挑战中考数学压轴题平行四边形存在性问题.doc

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1、 教师： 学生： 时间：2017年 月 日课题内容平行四边形存在性问题专题攻略一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.二、难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又准又快.三、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点.四、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便.典型例题例1如图，抛物线：y=x2x及x轴交于A、B（A在B左侧

2、），A（1，0）、B（3，0），顶点为C（1，2）（1）求过A、B、C三点的圆的半径（2）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标（1）A（1，0）、B（3，0）、C（1，2），AB=3（1）=4，AC=2，BC=2，AB2=16，AC2+BC2=8+8=16，AB2=AC2+BC2，ABC是直角三角形，AB是直径，故半径为2；（2）当AB是平行四边形的边时，PE=AB=4，且点P、E的纵坐标相等，点P的横坐标为4或4，y=424=，或y=42+4=，点P、E的坐标为P1（4，）、E1（0，）或P2（4，）、E2（0，），如图，当AB是平

3、行四边形的对角线时，PE平分AB，PE及x轴的交点坐标D（1，0），过点P作PFAB，则OD=FD，点F的坐标为（2，0），点P的横坐标为2，y=222=，点P的纵坐标为，点P、E的坐标为P3（2，）、E3（0，），综上所述，点P、E的坐标为：P1（4，）、E1（0，）或P2（4，）、E2（0，）或P3（2，）、E3（0，）例2将抛物线沿c1：y=x2+沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示（1）请直接写出拋物线c2的表达式（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，及x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，

4、及x轴交点从左到右依次为D，E当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由方法一：（1）根据翻折的性质可求拋物线c2的表达式；（2）求出拋物线c1及x轴的两个交点坐标，分当AD=AE时，当BD=AE时两种情况讨论求解；存在理由：连接AN，NE，EM，MA根据矩形的判定即可得出方法二：（1）求出翻折后抛物线顶点坐标，并求出抛物线表达式（2）抛物线c1平移m个单位长度后，求出点A，B，D，E的坐标，并分类讨论点B在点D左侧和右侧的两种情况，进而求出m的值以点A、N、E、M为顶点的四边形是

5、矩形，则ANEN，利用黄金法则二，可求出m的值【解答】方法一：解：（1）y=x2（2）令x2+=0，得x1=1，x2=1则拋物线c1及x轴的两个交点坐标为（1，0），（1，0）A（1m，0），B（1m，0）同理可得：D（1+m，0），E（1+m，0）当AD=AE时，（1+m）（1m）=（1+m）（1m），m=当BD=AE时，（1m）（1+m）=（1+m）（1m），m=2故当B，D是线段AE的三等分点时，m=或2存在理由：连接AN，NE，EM，MA依题意可得：M（m，），N（m，）即M，N关于原点O对称，OM=ONA（1m，0），E（1+m，0），A，E关于原点O对称，OA=OE四边形ANEM为

6、平行四边形AM2=（m1+m）2+（）2=4，ME2=（1+m+m）2+（）2=4m2+4m+4，AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，若AM2+ME2=AE2，则4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，m=1，此时AME是直角三角形，且AME=90当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形方法二：（1）略，（2）抛物线C1：y=x2+，及x轴的两个交点为（1，0），（1，0），顶点为（0，），抛物线C2：y=x2，及x轴的两个交点也为（1，0），（1，0），顶点为（0，），抛物线C1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为（m，），及x轴的两个交点为A（1m，0）、B（1m，

7、0），AB=2，抛物线C2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为（m，），及x轴的两个交点为D（1+m，0）、E（1+m，0），AE=（1+m）（1m）=2（1+m），B、D是线段AE的三等分点，有两种情况1、B在D的左侧，AB=AE=2，AE=6，2（1+m）=6，m=2，2、B在D的右侧，AB=AE=2，AE=3，2（1+m）=3，m=（3）若A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，A（1m，0），E（1+m，0），N（m，）、M（m，），点A，E关于原点对称，点N，M关于原点对称，A、N、E、M为顶点的四边形是平行四边形，则ANEN，KANKEN=1，A（1m，0），E（1+m，0），N（m

8、，），=1，m=1强化训练1如图，抛物线y=x2+bx+c及y轴交于点A（0，1），过点A的直线及抛物线交于另一点B（3，），过点B作BCx轴，垂足为C点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OC上（不及点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；（3）连结CM，BN，当m为何值时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？解：（1）抛物线y=x2+bx+c经过A（0，1）和点B（3，），抛物线的解析式为y=x2+x+1；（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），A（0，1），B

9、（3，），直线AB的解析式为y=x+1，PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP=m，P（m，0），M（m，m+1），PM=m+1；（3）由题意可得：N（m，m2+m+1），MNBC，当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形，当点P在线段OC上时，MN=m2+m，又BC=，m2+m=，解得m1=1，m2=2；当点P在线段OC的延长线上时，MN=m2m，m2m=，解得 m1=（不合题意，舍去），m2=，综上所述，当m的值为1或2或时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形2如图，已知二次函数的图象M经过A（1，0），B（4，0），C（2，6）三点（1）求该二次函数的解析式；（2）点

10、G是线段AC上的动点（点G及线段AC的端点不重合），若ABG及ABC相似，求点G的坐标；（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（1m2）是图象M上一动点，当ACD的面积为时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由【解答】解：（1）二次函数的图象M经过A（1，0），B（4，0）两点，可设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x4）二次函数的图象M经过C（2，6）点，6=a（2+1）（24），解得a=1二次函数的解析式为y=（x+1）（x4），即y=x23x4（2）设直线AC的解析式为

11、y=sx+t，把A、C坐标代入可得，解得，线段AC的解析式为y=2x2，设点G的坐标为（k，2k2）G及C点不重合，ABG及ABC相似只有AGBABC一种情况=AB=5，AC=3，AG=|k+1|，=，|k+1|=k=或k=（舍去），点G的坐标为（，）（3）能理由如下：如图，过D点作x轴的垂线交AC于点H，D（m，n）（1m2），H（m，2m2）点D（m，n）在图象M上，D（m，m23m4）ACD的面积为，2m2（m23m4）（m+1）+（2m）=，即4m24m+1=0，解得m=D（，）y=x23x4=（x）2，图象M的对称轴l为x=点D关于l的对称点为E，E（，），DE=2，若以点D、E、P

12、、Q为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况：当DE为边时，则有PQDE且PQ=DE=2点P的横坐标为+2=或2=，点P的纵坐标为（）2=，点P的坐标为（，）或（，）；当DE为对角线时，则可知P点为抛物线的顶点，即P（，）；综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（，）或（，）或（，）3已知直线y=kx+b（k0）过点F（0，1），及抛物线y=x2相交于B、C两点（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，及抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不

13、存在，请说明理由；（3）如图2，设B（mn）（m0），过点E（01）的直线lx轴，BRl于R，CSl于S，连接FR、FS试判断RFS的形状，并说明理由解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，），又直线BC过C、F两点，故得方程组： 解之，得，所以直线BC的解析式为：y=x+1； （2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示，设M（x，x+1），则D（x，x2），MDy轴，MD=x+1x2，由MD=OF，可得|x+1x2|=1，当x+1x2=1时，解得x1=0（舍）或x1=3，所以M（3，），当x+1x2，=1时，解得，x=，所以M（，）或M（，），综上所述，

14、存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，M点坐标为（3，）或（，）或（，）；（3）过点F作FTBR于点T，如图2所示，点B（m，n）在抛物线上，m2=4n，在RtBTF中，BF=，n0，BF=n+1，又BR=n+1，BF=BRBRF=BFR，又BRl，EFl，BREF，BRF=RFE，RFE=BFR，同理可得EFS=CFS，RFS=BFC=90，RFS是直角三角形4如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）23及x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），及y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴及x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧（

15、1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由解：（1）抛物线及y轴交于点C（0，）a3=，解得：a=，y=（x+1）23当y=0时，有（x+1）23=0，x1=2，x2=4，A（4，0），B（2，0）（2）A（4，0），B（2，0），C（0，），D（1，3）S四边形ABCD=SADH+S梯形OCDH+SBOC=33+（+3）1+2=10从面积分析知，直线l只能及边AD或BC相交，所以

16、有两种情况：当直线l边AD相交及点M1时，则S=10=3，3（y）=3y=2，点M1（2，2），过点H（1，0）和M1（2，2）的直线l的解析式为y=2x+2当直线l边BC相交及点M2时，同理可得点M2（，2），过点H（1，0）和M2（，2）的直线l的解析式为y=x综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=x（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，k+b=0，b=k，y=kx+k由，+（k）xk=0，x1+x2=2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，点M是线段PQ的中点，由中点坐标公式的点M（k1，k2）假设存在这样的

17、N点如图，直线DNPQ，设直线DN的解析式为y=kx+k3由，解得：x1=1，x2=3k1，N（3k1，3k23）四边形DMPN是菱形，DN=DM，（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2， 整理得：3k4k24=0，k2+10，3k24=0， 解得k=，k0，k=，P（31，6），M（1，2），N（21，1）PM=DN=2，PMDN，四边形DMPN是平行四边形，DM=DN，四边形DMPN为菱形，以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（21，1）5二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，4），且及直线y=x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BCx轴，

18、垂足为点C（3，0）（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM及NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标方法一：解：（1）由直线y=x+1可知A（0，1），B（3，），又点（1，4）经过二次函数，根据题意得：， 解得：，则二次函数的解析式是：y=x+1；（2）设N（x，x2x+1），则M（x，x+1），P（x，0）MN=PNPM=x2x+1（x+1）=x2x=（x+）2+，则当x=时，MN的最大值为；（3）连接MC、BN、BM及NC互相垂直平分，即四边

19、形BCMN是菱形，则MN=BC，且BC=MC，即x2x=，且（x+1）2+（x+3）2=，解x2+3x+2=0，得：x=1或x=2（舍去）故当N（1，4）时，BM和NC互相垂直平分方法二：（1）略（2）设N（t，），M（t，t+1），MN=NYMY=+t1，MN=，当t=时，MN有最大值，MN=（3）若BM及NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形NCBM且MN=BC=，即=，t1=1，t2=2，t1=1，N（1，4），C（3，0），KNC=2，KAB=，KNCKAB=1，NCBMt2=2，N（2，），C（3，0），KNC=，KAB=，KNCKAB1，此时NC及BM不垂直满足题意的N点坐标只有

20、一个，N（1，4）6已知直角梯形ABCD中ADBC，B=90，AB=8，AD=24，BC=26，点P从A点出发，沿AD边以1的速度向点D运动，点Q从点C开始沿CB边以3的速度向点B运动，P，Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？解：（1）根据题意得：PA=t，CQ=3t，则PD=ADPA=24t，ADBC，PDCQ，当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，即24t=3t，解得：t=6，即当t=6时，四边形PQCD为平行四边形；（2）过D作DEBC于E，则四边形ABED为矩形，BE=AD=24cm，EC=BCBE=2cm，当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，如图所示：过点P作PFBC于点F，过点D作DEBC于点E，则四边形PDEF是矩形，EF=PD，PF=DE，在RtPQF和RtCDE中，RtPQFRtCDE（HL），QF=CE，QCPD=QCEF=QF+EC=2CE，即3t（24t）=4，解得：t=7，即当t=7时，四边形PQCD为等腰梯形25 / 25