2.3直线与圆位置关系同步练习北师大版选择性必修第一册第一章（含答案）.docx

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1、2.3直线与圆位置关系同步练习北师大版选择性必修第一册第一章（含答案）2.3直线与圆的位置关系 1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为() A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 2.直线3x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于() A.3或-3 B.-3或33 C.-33或3 D.-33或33 3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是() A.6 B.3 C.26 D.8 4.(2020全国,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知

2、圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为() A.106 B.206 C.306 D.406 6.过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为. 7.已知直线l:2mx-y-8m-3=0,则直线过定点,该直线被圆C:x2+y2-6x+12y+20=0截得最短弦长为. 8.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且POQ=120(其中O为原点),则k的值为.答案-3或3 9.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0. (1)当a为何值时,直线l

3、与圆C相切? (2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=22时,求直线l的方程. 实力达标 10.若直线ax+by=2与圆x2+y2=1有两个不同的公共点,那么点(b,a)与圆x2+y2=4的位置关系是() A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不能确定 11.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=() A.-12 B.1 C.2 D.12 12.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为() A.-3 B.-2 C.2 D.3 13.(2021山西吕梁一模)已知直线l:x+by+

4、1=0与圆C:(x+b)2+(y+2)2=8相交于A,B两点,且ABC是顶角为23的等腰三角形,则b等于() A.1 B.-17 C.-1 D.1或-17 14.(多选题)(2020山东泰安一中高二期中)若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是() A.-1 B.-33 C.13 D.2 15.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(mR)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|CD|的最小值为. 16.(2020浙江,15)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则

5、k=;b=. 17.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a4)的圆心为C,直线l:y=x+m. (1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值; (2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4改变时,求m的取值范围. 18.如图,某市有相交于点O的一条东西走向的马路l,与南北走向的马路m,这两条马路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.依据市民建议,欲再新建一条马路PQ,点P,Q分别在马路l,m上,且要求PQ与圆形商城A也相切. (1)当P距O处4千米时,求OQ的长; (2)当马路PQ长最短时,求OQ的长. 1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为

6、() A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 答案B 解析由圆的方程得到圆心坐标(0,0),半径r=1,则圆心(0,0)到直线y=x+1的距离d=|1|12+(-1)2=22<1,即d<r,所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心.故选B. 2.直线3x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于() A.3或-3 B.-3或33 C.-33或3 D.-33或33 答案C 解析圆的标准方程为(x-1)2+y2=3,由题意知圆心(1,0)到直线3x-y+m=0的距离等于半径,即|3+m|3+1=3,|3+m|=23,解得m=3或m=-33,故选C.

7、 3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是() A.6 B.3 C.26 D.8 答案A 解析圆的标准方程为x2+(y-3)2=9,圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),即该直线过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为圆的直径6. 4.(2020全国,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为(1-3)2+(2-0)2=22<3,所以点(1,2)在圆内. 如图所示,设圆心O1(3,0)

8、,A(1,2),当弦BC与O1A垂直时弦最短, 因为|O1A|=(3-1)2+(0-2)2=22,|O1B|=3, 所以|AB|=|O1B|2-|O1A|2=9-8=1, 所以|BC|=2|AB|=2. 5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为() A.106 B.206 C.306 D.406 答案B 解析设圆的圆心为M,则M(3,4),半径r=5. 当过点P的直线过圆心M时,对应的弦AC是最长的,此时,|AC|=2r=10;当过点P的直线与MP垂直时,对应的弦BD最小, 此时在RtMPD中,|MD|=r=

9、5,|MP|=1, 故|BD|=2|MD|2-|MP|2=46. 此时四边形ABCD的面积为 S=12|AC|BD|=206,故选B. 6.过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为. 答案2x-y=0 解析若所求直线斜率存在,设其方程为y=kx,即kx-y=0.由于直线kx-y=0被圆截得的弦长等于2,圆的半径是1,因此圆心到直线的距离等于12-(22)2=0,即圆心(1,2)在直线kx-y=0上.于是有k-2=0,即k=2,因此所求直线方程是2x-y=0.易知直线斜率不存在时不符合题意. 7.已知直线l:2mx-y-8m-3=0,则直线过定点,该直线

10、被圆C:x2+y2-6x+12y+20=0截得最短弦长为. 答案(4,-3)215 解析将直线l变形得2m(x-4)=y+3,即直线l恒过定点P(4,-3),圆的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25.明显点P在圆内.当圆心C(3,-6)到直线l的距离最大时,直线l被圆所截得的弦AB的长度最短. 此时PCl,又kPC=-3-(-6)4-3=3, 所以直线l的斜率为-13, 则2m=-13,所以m=-16. 因为|PC|=10,|AC|=5, 所以|AB|=2|AC|2-|PC|2=215. 故当m=-16时,直线l被圆C截得的弦长最短,最短弦长为215. 8.若直线y=kx+1与圆x2+y

11、2=1相交于P,Q两点,且POQ=120(其中O为原点),则k的值为.答案-3或3 解析由题意知直线y=kx+1恒过定点(0,1),圆x2+y2=1的圆心是(0,0),半径是1, 取PQ的中点为E,连接OE,则OEPQ.因为POQ=120,故POE=60,所以|OE|=12. 又直线l的方程为kx-y+1=0,所以|1|k2+1=12,故k=3. 9.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0. (1)当a为何值时,直线l与圆C相切? (2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=22时,求直线l的方程. 解圆C方程可化为x2+(y-4)2=4,此圆的圆心为(0,4),半

12、径为2. (1)若直线l与圆C相切,则有|4+2a|a2+1=2,解得a=-34,即当a=-34时,直线l与圆C相切. (2)过圆心C作CDAB,则依据题意和圆的性质,得|CD|=|4+2a|a2+1,|CD|2+|DA|2=|AC|2=22,|DA|=12|AB|=2, 解得a=-7或a=-1, 故所求方程为7x-y+14=0或x-y+2=0. 实力达标 10.若直线ax+by=2与圆x2+y2=1有两个不同的公共点,那么点(b,a)与圆x2+y2=4的位置关系是() A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不能确定 答案A 解析因为直线ax+by=2与圆x2+y2=1有两个公共点,所

13、以有|2|a2+b2<1, 即a2+b2>2,因为点(b,a)与x2+y2=4的圆心的距离为a2+b2,圆x2+y2=4的半径为2, 所以点(b,a)在圆外.故选A. 11.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=() A.-12 B.1 C.2 D.12 答案C 解析点P在圆上,在点P的圆的切线有斜率,设在点P(2,2)的圆的切线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,由于和圆相切,故|k+2-2k|k2+1=5,得k=-12,由于直线kx-y+2-2k=0与直线ax-y+1=0垂直,因此-12

14、a=-1,解得a=2,故选C. 12.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为() A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案C 解析圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线的距离为5,所以|-2a-3|a2+b2=5, 整理,得a2-12a+5b2-9=0,又直线过P(-1,2),代入,得-a+2b-3=0, 由a2-12a+5b2-9=0,-a+2b-3=0, 解得a=1,b=2,所以ab=2. 13.(2021山西吕梁一模)已知直线l:x+by+1=0与圆C:(x+b)2+(y+2)2=8相交于A,B两点,且ABC是顶

15、角为23的等腰三角形,则b等于() A.1 B.-17 C.-1 D.1或-17 答案D 解析圆C:(x+b)2+(y+2)2=8的圆心为(-b,-2),半径为22, 由题意ABC是顶角为23的等腰三角形可知圆心到直线l的距离为2, |-b-2b+1|1+b2=2,解得b=1或b=-17. 故选D. 14.(多选题)(2020山东泰安一中高二期中)若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是() A.-1 B.-33 C.13 D.2 答案BC 解析由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆心C(1,0),半

16、径r=1.直线与圆有公共点,需|k-3k|k2+11,所以|2k|k2+1,得k213,所以-33k33,比照选项知B,C适合. 15.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(mR)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|CD|的最小值为. 答案43 解析直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,由x-y=0,y-1=0,得x=y=1,即直线l恒过定点P(1,1). C,D分别为OA,AB的中点, |CD|=12|OA|=2, 当OPAB时,|AB|最小, 此时|AB|=2(22)2-(2)2=26, |AB|CD|=2|AB|226=43. 16.(2

17、020浙江,15)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=;b=. 答案33-233 解析由k>0,依据题意画出直线l:y=kx+b及两圆,如图所示. 由对称性可知直线l必过点(2,0),即2k+b=0, 并且|b|1+k2=|4k+b|1+k2=1, 由解得k=33,b=-233. 17.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a4)的圆心为C,直线l:y=x+m. (1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值; (2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4改变时,求m的取值范围. 解(1)已知圆的标准方

18、程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0<a4),则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2a. 直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|4-2a|2=2|2-a|. 设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得 L=2(2a)2-(2|2-a|)2 =2-2a2+12a-8=2-2(a-3)2+10. 0<a4,当a=3时,L的最大值为210. (2)直线l与圆C相切,则有|m-2a|2=2a, 即|m-2a|=22a. 点C在直线l的上方,a>-a+m,即2a>m, 2a-m=22a,m=(2a-1)2-1. 0<a4,0

19、<2a22, m-1,8-42. 18.如图,某市有相交于点O的一条东西走向的马路l,与南北走向的马路m,这两条马路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.依据市民建议,欲再新建一条马路PQ,点P,Q分别在马路l,m上,且要求PQ与圆形商城A也相切. (1)当P距O处4千米时,求OQ的长; (2)当马路PQ长最短时,求OQ的长. 解(1)以O为原点,直线l,m分别为x,y轴建立平面直角坐标系. 设PQ与圆A相切于点B,连接AB,以1千米为单位长度,则圆A的方程为(x-1)2+(y-1)2=1, 由题意可设直线PQ的方程为x4+yb=1,即bx+4y-4b=0(b>2), P

20、Q与圆A相切,|4-3b|b2+42=1,解得b=3, 故当P距O处4千米时,OQ的长为3千米. (2)设P(a,0),Q(0,b)(a>2,b>2), 则直线PQ方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0. 因为PQ与圆A相切,所以|b+a-ab|b2+a2=1, 化简得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2; 因此PQ=a2+b2=(a+b)2-2ab =(a+b)2-4(a+b)+4=(a+b-2)2. 因为a>2,b>2,所以a+b>4,于是PQ=(a+b)-2.又ab=2(a+b)-2a+b22,解得0<a+b4-22,或a+b4+22. 因为a+b>4,所以a+b4+22, PQ=(a+b)-22+22,当且仅当a=b=2+2时取等号,所以PQ最小值为2+22,此时a=b=2+2. 答:当P,Q两点距离两马路的交点O都为2+2(千米)时,新建马路PQ最短.