2022版高考数学一轮复习课后限时集训11函数性质的综合问题含解析.doc

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1、课后限时集训课后限时集训( (十一十一) )函数性质的综合问题函数性质的综合问题建议用时：40 分钟一、选择题1定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)f(x1)，且 f(x)xa，1x0，2x，0 x1，其中 aR，若 f(5)f(4.5)，则 a()A0.5B1.5C2.5D3.5C由 f(x1)f(x1)，得 f(x)是周期为 2 的周期函数，又 f(5)f(4.5)，所以 f(1)f(0.5)，即1a1.5，所以 a2.5，故选 C.2定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且在0,1上是减函数，则有()Af32 f14 f14Bf14 f14 f32Cf32

2、f14 f14Df14 f32 f14C由 f(x2)f(x)及 f(x)是奇函数得 f32 f122f12 f12 ，又函数 f(x)在1,1上是减函数，所以 f12 f14 f14 ，即 f32 f14 f14 ，故选 C.3(多选)若奇函数 f(x)在1,2上为减函数且最大值为 0，则它在2，1上()A是增函数B是减函数C有最大值为 0D有最小值为 0BD因为 f(x)为奇函数， 所以函数在关于原点对称的区间上单调性相同， 故函数在2，1上也为减函数 又由题易得 f(1)0， 所以 f(1)0， 即 0 为函数在2， 1上的最小值，故选 BD.4设奇函数 f(x)定义在(，0)(0，)上

3、，f(x)在(0，)上为增函数，且 f(1)0，则不等式3fx2fx5x0 的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)D奇函数 f(x)定义在(，0)(0，)上，在(0，)上为增函数，且 f(1)0，函数 f(x)的图象关于原点对称，且过点(1,0)和(1,0)，且 f(x)在(，0)上也是增函数函数 f(x)的大致图象如图所示f(x)f(x)，不等式3fx2fx5x0 可化为fxx0，即xf(x)0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的 x 的范围，据图象可知 x(1,0)(0,1)5(2020全国卷)设函数 f(x)ln|2x1|ln

4、|2x1|，则 f(x)()A是偶函数，且在12，单调递增B是奇函数，且在12，12 单调递减C是偶函数，且在，12 单调递增D是奇函数，且在，12 单调递减D由2x10，2x10，得函数 f(x)的定义域为，12 12，12 12， 其关于原点对称， 因为 f(x)ln|2(x)1|ln|2(x)1|ln|2x1|ln|2x1|f(x)， 所以函数 f(x)为奇函数，排除 A，C.当 x12，12 时，f(x)ln(2x1)ln(12x)，易知函数 f(x)单调递增，排除 B.当 x，12 时，f(x)ln(2x1)ln(12x)ln2x12x1ln122x1 ，易知函数 f(x)单调递减，

5、故选 D.6(2020全国卷)已知函数 f(x)sin x1sin x，则()Af(x)的最小值为 2Bf(x)的图象关于 y 轴对称Cf(x)的图象关于直线 x对称Df(x)的图象关于直线 x2对称D由题意得 sin x1,0)(0,1对于 A，当 sin x(0,1时，f(x)sin x1sin x2sin x1sin x2， 当且仅当 sin x1 时取等号； 当 sin x1,0)时， f(x)sin x1sin xsin x1sin x 2sin x1sin x2，当且仅当 sin x1 时取等号，所以 A 错误对于 B，f(x)sin(x)1sinxsin x1sin x f(x)

6、，所以 f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以 B 错误对于 C，f(x)sin(x)1sinxsin x1sin x ，f(x)sin(x)1sinxsin x1sin x，则 f(x)f(x)，f(x)的图象不关于直线 x对称，所以 C 错误对于 D，fx2 sinx2 1sinx2cos x1cos x，f2xsin2x1sin2xcos x1cos x，所以 fx2 f2x，f(x)的图象关于直线 x2对称，所以 D 正确故选 D.二、填空题7已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4)f(x2)若当 x3,0时，f(x)6x，则 f(919)_.6f(x4)f(x2)，f

7、(x6)f(x)，f(x)的周期为 6，91915361，f(919)f(1)又 f(x)为偶函数，f(919)f(1)f(1)6.8定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x2)0，且 f(4x)f(x)现有以下三个命题：8 是函数 f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线 x2 对称；f(x)是偶函数其中正确命题的序号是_f(x)f(x2)0，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)的周期为 4，故正确；又 f(4x)f(x)，所以 f(2x)f(2x)，即 f(x)的图象关于直线 x2 对称，故正确；由 f(x)f(4x)得 f(x)f(4x)f(x)，

8、故正确9(2020湖北荆门模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用黎曼函数定义在0,1上，其定义为：R(x)1p，xqpp，q 都是正整数，qp是既约真分数，0，x0，1 或0，1上的无理数.若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且对任意 x 都有 f(2x)f(x)0，当 x0,1时， f(x)R(x)，则 f185 f(lg 30)_.15f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)f(2x)0，f(x)f(2x)f(x2)，函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数， 则 f185 f1854f25 f25 R25 15，

9、f(lg30)f(lg 3lg 10)f(lg 31)f(lg 31)f(1lg 3)R(1lg 3)0，f185 f(lg 30)15.三、解答题10 设 f(x)是定义域为 R 的周期函数， 最小正周期为 2， 且 f(1x)f(1x)， 当1x0时，f(x)x.(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)试求出函数 f(x)在区间1,2上的表达式解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又 f(x2)f(x)，f(x)f(x)又 f(x)的定义域为 R，f(x)是偶函数(2)当 x0,1时，x1,0，则 f(x)f(x)x；从而当 1x2 时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故

10、f(x)x，x1，0，x，x0，1，x2，x1，2.11设函数 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x.(1)求 f()的值；(2)当4x4 时，求函数 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积解(1)由 f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由 f(x)是奇函数且 f(x2)f(x)，得 f(x1)2f(x1)f(x1)，即 f(1x)f(1x)故函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称又当 0 x1 时，f(x)x，且 f(x)的

11、图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示当4x4 时，设 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4SOAB412214.1(多选)(2020山东日照期中)设 f(x)是定义在 R 上的函数，若存在两个不相等的实数 x1，x2，使得 fx1x22fx1fx22，则称函数 f(x)具有性质 P.那么下列函数中，具有性质 P 的函数为()Af(x)1x，x0，0，x0Bf(x)|x21|Cf(x)x3xDf(x)2|x|ABC对于 A， 在函数 f(x)的图象上取 A(1， 1)， B(0,0)， C(1,1)， 有 f(0)f1f12成立，故 A 正确；对于 B，在函数 f

12、(x)的图象上取 A( 2，1)，B(0,1)，C( 2，1)，有 f(0)f 2f 22成立，故 B 正确；对于 C，在函数 f(x)的图象上取 A(1,2)，B(0,0)，C(1，2)，有 f(0)f1f12成立， 故 C 正确； 对于 D， 因为 f(x)2|x|，fx1fx222|x1|2|x2|2 2|x1|2|x2|2|x1|x2|22|x1x22|fx1x22，又 x1x2，所以 fx1x22fx1fx22恒成立，故 D 错误故选 ABC.2定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意 xR 有 f(x4)f(x)；f(x)在0,2上是增函数；f(x2)的图象关于 y 轴对称则下列

13、结论正确的是()Af(7)f(6.5)f(4.5)Bf(7)f(4.5)f(6.5)Cf(4.5)f(6.5)f(7)Df(4.5)f(7)f(6.5)D由知函数 f(x)的周期为 4，由知 f(x2)是偶函数，则有 f(x2)f(x2)，即函数 f(x)图象的一条对称轴是 x2，由知函数 f(x)在0,2上单调递增，则在2,4上单调递减，且在0,4上越靠近 x2，对应的函数值越大，又 f(7)f(3)，f(6.5)f(2.5)，f(4.5)f(0.5)，由以上分析可得 f(0.5)f(3)f(2.5)，即 f(4.5)f(7)f(6.5)故选 D.3已知函数 yf(x)在定义域1,1上既是奇

14、函数又是减函数(1)求证：对任意 x1，x21,1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0；(2)若 f(1a)f(1a2)0，求实数 a 的取值范围解(1)证明：若 x1x20，显然不等式成立若 x1x20，则1x1x21，因为 f(x)在1,1上是减函数且为奇函数，所以 f(x1)f(x2)f(x2)，所以 f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0 成立若 x1x20，则 1x1x21，同理可证 f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0 成立综上得证，对任意 x1，x21,1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0 恒成立(2)因为 f(1a)f(1

15、a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，所以由 f(x)在定义域1,1上是减函数，得11a21，1a11，1a2a1，即0a22，0a2，a2a20，解得 0a1.故所求实数 a 的取值范围是0,1)1定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且 f(x)在1,0上是增函数，给出下列几个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于 x1 对称；f(x)在1,2上是减函数；f(2)f(0)其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来)因为 f(xy)f(x)f(y)对任意 x，yR 恒成立令 xy0，所以 f(0)0.令 xy0，所以 yx，所以

16、 f(0)f(x)f(x)所以 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数因为 f(x)在1,0上为增函数，又 f(x)为奇函数，所以 f(x)在0,1上为增函数由 f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，所以周期 T4，即 f(x)为周期函数f(x2)f(x)f(x2)f(x)又因为 f(x)为奇函数所以 f(2x)f(x)，所以函数图象关于 x1 对称由 f(x)在0,1上为增函数，又关于 x1 对称，所以 f(x)在1,2上为减函数由 f(x2)f(x)，令 x0 得 f(2)f(0)f(0)2 函数 f(x)的定义域为 Dx|x0， 且满足对于任意 x1， x2D， 有

17、 f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1，f(x1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围解(1)因为对于任意 x1， x2D 有 f(x1x2)f(x1)f(x2)， 所以令 x1x21， 得 f(1)2f(1)，所以 f(1)0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：f(x)定义域关于原点对称，令 x1x21，有 f(1)f(1)f(1)，所以f(1)12f(1)0.令 x11，x2x 有 f(x)f(1)f(x)，所以 f(x)f(x)，所以 f(x)为偶函数(3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2，由(2)知 f(x)是偶函数，所以 f(x1)2 等价于 f(|x1|)f(16)又 f(x)在(0，)上是增函数，所以 0|x1|16，解得15x17 且 x1，所以 x 的取值范围是(15,1)(1,17).