圆锥曲线的解题技巧完美word版.doc

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1、圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：1、中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数如：(1)+=1(ab0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有+k=0(2)=1(a0，b0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有k=0(3)y2=2px(p0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0)，则有2y0k=2p，即y0k=p典型例题：给定双曲线x2=1过A(2,1)的直线与双曲线交于两

2、点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程2、焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥 典型例题：设P(x,y)为椭圆+=1上任一点，F1(c,0)，F2(c,0)为焦点，PF1F2=，PF2F1=(1)求证离心率e=；(2)求|PF1|3+|PF2|3的最值3、直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解典型例题：抛物线y2=p(x+1

3、)(p0)，直线x+y=t与x轴的交点在抛物线的右边(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B，且OAOB，求p关于t的函数f(t)的表达式4、圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值典型例题：已知抛物线y2=2px(p0)，过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|2p(1)求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于

4、点N，求NAB面积的最大值分析：(1)可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思想”最值问题的处理思路：a、建立目标函数用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；b、数形结合，用化曲为直的转化思想；c、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；d、借助均值不等式求最值5、求曲线的方程问题(1)曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解

5、决典型例题：已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上若点A(1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程(2)曲线的形状未知求轨迹方程典型例题：已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线MNQO6、存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)典型例题：已知椭圆C的方程+=1，试确定m的取值范围，使得对于直线y

6、=4x+m，椭圆C上有不同两点关于直线对称7、两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k1k2=1来处理或用向量的坐标运算来处理典型例题：已知直线l的斜率为k，且过点P(2,0)，抛物线C：y2=4(x+1)，直线l与抛物线C有两个不同的交点(如图)(1)求k的取值范围；(2)直线l的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量下面举例说明：1、充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理

7、解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量典型例题：设直线3x+4y+m=0与圆x2+y2+x2y=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求m的值2、充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到典型例题：已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线y=x+1相交于P、Q两点，且OPOQ，|PQ|=，求此椭圆方程3、充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算典型例题：求经过两已知圆C1：x2+y24x+2y=0和C2：x2+

8、y22y4=0的交点，且圆心在直线l：2x+4y1=0上的圆的方程4、充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法典型例题：P为椭圆+=1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标5、线段长的几种简便计算方法(1)充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程y=kx+b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2+bx+c=0的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为，则|AB|=|xAxB|=，若直接用结论，能减少配方、开方等运算

9、过程例1、求直线xy+1=0被椭圆x2+4y2=16所截得的线段AB的长(2)结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算例1、F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，AB是经过F1的弦，若|AB|=8，求值|F2A|+|F2B|(3)利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例2、点A(3,2)为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+|PF|取得最小值，求点P的坐标圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1、直线方程的形式(1)直线方程的形式有五种：点斜式、两点

10、式、斜截式、截距式、一般式(2)与直线相关的重要内容倾斜角与斜率k=tan，0,) 点到直线的距离d= 夹角公式：tan=|(3)弦长公式直线y=kx+b上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)间的距离：|AB|=|x1x2|=或|AB|=|y1y2|(4)两条直线的位置关系l1l2k1k2=1 l1l2k1=k2且b1b22、圆锥曲线方程及性质(1)椭圆的方程的形式有三种形式： 标准方程：+=1(m0，n0，mn) 距离式方程：|=2a 参数方程：x=acos，y=bsin(2)双曲线的方程的形式有两种： 标准方程：+=1 (mn0) 距离式方程：|=2a(3)三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭

11、圆：；双曲线：；抛物线：2p(4)圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，平面内一个动点M满足|MF1|MF2|=2则动点M的轨迹是( )A双曲线； B双曲线的一支； C两条射线； D一条射线(5)焦点三角形面积公式：P在椭圆上，SPF1F2=b2tan；P在双曲线上，SPF1F2=b2cot(其中F1PF2=，cos=，向量PF1PF2=|PF1|PF2|cos)(6)记住焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时为aex0；焦点在y轴上时为aey0，可简记为“左加右减，上加下减”双曲线焦点在x轴上时为e|x0|a抛物线焦点在x轴上时为|x1|+，焦点在y轴上时为|y1|+

12、(7)椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 椭圆： b2+c2=a2； 双曲线： a2+b2=c2第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(x1,y1)，(x2,y2,)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数设A(x1,y1)、B(x2,y2)，M(a,b)为椭圆+=1的弦AB中点则有+=1，+=1；两式相减得=，kAB=2、联立消元法： 求弦长：设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式两交点问题：设曲线上的两点A(x1,y1)，B

13、(x2,y2)，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后两式相减，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理一旦设直线为y=kx+b，就意味着k存在例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2+5y2=80上，且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上)(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；(2)若角A为90，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的

14、方程第二问抓住角A为90可得出ABAC，从而得x1x2+y1y214(y1+y2)+16=0，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；解：(1)设B(x1,y1)，C(x2,y2)，BC中点为(x0,y0)，F(2,0)，则有+=1，+=1两式作差有+=0，即+=0 (1)F(2,0)为三角形重心，所以由=2，得x0=3，由=0得y0=2，代入(1)得k=，直线BC的方程为6x5y28=0(2)由ABAC得x1x2+y1y214(y1+y2)+16=0(2)设直线BC方程为y=kx+b，代入4x2+4y2=80，得(4+5k2)x2+10bkx+5b280=0x1+x2=，x1x2=，y

15、1+y2=，y1y2= 代入(2)式得=0，解得b=4(舍)或b=直线过定点(0,)，设D(x,y)，则=1，即9y2+9x232y16=0所以所求点D的轨迹方程是x2+(y)2=()2(y4)3、设而不求法例2、如下左1图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段向量AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率e的取值范围分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力建立直角坐标系xOy，如图，若设C(,h)，代入=1，求得h，进而求得xE、yE，再代入=1，建立目标函数f(a,b

16、,c,)=0，整理f(e,)=0，此运算量可见是难上加难我们对h可采取设而不求的解题策略，建立目标函数f(a,b,c,)=0，整理f(e,)=0，化繁为简解法一：如上图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CDy轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称 依题意，记A(c,0)，C(,h)，E(x0,y0)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得：x0=，y0=设双曲线的方程为=1，则离心率e=由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线方程得=1、()()=1由式得 =1，将式代入式，

17、整理得(44)=1+2，故 =1由题设得，1，解得e所以双曲线的离心率的取值范围为,分析：考虑|AE|，|AC|为焦半径，可用焦半径公式，|AE|，|AC|用E，C的横坐标表示，回避h的计算, 达到设而不求的解题策略解法二：建系同解法一，|AE|=(a+exE)，|AC|=a+exC，xE=，又=，代入整理=1，由题设得，1，解得e所以双曲线的离心率的取值范围为,4、判别式法例3、已知双曲线C：=1，直线l过点A(,0)，斜率为k，当0k1时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时点B的坐标分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解

18、析几何问题的重要手段 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式=0 由此出发，可设计如下解题思路：l：y=k(x)(0k1)，由直线l在l的上方且到直线l的距离为l：y=kx+k由直线l的方程代入双曲线方程，消去y，令=0解得k的值解题过程略分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为”，相当于化归的方程有唯一解 据此设计出如下解题思路：问题线线距离为有唯一解一元二次方程根的问题求解简解：设点M(x,)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为：

19、=(0k1)(*)于是，问题即可转化为如上关于x的方程由于0k|x|kx，从而有|kxk|=kx+k于是关于x的方程(*)kx+k=()2=(k+kx)2、k+kx0(k21)x2+2k(k)x+(k)22=0、k+kx0由0k0恒成立，于是(*)等价于(k21)x2+2k(k)x+(k)22=0由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式=0，就可解得k=点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性例4、已知椭圆C：x2+2y2=8和点P(4,1)，过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使=，求动点Q的轨迹所在曲线的方程分析：这是一个轨迹问题，解题

20、困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x，y与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：=来转化由A、B、P、Q四点共线，不难得到x=，要建立x与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数=x=将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理

21、x=f(k)利用点Q满足直线AB的方程：y=k(x4)+1，消去参数k点Q的轨迹方程在得到x=f(k)之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x，y的方程(不含k)，则可由y=k(x4)+1解得k=，直接代入x=f(k)即可得到轨迹方程从而简化消去参的过程简解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(x,y)，则由=可得：=，解之得：x=(1)设直线AB的方程为：y=k(x4)+1，代入椭圆C的方程，消去y得出关于 x的一元二次方程：(2k2+1)x2+4k(14k)x+2(14k)28=0(2)，x1+x2=，x1x2=代入(1)，化简得：x=(3)，与y=k(x4

22、)+1联立，消去k得：(2x+y4)(x4)=0在(2)中，由=64k2+64k+240，解得k，结合(3)可求得x故知点Q的轨迹方程为：2x+y4=0(x0的情形当k0时，x1=，x2=，所以=1=1由=(54k)2180(9k2+4)0，解得k2，11，综上1分析2：如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于=不是关于x1，x2的对称关系式原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于x1，x

23、2的对称关系式把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，由韦达定理xA+ xB = f(k)，xA xB = g(k)由=构造所求量与k的关系式由判别式得出k的取值范围关于所求量的不等式简解2：设直线l的方程为：y=kx+3，代入椭圆方程，消去y得(9k2+4)x2+54kx+45=0(*)x1+x2=，x1x2=令=，则+2=在(*)中，由判别式0可得k2，从而有4，所以4+2，解得5结合0b0)，则c=1又向量AFFB=1，即(a+c)(ac)=1=a2c2，a2=1，故椭圆方程为+y2=1(2)假设存在直线l交椭圆于P、Q两点，且F恰为PQM的垂心，则设

24、P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(0,1)，F(1,0)，故kPQ=1，于是设直线l为y=x+m，联立直线与椭圆得，3x2+4mx+2m22=0向量MPFQ=0，x1(x21)+y2(y11)，又yi=xi+m(i=1，2)，x1(x21)+(x2+m)(x1+m1)=0，即2x1x2+(x1+x2)(m1)+m2m=0 由韦达定理得2(m1)+m2m=0，解得m=或m=1(舍)经检验m=符合条件点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(2,0)、B(2,0)、C(1,)三点(1)求椭圆E的方程：(

25、2)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(1,0)，H(1,0)，当DFH内切圆的面积最大时，求DFH内心的坐标；思维流程：(1)由椭圆经过A、B、C三点设方程mx2+ny2=1得到m，n的方程组解出m，n (2)由DFH内切圆面积最大转化为DFH面积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点DFH面积最大值为SDFH=周长r内切圆r内切圆=得出D点坐标为(0,)解题过程：(1)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0，n0)，将A(2,0)、B(2,0)、C(1,)代入椭圆E的方程，得，解得m=，n=椭圆E的方程+=1(2)|FH|=2，设DFH边上的高为SDFH=2h=h当点

26、D在椭圆的上顶点时，h最大为，所以SDFH的最大值为设DFH的内切圆的半径为R，因为DFH的周长为定值6所以，SDFH=R6所以R的最大值为所以内切圆圆心的坐标为(0,)点石成金：S的内切圆=周长r的内切圆例8、已知定点C(1,0)及椭圆x2+3y2=5，过点C的动直线与椭圆相交于A、B两点(1)若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；(2)在x轴上是否存在点M，使向量MAMB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由思维流程：(1)解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x+1)，将y=k(x+1)代入x2+3y2=5， 消去y整理得(3k2+1)x2+6k2

27、x+3k25=0 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则=36k44(3k2+1)(3k25)0、x1+x2=由线段AB中点的横坐标是，得=，解得k=，符合题意所以直线AB的方程为xy+1=0，或x+y+1=0(2)解：假设在x轴上存在点M(m,0)，使向量MAMB为常数当直线AB与x轴不垂直时，由(1)知x1+x2=，x1x2=(3) 所以向量MAMB=(x1m)(x2m)+y1y2=(x1m)(x2m)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2m)(x1+x2)+k2+m2将(3)代入，整理得向量MAMB=+m2=+m2=m2+2m注意到向量MAMB是与k无关的常数，

28、从而有6m+14=0，m=， 此时向量MAMB=当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为(1,)、(1,)，当m=时， 亦有MAMB= 综上，在x轴上存在定点M(,0)，使向量MAMB为常数点石成金：向量MAMB=+m2=+m2=m2+2m例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m0)，l交椭圆于A、B两个不同点(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形思维流程：解：(1)设椭圆方程为+=1(ab0)，则，解得，椭圆方程为+=1(2)直线l平行于OM，且

29、在y轴上的截距为m，又KOM=，l的方程为y=x+m联立直线与椭圆并消去y得x2+2mx+2m24=0直线l与椭圆交于A、B两个不同点，=(2m)24(2m24)0，解得2mb0)，由已知得：a+c=3，ac=1，a=2，c=1b2=a2c2=3，椭圆的标准方程为+=1(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)联立椭圆方程得(3+4k2)x2+8mkx+4(m23)=0，则=64m2k216(3+4k2)(m23)0，即3+4k2m20x1+x2=，x1x2=又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，kADkB

30、D=1，即=1y1y2+x1x22(x1+x2)+4=0+4=07m2+16mk+4k2=0解得：m1=2k，m2=，且均满足3+4k2m20当m1=2k时，l的方程y=k(x2)，直线过点(2,0)，与已知矛盾；当m2=时，l的方程为y=k(x)，直线过定点(,0)所以，直线l过定点，定点坐标为(,0)点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点CACB；例12、已知双曲线=1 (a0，b0)的左右两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线右支上(1)若当点P的坐标为(,)时，向量PF1PF2，求双曲线的方程；(2)若|PF1|=3|PF2|，求双曲线离心率e的最值，并写出此时双曲线的渐进线方程思

31、维流程：解：(1)(法一)由题意知，向量PF1=(c,)，PF2=(c,)向量PF1PF2，PF1PF2=0，(c)(c)+()2=0(1分)解得c2=25，c=5由双曲线定义得：|PF1|PF2|=2a2a=6，a=3，b=4所求双曲线的方程为：=1(法二) 因向量PF1PF2，由斜率之积为1，可得解(2)设|PF1|=r1，|PF2|=r2，(法一)设P的坐标为(x0,y0)，由焦半径公式得r1=|a+ex0|=a+ex0，r2=|aex0|=ex0a，r1=3r2，a+ex0=3(ex0a)，x0=x0a，a，2ac，e的最大值为2，无最小值此时=2，=，此时双曲线的渐进线方程为y=x(法二)设F1PF2=，(0,(1)当=时，r1+r2=2c，且r1=3r2，2c=4r22a=r1r2=2r2，此时e=2(2)当(0,)，由余弦定理得：(2c)2=r12+r222r1r2cos=10r226r22cos，e=r2，cos=(1,1)，e(1,2)，综上，e的最大值为2，但e无最小值 10 / 10地址：实验中学对面 电话：15114356766