【人教版】数学（理）一轮复习：选修4-5《不等式选讲》2不等式的证明.ppt

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1、第二节 不等式的证明,主干知识梳理 一、比较法 1求差比较法： 知道abab0，abab0，因此要证明ab，只要证明 即可，这种方法称为求差比较法,ab0,二、分析法 从所要证明的 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法,结论,三、综合法 从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法,四、放缩法 在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的这种方法称为

2、放缩法,五、反证法的步骤 1作出否定 的假设； 2进行推理，导出 ； 3否定 ，肯定 ,结论,矛盾,假设,结论,(a1b1a2b2)2,关键要点点拨 1综合法与分析法的内在联系 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，用分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程,2放缩法证明不等式的主要理论依据 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为不等量； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较 注意放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出,3柯西不等式的形式特点 从形

3、式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，可简记为“方和积不小于积和方”.,比较法证明不等式,规律方法 比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是：作差；变形；判断差的符号；下结论其中“变形”是关键，通常将差变形成因式乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断正负,综合法、分析法证明不等式,a2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立 原不等式成立,规律方法 分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明

4、的关键是推理的每一步必须可逆,放缩法证明不等式,2在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度,柯西不等式及应用,【思路导析】(1)运用重要不等式进行转化求解；(2)运用均值不等式求解，还要注意“1”的整体代换,【高手支招】 证明不等式的基本方法 (1)证明不等式的传统方法有：比较法、综合法、分析法 比较法常用作差比较法和作商比较法两种用综合法证明不等式时，主要是运用平均值不等式证明，一方面要注意平均值不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单，条理清楚，当问题比较复杂时，通

5、常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程,(2)不等式证明还有一些常用方法：拆项法、添项法、逆代法、换元法、放缩法、反证法、函数的单调性法、判别式法、数形结合法换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考察有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法存在性、唯一性等问题或题目中带有“至少有一个”“至多有一个”“不能都”等字样的问题，都可以用反证法,体验高考 1(2013湖南高考)已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_ 解析由柯西不等式，得(a24b29c2)(121212)(a12b13c1)236， 故a24b29c212. 从而a24b29c2的最小值为12. 答案12,