同济大学版概率论与数理统计修改版答案.doc

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1、概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件与其概率（一）一选择题1对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 C （A）不可能事件 （B）必然事件 （C）随机事件 （D）样本事件2下面各组事件中，互为对立事件的有 B （A）抽到的三个产品全是合格品 抽到的三个产品全是废品（B）抽到的三个产品全是合格品 抽到的三个产品中至少有一个废品 （C）抽到的三个产品中合格品不少于2个 抽到的三个产品中废品不多于2个 （D）抽到的三个产品中有2个合格品 抽到的三个产品中有2个废品3下列事件与事件不等价的是 C （A） （B） （C） （D）4甲、乙两人进行射击，A、B分别表示

2、甲、乙射中目标，则表示 C（A）二人都没射中 （B）二人都射中 （C）二人没有都射着 （D）至少一个射中5以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件为. D（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销”；（C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6设，则表示 A（A） （B）（C） （D）7在事件，中，和至少有一个发生而不发生的事件可表示为 A（A）； （B）；（C）； （D）.8、设随机事件满足，则 D （A）互为对立事件 (B) 互不相容 (C) 一定为不可能事件 (D) 不一定为不可能事件 二、填空题1若事件A，B满足，则称A与B 互

3、不相容或互斥 。2“A，B，C三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为 。三、简答题： 1一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间： （1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果； （2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果； （3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。答：（1）(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)（2）（1,1）,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2

4、),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)(3）(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) 2设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件。 （1）A、B、C中只有A发生； （2）A不发生，B与C发生； （3）A、B、C中恰有一个发生； （4）A、B、C中恰有二个发生； （5）A、B、C中没有一个发生； （6）A、B、C中所有三个都发生； （7）A、B、C中至少有一个发生； （8）A、B、C中不多于两个发生。答：概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机

5、事件与其概率（二）一、 选择题：1掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是 B （A） （B） （C） （D）2袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是 B （A） （B） （C） （D）3 已知事件A、B满足，则 B（A） （B） （C） （D）4A、B为两事件，若，则 B（A） （B） （C） （D）5有6本中文书和4本外文书，任意往书架摆放，则4本外文书放在一起的概率是 D （A） （B） （C） （D）二、选择题：1设A和B是两事件，则 2设A、B、C两两互不相容，则0.5 解答：3若，则 0.8 。解：4设两两独立的事件A，B，

6、C满足条件，且已知，则1/4 。解：5设，则A、B、C全不发生的概率为 1/2 。解： 6设A和B是两事件，则0.54 。解：三、计算题： 1罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，若从中任取3颗，求： （1）取到的都是白子的概率； （2）取到的两颗白子，一颗黑子的概率； （3）取到的3颗中至少有一颗黑子的概率； （4）取到的3颗棋子颜色相同的概率。解：（1）2加工某一零件共需经过4道工序，设第一、二、三和四道工序的次品率分别为2%、3%、5%和3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。解：A,B,C,D分别表示第一、二、三四道工序出现次品3袋中人民币五元的2张，二元的3张

7、和一元的5张，从中任取5张，求它们之和大于12元的概率。解：概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件与其概率（三）一、 选择题： 1设A、B为两个事件，且，则下列必成立是 A （A） （D） （C） （D） 2设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个红球，7个蓝色；玻璃球有2个红色，4个蓝色。现在从盒中任取一球，用A表示“取到蓝色球”，B表示“取到玻璃球”，则P(B|A)= D 。（A） （B） （C） （D） 3设A、B为两事件，且均大于0，则下列公式错误的是 B （A） （B）（C） （D）4设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取的2件产品中有

8、一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 B （A） （B） （C） （D）解：A：至少有一件不合格品，B：两件均是合格品。5设A、B为两个随机事件，且，则必有 C （A） （B）（C） （D）解： 二、填空题： 1设A、B为两事件，则 1/6 解：2设，则 0.6 解： 3若，则 0.9 解： 4某产品的次品率为2%，且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品，取到的是一等品的概率为 0.735 解：A：合格品；C：一等品. 5已知为一完备事件组，且，则 1/18 解：三、计算题： 1某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率为0.56，求现年10岁的该动物活到12岁的概

9、率是多少？解：A: 某种动物由出生活到10岁.B: 某种动物由出生活到12岁2某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，乙车间的正品率为95%，求：（1）任取一件产品是正品的概率；（2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。解：A：某产品由甲两车间生产。B：任取一件产品是正品。已知：3为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。解: 设A为系统A有效,

10、 B为系统B有效, 则根据题意有P(A)=0.92, P(B)=0.93, (1) 两个系统至少一个有效的事件为A+B, 其对立事件为两个系统都失效, 即, 而, 则(2) B失灵条件下A有效的概率为, 则4某酒厂生产一、二、三等白酒，酒的质量相差甚微，且包装一样，唯有从不同的价格才能区别品级。厂部取一箱给销售部做样品，但忘了标明价格，只写了箱内10瓶一等品，8瓶二等品，6瓶三等品，销售部主任从中任取1瓶，请3位评酒专家品尝，判断所取的是否为一等品。专家甲说是一等品，专家乙与丙都说不是一等品，而销售主任根据平时资料知道甲、乙、丙3位专家判定的准确率分别为。问懂得概率论的主任该作出怎样的裁决？解

11、：A：这瓶酒是一等品。分别表示甲、乙、丙说是一等品。相互独立。已知：概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件与其概率（四）一、 选择题： 1设A，B是两个相互独立的事件，则一定有 B （A） （B） （C） （D） 2甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则两人同时考上大学的概率是 B （A）0.75 （B）0.56 （C）0.50 （D）0.94 3某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，那么5次中有 2次命中的概率是 D （A） （B） （C） （D） 4设A，B是两个相互独立的事件，已知，则 C （A） （B） （C） （D） 5若A，B之积为不

12、可能事件，则称A 与B B （A）独立 （B）互不相容 （C）对立 （D）构成完备事件组二、填空题： 1设与是相互独立的两事件，且，则 0.12 2设事件A，B独立。且，则A，B至少一个发生的概率为 0.82 3设有供水龙头5个，每一个龙头被打开的可能为0.1，则有3个同时被打开的概率为 4某批产品中有20%的次品，进行重复抽样调查，共取5件样品，则5件中恰有2件次品的概率为 ，5件中至多有2件次品的概率 。 三、计算题： 1设某人打靶，命中率为0.6，现独立地重复射击6次，求至少命中两次的概率。 解：所求的概率为 2某类灯泡使用寿命在1000个小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000

13、小时以后最多只坏一个的概率。 解：设A =“灯泡使用寿命在1000个小时以上”， 则 所求的概率为 3甲、乙、丙3人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。 解：设A =“甲击中敌机” B =“乙击中敌机” C =“丙击中敌机” Dk =“k人击中飞机”（k =1，2，3） H =“敌机被击中” 4一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程（每一过程有一定的持续时间）以检查新生产元件的缺陷。已知若缺陷确实存在，缺陷

14、在任一在线检查过程被查出的概率为。（1）求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率（缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程）；（2）求缺陷在第个过程结束之前被查出的概率；（3）若缺陷经3个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率； 注：（1）、（2）、（3）都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。（4）设随机地取一元件，它有缺陷的概率为，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在（3）的假设下一元件通过检查的概率；（5）已知一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷的概率（设）。 解：设Ak =“第k个过程前有缺陷的元件被查出” B =“元件有缺陷” C =“元件通过检查” （1） （2）

15、 （3） （4） （5） （）5设A，B为两个事件，证明A与B独立。 证： 由于 已知 有 即 所以 A与B独立概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件与其概率（五）一、选择题： 1对于任意两个事件A和B B （A）若，则A，B一定独立 （B）若，则A，B有可能独立 （C）若，则A，B一定独立 （D）若，则A，B一定不独立 2设，则 D （A）事件A和B互不相容 （B）事件A和B互相对立 （C）事件A和B互不独立 （D）事件A和B相互独立 3设A，B为任意两个事件且，则下列选项必然成立的是 B （A） （B） （C） （D）二、填空题：1已知A，B为两个事件满足，且，

16、则 2设两两独立的事件A，B，C满足条件，且已知，则 0.25 3假设一批产品中一，二，三等品各占60%，30%，10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是 2/3 三、计算题： 1设两个相互独立的事件都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求A发生的概率 解：已知 又 而 所以，有 故 2如果一危险情况发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性。在发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有的可靠性（即在情况发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电

17、路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。 解：设一个电路闭合的可靠性为p，已知 ，所以 设n个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999 则 即 , 所以 取6个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999。3将三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出为其他一字母的概率为。今将字母串之一输入信道，输入的概率分别为，已知输出为，问输入的是的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的） 解： 4一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为，假设产品的优质率为。如果各件产品是否为优质品相互独立。求： （1）计

18、算生产线在两次故障间共生产k件（k = 0，1，2，）优质品的概率； （2）若已知在某两次故障间该生产线生产了k件优质品，求它共生产m件产品的概率。 解： 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第二章 随机变量与其分布（一）一选择题： 1设X是离散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是 （A） （B） （C） （D） 2设随机变量的分布列为 为其分布函数，则= （A）0.2 （B）0.4 （C）0.8 （D）1二、填空题： 1设随机变量X 的概率分布为 ，则a = 2某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X的概率分布为 3设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射

19、击10次，则击中目标次数X的概率分布为 三、计算题： 1同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求： （1）X的概率分布； （2）； （3） 2产品有一、二、三等品与废品四种，其中一、二、三等品与废品率分别为60%，10%，20%与10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X描述检查结果。 3已知随机变量X只能取，0，1，2四个值，相应概率依次为，试确定常数c，并计算 4一袋中装有5只球编号1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中最大号码，写出随机变量X的分布律和分布函数。 5设随机变量，若，求概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第二章 随机变量与

20、其分布（二）一、选择题： 1设连续性随机变量X的密度函数为，则下列等式成立的是 A （A） （）（）（）解：（A） 2设连续性随机变量X的密度函数为，则常数 A （A） （B） （C） （D）解： 3设，要使，则 C （A） （B） （C） （D） 4设，则下列等式不成立的是 C （A） （B） （C） （D） 5X服从参数的指数分布，则 C （A） （B） （C） （D）解：二、填空题： 1设连续性随机变量X的密度函数为，则常数A = 3 解： 2设随机变量，已知，则 0.1 三、计算题： 1设求和解： 2设随机变量X的密度函数为，且求：（1）常数 （2） （3）的分布函数解： 3设某种电子

21、元件的使用寿命X（单位：h）服从参数的指数分布，现某种仪器使用三个该电子元件，且它们工作时相互独立，求： （1）一个元件时间在200h以上的概率； （2）三个元件中至少有两个使用时间在200h以上的概率。概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第二章 随机变量与其分布（三） 1已知X的概率分辨为 ，试求： （1）常数a； （2）的概率分布。2设随机变量X在（0，1）服从均匀分布，求： （1）的概率密度； （2）的概率密度。3设，求： （1）的概率密度； （2）的概率密度。 4设随机变量X的概率密度为，求的概率密度。概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第三章 多维随机变量

22、与其分布（一）一、填空题：1、设二维随机变量的联合密度函数为，则常数1/6 。2、设二维随机变量的联合分布函数为，则常数 。二、计算题： 1在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验： （1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下： ， 试分别就（1），（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。解：1（1）放回抽样 （2）不放回抽样 Y 0 1X 0 15/22 5/331 5/33 1/66 Y 0 1X 0 25/36 5/361 5/36 1/36YX 2设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求（1）， （2）解：（1）， （2） Y

23、0X 1 1/4 1/4 2 1/6 a 3设随机变量的联合分布律如表： 求：（1）a值； （2）的联合分布函数 （3）关于X，Y的边缘分布函数和解：（1）1/4+1/4+1/6+a=1,a=1/3（2）（3） 0 1-1 0 1/4 1/4 1/6 1/3 XY pip j 5/12 7/12 1/2 1/2 4设随机变量的概率密度为，求： （1）常数k； （2）求； （3）； （4）（1）（2）（3）（4）概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第三章 多维随机变量与其分布（二）一、选择题：1、设随机变量与独立，且，则仍服从正态分

24、布，且有 D （A） (B) (C) (D) 2、若服从二维均匀分布，则 B （A）随机变量都服从均匀分布 （B）随机变量不一定服从均匀分布（C）随机变量一定不服从均匀分布 （D）随机变量服从均匀分布二、填空题：1、设二维随机变量的密度函数为，则 。 2、设随机变量同分布，的密度函数为，设与相互独立，且，则 。 三、计算题： 1已知，X与Y独立，确定a，b的值，求出的联合概率分布以与的概率分布。 解：由归一性 所以 由归一性 所以 Y X 1 24/539 54/539 216/539 2 12/539 27/539 108/539 3 8/539 18/539 72/539的联合概率分布 由

25、于 的概率分布为： 2随机变量与的联合密度函数为，分别求下列概率密度函数：（1）； （2）； （3）。 解：（1） 即 所以 Z的概率密度函数为 或 当时， 当时， 所以 Z的概率密度函数为 （2）由于 则X与Y相互独立。当时， 当时， 所以 （3） 当时， 当时， 所以 3设与是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布。试求 （1）的分布函数与概率密度函数； （2）的概率密度函数。解：（1） 当或时， 当时， 当时， 所以， （2）当时，；当时， 当时，； 当时，； 当时， 即 的分布函数为： 所以 的概率密度函数为： 4设X和Y相互独立，其概率密度函数分别为，求：（1）常数A， （2）随机

26、变量的概率密度函数。 解：（1） 由于，所以A = 1 （2） 随机变量的概率密度函数 （） 当时， 当时， 当时， 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一）一、选择题： 1设随机变量X，且存在，则是 B （A）X的函数 （B）确定常数 （C）随机变量 （D）x的函数 2设X的概率密度为，则 C （A） （B） （C） （D）1 3设是随机变量，存在，若，则 D （A） （B） （C） （D）二、填空题： 1设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 0.5 2设X为正态分布的随机变量，概率密度为，则 9 X

27、 0 1 2 P 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 3设随机变量X的概率分布 ，则 116/15 4设随机变量X的密度函数为，则 0 三、计算题： 1袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中最大编号，求 解：X的可能取值为3，4，5， 2设随机变量X的密度函数为，求解： 3设随机变量，求解： 4设随机变量X的密度函数为，试求下列随机变量的数学期望。（1） （2） （3）解：（1） （2） （3） 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（二）一、选择题： 1已知，则 B （A）9 （B）6 （C）30 （D

28、）36 2设，则有 D （A） （B） （C） （D） 3设服从参数为的泊松分布，则 D （A） （B） （C） （D）二、填空题： 1设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 0.45 2设随机变量X的密度函数为，则 2 3随机变量X服从区间0，2上的均匀分布，则 1/3 4设正态分布Y的密度函数是，则 1/2 三、计算题： 1设随机变量X的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02，求：的期望与方差；解： 2设随机变量，试求、与 解： = sqrt() = 1 所以 = 0 = 33设随机变量X的分布密度为，已知，求：

29、（1）常数A，B，C的值； （2）方差； （3）随机变量的期望与方差。解：（1） 得 得 得 所以 解得概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（三）一、选择题： 1对任意两个随机变量和，若，则 C （A） （B） （C）X与Y相互独立 （D）X与Y不相互独立 2由即可断定 A （A）X与Y不相关 （B） （C）X与Y相互独立 （D）相关系数二、填空题： 1设维随机变量服从，则 13 2设与独立，且，则 27 三、计算题：010.1250.1250.12500.12500.125101250.1250.1251 已知二维随机变量的分布律如表：试验证与不相关，但与Y不独立。解：X的分布律为: