[正多边形的有关计算] 正多边形与圆.docx

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1、正多边形的有关计算 正多边形与圆教学设计示例1教学目标：（1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题；（2）巩固学生解直角三角形的实力，培育学生正确快速的运算实力；（3）通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探究和创新教学重点:把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题教学难点:正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何学问精确计算教学活动设计: （一）创设情境、视察、分析、归纳结论1、情境一：给出图形 问题1：正n边形内角的规律视察：在图形中，应用以有的学问（多边形内角和定理，多边形的每个内角都相等）

2、得出新结论老师组织学生自主视察，学生回答（正n边形的每个内角都等于 ）2、情境二：给出图形 问题2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？老师引导学生视察，学生回答视察：三角形的形态，三角形的个数归纳：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形3、情境三：给出图形 问题3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？视察、归纳：这些边心距又把这n个等腰三角形分成了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的（二）定理、理解、应用：1、定理： 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化由于这些直角三角形

3、的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距rn，另一条直角边是正n边形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角 的一半，即 ，所以，依据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题3、应用：例1、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P6和面积S6老师引导学生分析解题思路：n=6 =30，又半径为R a6 、r6 P6、S6学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的实力解：作半径OA、OB；作OGAB，垂足为G，得RtOGBGOB= ，a6 =2Rsin30=R，P6=6a6=6R，r6=Rcos30= ， 归纳：假如用Pn表示正n边形的周长，

4、由例1可知，正n边形的面积S6= Pn rn4、探讨：（应用例1的方法进一步探讨）问题：已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积学生以小组进行探讨，并初步归纳： ； ； ； ； ； 上述公式是运用解直角三角形的方法得到的通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了例如：(1)圆的半径或边数；(2)圆的半径和边心距；(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素（三）小节学问：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题思想：转化思想实力：解直角三角形的实力、计算实力；视察、分析、探讨、归纳实力（四）作业归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有

5、关计算公式教学设计示例2教学目标：（1）进一步探讨正多边形的计算问题，解决实际应用问题；（2）通过正十边形的边长a10与半径R的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法；（3）通过解决实际问题，培育学生简洁的数学建模实力；（4）培育学生用数学意识，渗透理论联系实际、实践论的观点教学重点:应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题及代数计算的证明方法教学难点:例3的证明方法教学活动设计：（一）学问回顾（1）方法：运用将正多边形分割成三角形的方法，把正多边形有关计算转化为解直角三角形问题（2）学问：正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，正多边形的有关计算 ； ； ； ； ； 组织学生填写教材P16

6、5练习中第2题的表格（二）正多边形的应用正多边形的有关计算方法是基本的几何计算学问之一，驾驭这些学问，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些学问在生产和生活中经常会用到，驾驭后对学生参与实践活动具有好用意义例2、在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R5和边心距r5(精确到0.1cm)解：设正五边形为ABCDE，它的中心为点O，连接OA，作OFAB，垂足为F，则OA=R5，OF=r5，AOF= AF= （cm），R5= （cm）r5= （cm）答：这个正多边形的半径约为40.8cm，边心距约为33.0cm建议：组织学生，使学生主动参

7、加教学；渗透简洁的数学建模思想和实际应用意识；对与本题除解直角三角形学问外，还要主要学生的近似计算实力的培育以小组的学习形式，每个小组自己举一个实际生活中的例子加以探讨，班内沟通 例3、已知：正十边形的半径为R，求证：它的边长 老师引导学生：（1）AOB=？（2）在OAB中，A与B的度数？（3）假如BM平分OBA交OA于M，你发觉图形中相等的线段有哪些？你发觉图中三角形有什么关系？（4）已知半径为R，你能不通过解三角形的方法求出AB吗？怎么计算？解：如图，设AB=a10作OBA的平分线BM，交OA于点M，则AOB=1=2=36，OAB=3=72OM=MB=AB= a10 OABBAM OA:A

8、B=BA:AM，即R :a10= a10:（R- a10），整理，得 ， （取正根）由例3的结论可得 回顾：黄金分割线段AD2=DCAC，也就是说点D将线段AC分为两部分，其中较长的线段AD是较小线段CD与全线段AC的比例中项顶角36角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段反思：解决方法在推导a10与R关系时，协助线角平分线是怎么想出来的解决方法是复习等腰三角形的性质、判定及相像三角形的有关学问练习P.165中练习1(三)总结（1）应用正多边形的有关计算解决实际问题；（2）综合代数列方程的方法证明白 （四）作业教材P173中8、9、10、11、12探究活动已知下列图形分别为正方形、正五边形、正六边形，试计算角 、 、 的大小探究它们存在什么规律？你能证明吗？ （提示： ）