大小关系是acb.故答案为A.,3.(2018湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟联考,4)若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为() A.-1m0n1B.-1n0m C.-1m0n D.

15、-1n0m1,答案D幂函数y=x,当0时,y=x在(0,+)上为增函数,且01时,图象上凸,0m1;当0时,y=x在(0,+)上为减函数,不妨令x=2,根据图象可得2-12n,-1n0,综上所述,选D.,4.(2017江西九江七校联考,4)幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+)上为增函数,则m的值为 () A.1或3B.1 C.3 D.2,答案B由题意可知解得m=1,故选B.,5.(2016河南许昌四校第三次联考,5)设a、b满足0ab1,则下列不等式中正确的是() A.aaabB.babb C.aabaD.bbab,答案CD中,幂函数y=xb(0ab,D错误; A中,指数函数y=ax

16、(0ab,所以A错误; B中,指数函数y=bx(0bb,所以B错误.故选C.,6.(2017山西一模,13)已知函数f(x)=是定义在区间-3-m,m2-m上的奇函数,则f(m)=.,B组20162018年高考模拟综合题组 (时间:35分钟分值:55分) 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(2018福建莆田第二十四中学第二次月考,7)已知,a=(cos )cos ,b=(sin )cos ,c=(cos )sin ,则() A.abcB.acbC.bacD.cab,答案D因为, 所以0(cos )cos , 根据指数函数的性质,可得(cos )cos (cos )sin , 所以bac,

17、故选D.,2.(2018山东济宁微山第二中学第一次月考,10)下列命题正确的是() A.y=x0的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1) C.若幂函数y=xn是奇函数,则y=xn是增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限,答案D对于A,函数y=x0的图象是一条直线除去点(0,1),故A错误;对于B,幂函数的图象都经过点(1,1),当指数大于0时,都经过点(0,0),当指数小于0时,不经过点(0,0),故B错误;对于C,若幂函数y=xn是奇函数,且n0,y=xn是定义域上的增函数,n0,y=xn在(-,0)和(0,+)上均为减函数,故C错误;由幂函数的性质,幂函数的图

18、象一定过第一象限,不可能出现在第四象限,知D正确,故选D.,3.(2018湖北武汉高中毕业班2月调研,11)如果函数f(x)=(2-m)x2+(n-8)x+1(m2)在区间-2,-1 上单调递减,那么mn的最大值为() A.16B.18C.25D.30,答案B因为m2,所以抛物线的开口向下,所以-2,8-n-2(2-m),n12-2m,故nm(12 -2m)m=-2m2+12m=-2(m-3)2+1818,当且仅当m=3,n=6时等号成立,所以mn的最大值为18.故选B.,方法总结处理多变量函数最值问题的方法有:(1)消元法:把多变量问题转化为单变量问题,消元时可以用等量消元,也可以用不等量消

19、元.(2)基本不等式:即给出的条件是和为定值或积为定值,此时可以利用基本不等式来处理,用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.(3)线性规划:如果题设给出的是二元一次不等式组,而目标函数也是二元一次的,那么我们可以用线性规划来处理.,4.(2018河北保定第一次模拟,8)已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数,函数g(x)是R上的奇函数,函数h(x)=+1,则h(2 018)+h(2 017)+h(2 016)+h(1)+h(0)+h(-1)+h(-2 016)+h(-2 0 17)+h(-2 018)=() A.0B.1C.4 036D.4 037,答案D因为函数f(x)既是二次函数又是幂函

20、数, 所以f(x)=x2,所以h(x)=+1, 因为g(x)是R上的奇函数, 因此h(x)+h(-x)=+1+1=2,h(0)=+1=1, 因此h(2 018)+h(2 017)+h(2 016)+h(1)+h(0)+h(-1)+h(-2 016)+h(-2 017)+h(-2 018)=2 0182+1=4 037,选D.,5.(2017湖南长沙一模,5)已知函数f(x)=,则() A.x0R, f(x0)f(x2),答案B由f(x)=知f(x)的定义域为0,+),且在0,+)上, f(x)0恒成立,故A错误,B正确; 易知f(x)是0,+)上的增函数,x1,x20,+)(x1x2),0,故

21、C错误;在D中,当x1=0 时,不存在x20,+)使得f(x1)f(x2),故D错误.故选B.,方法总结幂函数y=x的图象与性质一般从两个方面考查: (1)的正负:0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;1时,图象下凸;01时,图象上凸;0时,图象下凸.,6.(2016河南焦作一模,9)函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间 (1,+)上一定() A.有最小值B.有最大值 C.是减函数D.是增函数,答案D函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,其图象开口向上,且对称轴为x=a,a1.g(x)=x+-2a.若a0,则g(x)

22、=x+-2a在(1,+)上单调递增; 若0a1,则g(x)=x+-2a在(1,+)上单调递增. 综上可得,g(x)=x+-2a在(1,+)上单调递增.故选D.,知识拓展熟记函数f(x)=x+的单调性.(1)当a0时, f(x)在(-,-,+)为增函数,在-,0),(0,上为减函数.,7.(2017河北武邑第三次调研,9)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x0时, f(x)=x3,若不等式f(-4t)f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是() A.(-,-) B.(-,0) C.(-,0)(,+)D.(-,-)(,+),答案A当xf(2m+mt2)对任意实数t恒成立,知-

23、4t2m+mt2对任意实数t恒成立mt2+4t+2m0对任意实数t恒成立m(-,-),故选A.,方法总结ax2+bx+c0,a0恒成立的充要条件是 ax2+bx+c0,a0恒成立的充要条件是,8.(2017安徽淮北第一中学最后一卷,10)已知二次函数f(x)=x2+2ax+2b有两个零点x1,x2,且-1x11x22,则直线bx-(a-1)y+3=0的斜率的取值范围是() A.B. C.D.,答案A由题意知在坐标系中作出点(a,b)表示的平面区域,如图阴影部 分(不含边界),已知直线的斜率k=,表示点(a,b)与点P(1,0)连线的斜率,A,B ,kPA=-,kPB=,所以所求直线的斜率的取值

24、范围是.故选A.,二、填空题(共5分) 9.(2018山东菏泽第一中学第一次月考,16)已知函数f(x)=x-,g(x)=x2-2ax+4,若对任意x10, 1,存在x21,2,使f(x1)g(x2),则实数a的最小值是.,方法总结1.设函数f(x)、g(x)对任意的x1a,b,存在x2c,d,使得f(x1)g(x2),则f(x)ming(x)min;2.设函数f(x)、g(x)对任意的x1a,b,存在x2c,d,使得f(x1)g(x2),则f(x)maxg(x)max.本题求出f(x)min=f(0)=-1后,可以用参变量分离法求解.,三、解答题(共10分) 10.(2016皖北联考,18)

25、已知函数f(x)=x2-2ax+5(a1). (1)若f(x)的定义域和值域均是1,a,求实数a的值; (2)若对任意的x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4,求实数a的取值范围.,解析(1)f(x)=(x-a)2+5-a2(a1), f(x)在1,a上是减函数, 又f(x)的定义域和值域均为1,a, 即解得a=2. (2)对任意的x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4, f(x)max-f(x)min4.,若a2,a1,a+1,且(a+1)-aa-1, 当x1,a+1时, f(x)max=f(1)=6-2a, f(x)min=f(a)=5-a2. (6-2a)-(5-a2)4,解得-1a3, 又a2,2a3. 若1a2,则f(x)max=f(a+1)=6-a2, f(x)min=f(a)=5-a2, f(x)max-f(x)min4显然成立. 综上,1a3.,由题悟法在研究二次函数在闭区间上的最值或值域问题时,最好是作出二次函数的大致图象.特别是遇到对称轴固定而区间变化或对称轴变化而区间固定这两种情形时,要利用函数图象,找出讨论的分类标准.,