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1、史上椭圆二级结论大全专题118史上最全椭圆二级结论大全1. 2.标准方程 3.4点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.5PT平分PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 6以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 7以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8设A1、A2为椭圆的左、右顶点,则PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆,必与A1A2所在的直线切于A2(或A1).9椭圆(ab0)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.10若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是
2、.11若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.12AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则.13若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是.14若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.15若PQ是椭圆(ab0)上对中心张直角的弦,则.16若椭圆(ab0)上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) .17给定椭圆:(ab0), :,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M.(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.18设为椭圆(或圆)C: (a0,. b0)上一点,P1P2为曲线C的动弦,且
3、弦PP1, PP2斜率存在,记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是.19过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).20椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点三角形的面积为, .21若P为椭圆(ab0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则.22椭圆(ab0)的焦半径公式:,( , ,).23若椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24P为椭圆(ab0)上任一点
4、,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立.25椭圆(ab0)上存在两点关于直线:对称的充要条件是.26过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28P是椭圆(ab0)上一点,则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是.29设A,B为椭圆上两点,其直线AB与椭圆相交于,则.30在椭圆中,定长为2m(oma)的弦中点轨迹方程为,其中,当时, .31设S为椭圆(ab0)的通径,定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动,记|AB|=,是A
5、B中点,则当时,有,);当时,有,.32椭圆与直线有公共点的充要条件是.33椭圆与直线有公共点的充要条件是.34设椭圆(ab0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在PF1F2中,记, ,,则有.35经过椭圆(ab0)的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则.36已知椭圆(ab0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为;(3)的最小值是.37MN是经过椭圆(ab0)焦点的任一弦,若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦,则.38MN是经过椭圆(ab0)焦点的任一弦,若过椭圆中心O的半弦,则.
6、39设椭圆(ab0),M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心,顶点外的任一点,过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点,则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线:(或)上.40设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MFNF.41过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MFNF.42设椭圆方程,则斜率为k(k0)的平行弦的中点必在直线:的共轭直线上,而且.43设A、B、C、D为椭圆上四点,A
7、B、CD所在直线的倾斜角分别为,直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则.44已知椭圆(ab0),点P为其上一点F1, F 2为椭圆的焦点,的外(内)角平分线为,作F1、F2分别垂直于R、S,当P跑遍整个椭圆时,R、S形成的轨迹方程是().45设ABC内接于椭圆,且AB为的直径,为AB的共轭直径所在的直线,分别交直线AC、BC于E和F,又D为上一点,则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.46过椭圆(ab0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.47设A(x1 ,y1)是椭圆(ab0)上任一点,过A作一条斜率为的直线L,又设d是原点到直线 L的距离,
8、 分别是A到椭圆两焦点的距离,则.48已知椭圆( ab0)和( ),一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点,则AB=|CD.49已知椭圆( ab0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.50设P点是椭圆( ab0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) .51设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点,A为椭圆长轴的左顶点,连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN:于M,N两点,则.52L是经过椭圆( ab0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线,E、F是椭圆两个焦点,e是离心率,点,若,则是锐角且或(当且仅当时取等号).53
9、L是椭圆( ab0)的准线,A、B是椭圆的长轴两顶点,点,e是离心率,H是L与X轴的交点c是半焦距,则是锐角且或(当且仅当时取等号).54L是椭圆( ab0)的准线,E、F是两个焦点,H是L与x轴的交点,点,,离心率为e,半焦距为c,则为锐角且或(当且仅当时取等号).55已知椭圆( ab0),直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点,将A、B与椭圆左焦点F1连结起来,则(当且仅当ABx轴时右边不等式取等号,当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).56设A、B是椭圆( ab0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,, ,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1).(2) .(3)
10、.57设A、B是椭圆( ab0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点,且、的横坐标,(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点,则;(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点,则.58设A、B是椭圆( ab0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点),外部的两点,(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点,(若B P交椭圆于两点,则P、Q不关于x轴对称),且,则点A、B的横坐标、满足;(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点,且,则点A、B的横坐标满足.59设是椭圆的长轴的两个端点,是与垂直的弦,则直线与的交点P的轨迹是双曲线.60过椭圆( ab0)的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD
11、则.61到椭圆( ab0)两焦点的距离之比等于(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆.62到椭圆( ab0)的长轴两端点的距离之比等于(c为半焦距)的动点M的轨迹是姊妹圆.63到椭圆( ab0)的两准线和x轴的交点的距离之比为(c为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆(e为离心率).64已知P是椭圆( ab0)上一个动点,是它长轴的两个端点,且,,则Q点的轨迹方程是.65椭圆的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66设椭圆( ab0)长轴的端点为,是椭圆上的点过P作斜率为的直线,过分别作垂直于长轴的直线交于,则(1).(2)四边形面积的最小值是.67已知椭
12、圆( ab0)的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点.68OA、OB是椭圆( a0,b0)的两条互相垂直的弦,O为坐标原点,则(1)直线AB必经过一个定点.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.69是椭圆(ab0)上一个定点,P A、P B是互相垂直的弦,则(1)直线AB必经过一个定点.(2)以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是(且).70如果一个椭圆短半轴长为b,焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2,那么(1),且F1、F 2在同侧直线L和椭圆相切.(2),且F1、
13、F2在L同侧直线和椭圆相离,(3),或F1、F2在L异侧直线L和椭圆相交.71AB是椭圆(ab0)的长轴,是椭圆上的动点,过的切线与过A、B的切线交于、两点,则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.72设点为椭圆( ab0)的内部一定点,AB是椭圆过定点的任一弦,当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时.当弦AB垂直于长轴所在直线时, .73椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77
14、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距和外点到同侧焦点的距离成比例.81椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83椭圆焦三
15、角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆(包括圆在内)上有一点,过点分别作直线和的平行线,与轴于,与轴交于.,为原
16、点,则:(1);(2).90. 过平面上的点作直线和的平行线,分别交轴于,交轴于.(1)若,则的轨迹方程是.(2)若,则的轨迹方程是.91. 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,则:.92. 点为第一象限内一点,过引轴、轴的平行线,交轴、轴于,交直线于,记 与的面积为,已知,则的轨迹方程是.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。2.由定义即可得椭圆标准方程。3.椭圆第二定义。4. 如图,设,切线PT(即)的斜率为k,所在直线斜率为,所在直线斜率为。4图 5图由两直线夹角公式得: 同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的外角。5
17、.如图,延长F1P至A,使PA=PF2,则是等腰三角形,AF2中点即为射影H2。则,同理可得,所以射影H1,H2的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。6.设P,Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为,以PQ中点到准线的距离为,以PQ为直径的圆的半径为r,则,故以PQ为直径的圆与对应准线相离。7图 8图7.如图,两圆圆心距为,故两圆内切。8.如图,由切线长定理:,而,与重合,故旁切圆与x轴切于右顶点,同理可证P在其他位置情况。9.10. 在椭圆上,对求导得:切线方程为即11.设,由10得:,因为点在直线上,且同时满足方程,所以12.作差得:13.由12可得:14. .由12可得:15.设,则16.将
18、直线AB代入椭圆方程中得:,设则, 17.设椭圆内直角弦AB的方程为:即。当斜率k存在时,代入椭圆C1方程中得:设得,则即直线AB过定点,此点在C2上。当直线斜率不存在时,直线AB也过C2上的定点。由上可知C1和C2上点由此建立起一种一一对应的关系,即证。18.必要性:设P1P2:。k存在时,代入椭圆方程中得:设得, k不存在时,P1P2:x=mx0则,必要性得证。充分性:设P1P2过定点,则P1P2:。代入椭圆方程得:设得,则注意到m1,解(1)(3)得,代入(2)式,成立。验证k不存在的情况,也得到此结论。故过定点,充分性得证。19. 设AB:即20.由余弦定理:21.由34:22.由第二
19、定义得:23.24.25.设椭圆上的点关于对称,。由12得:又在椭圆内,若,则26.由5即可得证。27.设P,则切线,A27图 30图28.29.设。联立得:,由韦达定理:同理。则APBQ=而的符号一定相反,故=0。所以AP=BQ30.设,为AB中点。则而设,则解得,代入m2得:令得:所以定长为2m(0ma)的弦中点轨迹方程为。其中,当时, 。31. 设,为AB中点。则:二次函数y=e2x2-mx+a2与在内的交点即为x0的值。由图易知y=e2x2-mx+a2与的左交点为x0的值。当m增大时,x0减小。要使x0最大,则要使m最小。,此时等号成立时31图 35图当此式成立时当时:当时:当时,。当
20、时,当,即AB垂直于x轴时x0最大。考虑到对称性对任意情况均成立。, 32.33. 当时,即为32:34.由正弦定理得,所以。35. 设,则P点处的切线为,由此可得:36.(1)同15.(2)由15,36(3):(3)设,37.设,椭圆 37图 38图则将AB的方程代入椭圆的标准方程中得:,由参数t的几何意义可知:38.作半弦OQOP,由37得:,由15:39.设,将的方程代入椭圆得:由韦达定理得:,直线A1P的方程为,直线A2Q的方程为,联立A1P和A2Q得交点N的横坐标,代入化简:所以交点一定在直线上。同理可证M在y轴上的情况。引理(张角定理):A,C,B三点按顺序排列在一条直线上。直线外
21、一点P对AC的张角为,对CB的张角为。则:40图 41图40.如图,A为左顶点时,设,则。 对F-APM由张角定理:即FM平分,同理FN平分。即MFNF当A为右顶点时,由39可知左顶点A与P、M;Q、N分别共线,于是回到上一种情况。41.如图,设,则对F-QA2M和F-A1PM由张角定理:两式相减并化简得:即FM平分,同理FN平分。即MFNF42.由12即可证得。43.设,AB:,CD:,将AB的方程代入椭圆得:由参数t的几何意义可知:,同理44. 对于外角平分线的情况由5即可证得,下仅证为内角平分线的情况。设P,则则,。分别联立、和、得:,则, 对点:,代回式得:同理对点得。故点、点的轨迹方程为45.由伸缩变换将椭圆(左图)变为圆(右图),椭圆中的共轭直径变为圆中相互垂直的直径。所证命题变为证CD与圆O相切的充要条件是D为EF中点。 充分性:若D为EF中点 C在圆上,ABOE FCCE,OFOB CD=DE=DF DCF=OFB=OAC=OCAOCD=OCA+ECD=ECD+DCF=ECF=90OCCD CD与圆相切。必要性:若CD与圆相切,则OCD=ACB=FO
限制150内