【3年高考2年模拟】课标版理科数学一轮第三节　导数与函数的极值、最值.pptx

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1、理数 课标版,第三节导数与函数的极值、最值,1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值 都小, f (a)=0,而且在点x=a附近的左侧f (x)0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数y=f(x)的 极小值.,教材研读,(2)函数的极大值 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值 都大, f (b)=0,而且在点x=b附近的左侧f (x)0,右侧 f (x)0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 注:极大值和极小值统称

2、为极值.,2.函数的最值与导数 一般地,求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 注:如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的极大值不一定比极小值大.(),(2)对可导函数f(x), f (x0)=0是x0点为极值点的充要条件.() (3)函数的极大值一定是函数的最大值.() (4)开区间上的单调连续函

3、数无最值.(),1.(2016四川,6,5分)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=() A.-4B.-2C.4D.2,答案D由题意可得f (x)=3x2-12=3(x-2)(x+2), 令f (x)=0,得x=-2或x=2, 则f (x), f(x)随x的变化情况如下表:,函数f(x)在x=2处取得极小值,则a=2.故选D.,2.设函数f(x)=+ln x,则() A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点 答案Df(x)=+ln x(x0), f (x)=-+=,当x2时, f (x)0,此时 f(x

4、)为增函数;当0x2时, f (x)0,此时f(x)为减函数,据此知x=2为f(x)的 极小值点.,3.函数y=xex的最小值是() A.-1B.-eC.-D.不存在 答案Cy=xex,y=ex+xex=(1+x)ex.当x-1时,y0;当x-1时,y0.当x=-1时函数取得最小值,且ymin=-.故选C.,4.函数f(x)=x-aln x(a0)的极小值为. 答案a-aln a 解析f(x)的定义域为(0,+),易知f (x)=1-. 由f (x)=0,解得x=a(a0). 又当x(0,a)时, f (x)0, 函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a.,考点一运

5、用导数解决函数的极值问题 命题角度一求已知函数的极值,典例1(2017成都双流中学月考)设a0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+ln x). 求函数f(x)的极值. 解析f(x)的定义域为(0,+). f (x)=x-(a+1)+=. 当00,函数f(x)单调递增;若x(a,1),则f (x)0,函数f(x)单调递增. 此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+aln a,极小值是f(1)=-.,考点突破,当a=1时, f (x)=0,所以函数f(x)在定义域(0,+)内单调递增,此时f(x)没有极值点,故无极值. 当a1时,

6、若x(0,1),则f (x)0,函数f(x)单调递增; 若x(1,a),则f (x)0,函数f(x)单调递增. 此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+aln a. 综上,当01时, f(x)的极大值是-,极小值是-a2+aln a.,命题角度二已知函数的极值情况求参数的值或范围 典例2已知函数f(x)=. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)设g(x)=xf(x)-ax+1,若g(x)在(0,+)上存在极值点,求实数a的取值范围. 解析(1)f(x)=,x(-,0)(0,+), f (x)=. 当f (x)

7、=0时,x=1. f (x)与f(x)随x的变化情况如下表:,故f(x)的增区间为(1,+),减区间为(-,0)和(0,1). (2)易得g(x)=ex-ax+1, g(x)=ex-a, 当a1时,在(0,+)上,g(x)=ex-a0,即g(x)在(0,+)上递增,此时g(x)在(0,+)上无极值点. 当a1时,令g(x)=ex-a=0,得x=ln a; 令g(x)=ex-a0,得x(ln a,+); 令g(x)=ex-a1.,方法技巧 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程,2.已知函数极值点和极值求参数的两个要领 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值列方程组,利用待定系数法求解. (2)

8、验证:因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.,1-1已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为 () A.-B.-2C.-2或-D.不存在,答案Cf(x)=x3+ax2+bx-a2-7a, f (x)=3x2+2ax+b,由题意知f (1)=3+2a+b=0,b=-3-2a,又f(1)=1+a+b-a2-7a=10, 将代入整理得a2+8a+12=0,解得a=-2或a=-6. 当a=-2时,b=1;当a=-6时,b=9. =-2或=-,故选C.,1-2(2016河北石家庄一模)已知函数f(x)=e

9、x-3x+3a(e为自然对数的底数,aR).求f(x)的单调区间与极值. 解析由f(x)=ex-3x+3a知, f (x)=ex-3. 令f (x)=0,得x=ln 3, 于是当x变化时, f (x)和f(x)的变化情况如下表:,故f(x)的单调递减区间是(-,ln 3, 单调递增区间是ln 3,+), f(x)在x=ln 3处取得极小值,极小值为f(ln 3)=-3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).,考点二运用导数解决函数的最值问题 典例3已知函数f(x)=x2eax,其中a0,e为自然对数的底数. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)求函数f(x)在区间0,1上的最大值. 解析(

10、1)f (x)=2xeax+x2aeax=x(ax+2)eax. 当a=0时,由f (x)0得x0,由f (x)0得0-. 故函数f(x)在上单调递增. 在(-,0)与上单调递减.,(2)当a=0时, f(x)在区间0,1上单调递增,其最大值为f(1)=1. 当-21, f(x)在区间0,1上单调递增,其最大值是f(1)=ea. 当a-2时,0-1,x=-是函数f(x)在区间0,1上唯一的极大值点,也 就是最大值点, 此时函数f(x)的最大值是f=. 综上得当-2a0时, f(x)在0,1上的最大值是ea; 当a-2时, f(x)在0,1上的最大值为.,规律总结 求函数f(x)在a,b上的最大

11、值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值f(a), f(b); (3)将函数f(x)的极值与f(a), f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 2-1(2016湖北七市(州)协作体联考)设nN*,a,bR,函数f(x)=+b, 已知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=x-1. (1)求a,b; (2)求f(x)的最大值.,解析(1)f(x)的定义域为(0,+), f (x)=. f (1)=a,又切线斜率为1,故a=1. 由曲线y=f(x)过点(1,0),有f(1)=b=0. 故a=1,b=0. (2)由(1)知f(x

12、)=, f (x)=. 令f (x)=0,得1-nln x=0,解得x=. 当00,得f(x)在(0,)上是增函数; 当x时,有f (x)0,得f(x)在(,+)上是减函数. 故f(x)在x=处取得最大值f()=.,考点三函数极值与最值的综合应用 典例4已知函数f(x)=(a0)的导函数y=f (x)的两个零点为-3 和0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间-5,+)上的最大值. 解析(1)f (x)= =, 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为ex0,所以y=f (x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)

13、x+b-c的零点,且f (x)与g(x)符号相同. 因为a0,所以由题意知:当-30,即f (x)0;,当x0时,g(x)0,即f (x)0, 所以f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-,-3),(0,+). (2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有=-e3, 结合g(0)=b-c=0,g(-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0,解得a=1,b=5,c=5, 所以f(x)=. 因为f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-,-3),(0,+), 所以f(0)=5为函数f(x)的极大值, 且f(x)在区间-5,+)上的最大值为f(-5)和f(0)中的最大

14、者.,而f(-5)=5e55=f(0), 所以函数f(x)在区间-5,+)上的最大值是5e5.,方法技巧 解决函数极值、最值问题的策略 (1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小. (2)求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较才能下结论,即函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.,3-1(2016云南统一检测)已知常数a0, f(x)=aln x+2x. (1)当a=-4时,求f(x)的极值; (2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围. 解析(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+), f (x)=+2=.,当a=-4时, f (x)=. 当02时, f (x)0,即f(x)单调递增.,f(x)只有极小值,且在x=2时, f(x)取得极小值f(2)=4-4ln 2. 当a=-4时, f(x)只有极小值4-4ln 2.,(2)f (x)=, 当a0,x(0,+)时, f (x)0, 即f(x)在(0,+)上单调递增,没有最小值; 当a0得,x-, f(x)在上单调递增; 由f (x)0得,x-,f(x)在上单调递减. 当a0时, f(x)的最小值为f=aln+2. 根据题意得f=aln+2-a,即aln(-a)-ln 20. a0,ln(-a)-ln 20,解得a-2,实数a的取值范围是-2,0).,