【3年高考2年模拟】课标版理科数学一轮第一节　绝对值不等式.pptx

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1、理数 课标版,第一节绝对值不等式,1.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法: (i)|ax+b|c-cax+bc. (ii)|ax+b|cax+bc或ax+b-c. (2)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法:,教材研读,解法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 解法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 解法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程相结合的思想.,2.绝对值三角不等式 (1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当a

2、b0时,等号成立. (2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,1.函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为() A.2B.C.4D.6 答案Ay=|x-4|+|x-6|x-4+6-x|=2.,2.不等式1|x+1|3的解集为() A.(0,2)B.(-2,0)(2,4)C.(-4,0)D.(-4,-2)(0,2) 答案D原不等式等价于1x+13或-3x+1-1, 0x2或-4x-2, 原不等式的解集为(-4,-2)(0,2),故选D.,3.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|5时,原不等式等价于x-1

3、-(x-5)2,即42,无解. 综合知x4.,4.不等式|2x-1|3的解集为. 答案x|x2 解析由|2x-1|3得2x-13,即x2.,5.(2014湖南,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|0时,不等式的解集为, 从而有 此方程组无解. 当a0时,不等式的解集为,从而有 解得a=-3.,考点一绝对值不等式的解法 典例1(2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,考点突破,解析(1)f(x)=(3分) y=f(x)的图象如图所示.(5分),(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)

4、=1时,可得x=1或x=3;(6分) 当f(x)=-1时,可得x=或x=5,(7分) 故f(x)1的解集为x|11的解集为.(10分),方法技巧 解绝对值不等式的基本方法: (1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (2)当不等式两端均非负时,可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.,1-1(2015江苏,21D,10分)解不等式x+|2x+3|2. 解析原不等式可化为或 解得x-5或x-.,综上,原不等式的解集是.,1-2已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.,求不等式f(x)x2-8x+14的解

5、集.,解析(1)当x2时, f(x)=-3,而x2-8x+14=(x-4)2-2-2,f(x)x2-8x+14无解; (2)当2x5时, f(x)=2x-7, 原不等式等价于解得3x5; (3)当x5时, f(x)=3,原不等式等价于解得5x4+. 综上,原不等式的解集为3,4+.,考点二绝对值不等式的证明 典例2(2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)=+,M为不等 式f(x)2的解集. (1)求M; (2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.,解析(1)f(x)=(2分) 当x-时,由f(x)-1;(3分) 当-x时, f(x)2;(4分),当x时,由f(x)2得2x2,解

6、得x1.(5分) 所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(6分),(2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0, 因此|a+b|1+ab|.(10分),方法技巧 证明绝对值不等式主要的三种方法 (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明. (2)利用不等式|a|-|b|ab|a|+|b|进行证明. (3)转化为函数问题,利用数形结合进行证明. 2-1设a0,|x-1|,|y-2|,求证:|2x+y-4|a. 证明因为|x-1|,|y-2|, 所以|2x+y-4|=|2(x-1)

7、+(y-2)|2|x-1|+|y-2|2+=a.,2-2设函数f(x)=+|x-a|(a0).证明: f(x)2. 证明由a0,得f(x)=+|x-a| =+a2,所以f(x)2.,考点三绝对值不等式的综合应用 典例3(2016甘肃兰州诊断考试)设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|. (1)解不等式f(x)0; (2)若x0R,使得f(x0)+2m24m,求实数m的取值范围.,解析(1)当x0,-x+30,解得x3,又x-2,x-2;,当-2x时,f(x)=1-2x-x-2=-3x-1, f(x)0,-3x-10,解得x 时,f(x)=2x-1-x-2=x-3,f(x)0,x-30,解得x

8、3,又x,x3. 综上,不等式f(x)0的解集为(3,+). (2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=,易知f(x)min=f=-. x0R,使得f(x0)+2m2f(x)min=-,整理得4m2-8m-50,解得-m, 因此,m的取值范围是.,方法技巧 (1)研究含有绝对值的函数问题时,常根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,从而转化为分段函数来解决. (2)对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题,常利用绝对值三角不等式解决. (3)不等式的解集为R是不等式的恒成立问题,不等式的解集为也是不等式的恒成立问题(如f(x)m的解集是空集,则f(x)m恒

9、成立),一般情况下,这两类问题都可转化为最值问题.注意:在xR上,当f(x)存在最大值时, f(x)f(x)max;当f(x)存在最小值时, f(x)a恒成立af(x)min.,3-1已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m). (1)当m=7时,求函数f(x)的定义域; (2)若关于x的不等式f(x)2的解集是R,求m的取值范围. 解析(1)当m=7时,由题意知|x+1|+|x-2|7, 或或 解得x4或x-3, 则函数f(x)的定义域为(-,-3)(4,+). (2)不等式f(x)2即|x+1|+|x-2|m+4, xR时,恒有|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3, 又不等式|x+1|+|x-2|m+4的解集是R, m+43,即m-1,m的取值范围是(-,-1.,