【3年高考2年模拟】课标版文科数学一轮第二节　不等式的证明.pptx

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1、文数 课标版,第二节不等式的证明,1.比较法 (1)作差法(a、bR):a-b0ab;a-b0,b0):1ab;1ab;=1a=b.,教材研读,2.综合法与分析法 (1)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法. (2)分析法:证明命题时,从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的 充分条件,直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、定理等).这是一种执果索因的思考和证明方法.,3.反证法 先假设要证明的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件

2、(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.,4.放缩法 证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法.,5.平均值不等式 如果a1、a2、an为n个正数,则,当且仅当a1 =a2=an时,等号成立. 附:不等式证明的常用方法有:(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法;(5)放缩法;(6)换元法;(7)构造法.,1.已知a,bR+,a+b=2,则+的最小值为() A.1B.2C.4D.8 答案Ba,bR+,且

3、a+b=2, (a+b)=2+2+2=4, +=2, 即+的最小值为2(当且仅当a=b=1时,“=”成立).故选B.,2.若a,b,mR+,且ab,则下列不等式一定成立的是() A.B. C.D.b, -=0, 即,故选B.,3.若02,a2+b22ab,故只需比较a+b与a2+b2的大小即 可. (a2+b2)-(a+b)=a(a-1)+b(b-1), 0a1,0b1, a(a-1)+b(b-1)0, a2+b2a+b.故选A.,4.设a0,b0,若是3a与3b的等比中项,求证:+4. 证明由是3a与3b的等比中项得3a3b=3,即a+b=1. 要证原不等式成立, 只需证+4, 即证+2.

4、因为a0,b0, 所以+2=2当且仅当=,即a=b=时,取等号, 所以+4.,考点一比较法证明不等式 典例1设a,b是非负实数,求证:a3+b3(a2+b2). 证明a,b是非负实数, a3+b3-(a2+b2)=a2(-)+b2(-) =(-)()5-()5. 当ab时,从而()5()5, 得(-)()5-()50; 当a0. 所以a3+b3(a2+b2).,考点突破,方法技巧 作差比较法证明不等式的步骤: (1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负. 注:作商比较法也有类似的步骤

5、,但注意其比较的是两个正数的大小,且第(3)步要判断商与1的大小.,考点二综合法与分析法证明不等式 典例2(2015课标,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若abcd,则+; (2)+是|a-b|cd,所以(+)2(+)2. 因此+. (2)(i)若|a-b|c-d|, 则(a-b)2(c-d)2,1.利用综合法证明不等式时,应注意对已证不等式的使用,常用的不等式有:(1)a20;(2)|a|0;(3)a2+b22ab,它的变形形式有(a+b)24ab, 等;(4)(a0,b0),它的变形形式有a+2(a0), +2(ab0),+-2(ab0)等.,规律总

6、结,2.分析法证明不等式的注意事项:用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错误地作为“逆推”,分析法的过程仅需要寻求充分条件即可,而不是充要条件,也就是说,分析法的思维是逆向思维,因此在证题时,应正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”.,2-1(2016辽宁沈阳模拟)设a,b,c0,且ab+bc+ca=1.求证: (1)a+b+c; (2)+(+). 证明(1)要证a+b+c, 由于a,b,c0, 因此只需证明(a+b+c)23. 即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3, 而ab+bc+ca=1, 故只需证明a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3(ab+bc+ca). 即证a

7、2+b2+c2ab+bc+ca.,考点三放缩法证明不等式 典例3求证:-k2k(k-1)(kN*且k2), ,即-. 分别令k=2,3,n得 -1-, -, -,将这些不等式相加得,-+-+-+1-+-+-,即- +1-, 1+-1+1+1-, 即-1+2-(nN*且n2)成立. 方法技巧 (1)利用放缩法证明不等式,要根据不等式两边的特点进行恰当放缩,任何不适宜的放缩都会导致推证的失败. (2)利用放缩法证明不等式就是舍掉式中一些正项或负项,或者在分式中放大或缩小分子、分母,或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数,从而达到证明不等式的目的.,3-1证明:不等式1+(kN*), 0(k,N*),得f(k+1)f(k), f(n)在nN*上是增函数. f(n)f(1)=10. 1+2(nN*).,