【3年高考2年模拟】课标版理科数学一轮第八节　离散型随机变量的均值与方差、正态分布.pptx

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1、理数 课标版,第八节离散型随机变量的均值与方差、正态分布,1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为,教材研读,(1)均值:称EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)称DX=(xi-EX)2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值 EX的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差.,2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aEX+b(a,b为实数). (2)D(aX+b)=a2DX(a,b为实数).,3.两点分布与二项分布的均值、方差,4.正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方,

2、与x轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线x=对称; (3)曲线在x=处达到峰值; (4)曲线与x轴之间的面积为1; (5)当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿x轴平移; (6)当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“高瘦” ,表示 总体的分布越集中;越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越 分散.,1.已知离散型随机变量X的分布列为,则X的数学期望E(X)=() A.B.2C.D.3 答案A由已知条件可知E(X)=1+2+3=,故选A.,2.已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)=P(0)=0.2,故P(02)=0.3.故选C.,3.已知X的分布列为,设Y=2X+3,

3、则E(Y)的值为() A.B.4C.-1D.1 答案AE(X)=-1+0+1=-,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3=.,4.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若X表示取到次品的件数,则D(X)=. 答案 解析由题意知每次取到次品的概率都为, XB, D(X)=3=.,5.已知N(0,2)且P(-20)=0.4,则P(2)=. 答案0.1 解析由题意知P(02)=P(-20)=0.4,所以P(2)=(1-20.4)=0.1.,考点一离散型随机变量的均值、方差,考点突破,典例1(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活

4、动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率; (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.,解析(1)由已知,有P(A)=. 所以,事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.,P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=. 所以,随机变量X的分布列为,随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.,方法技巧 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义,写出X可能取的全部值. (2)求X取

5、每个值时的概率. (3)写出X的分布列. (4)由均值的定义求E(X). (5)由方差的定义求D(X). 提醒如果XB(n,p),则用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.,1-1一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率; (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的 分布列,期望E(X)及方差D(X).,解析(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,

6、A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”,因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6, P(A2)=0.00350=0.15,P(B)=0.60.60.152=0.108. (2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为,P(X=0)=(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=0.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=0.62(1-0.6)=0.432, P(X=3)=0.63=0.216. 所以X的分布列为,因为XB(3,0.6),所以期望E(X)=30.6=1.8,方差D

7、(X)=30.6(1-0.6)=0.72.,考点二均值与方差在实际问题中的应用 典例2(2016课标全国,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:,以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X

8、的分布列; (2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个? 解析(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而 P(X=16)=0.20.2=0.04; P(X=17)=20.20.4=0.16; P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;,P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24; P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2; P(X=21)=20.20.2=0.08;

9、 P(X=22)=0.20.2=0.04.(4分) 所以X的分布列为,(6分) (2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19.(8分) (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).,当n=19时, EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040.(10分) 当n=20时, EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080. 可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=1

10、9.(12分),规律总结 利用均值与方差解决实际问题的方法 (1)对实际问题进行具体分析,将实际问题转化为数学问题,并将问题中的随机变量设出来. (2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件,求出其相应的概率. (3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值. (4)依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释.,2-1某校设计了一个实验测试方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作,规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成,考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影 响.

11、 (1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.,解析(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为,则的可能取值分别为1,2,3;的可能取值分别为0,1,2,3. P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=, 考生甲正确完成题数的概率分布列为,E()=1+2+3=2. P(=0)=, 同理,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=, 考生乙正确完成题数的概率分布列为,E()=0+1+2+3=2.,(2)D()=(2-1)2+(2-2)2+(2-3)2=,D()=(2-0)2+(2-1)2+(2-2)2+(2-3)2= , D()P

12、(2). 从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从做对题数的方差考察,甲较稳定;从至少完成2题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.,考点三正态分布 典例3(1)(2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为() (附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%) A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%,(2)(2015湖南,7,5分)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分

13、(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(),附:若XN(,2),则P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4. A.2 386B.2 718C.3 413D.4 772,答案(1)B(2)C 解析(1)P(-33)=68.26%,P(-66)=95.44%,则P(36)=(95.44% -68.26%)=13.59%.,(2)由正态分布N(0,1)的密度曲线的几何意义,知题图中阴影部分的面积为P(0x1)=0.682 6=0.341 3,故落入阴影部分的点的个数的估计值 为0.341 310 000=3 413.故选C.,方法技巧 解决有关正态分布的

14、求概率问题的关键是利用正态曲线的对称性及曲线与x轴之间的面积为1,把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解,要注意数形结合思想及化归思想的运用. (1)应熟记P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)的值; (2)常用的结论有: 正态曲线关于直线x=对称,从而在关于x=对称的区间上概率相等. P(Xa)=1-P(Xa),P(X-a)=P(X+a).,3-1若随机变量XN(2,1),且P(X3)=0.158 7,则P(X1)=. 答案0.841 3 解析由XN(2,1),知=2, 因为P(X3)=0.158 7,所以P(X1)=0.158 7,所以P(X1)=1-0.158 7=0.841 3.,3-2某班有50名学生,一次考试后数学成绩X(单位:分,XN)服从正态分布N(100,102),已知P(90X100)=0.3,则该班学生数学成绩在110分以上的人数为. 答案10 解析由题意,知P(X110)=0.2,所以该班学生数学 成绩在110分以上的人数为0.250=10.,