高考理科数学一轮复习：第10章（2）双曲线ppt课件（含答案）.pptx

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1、第二讲双曲线,【高考帮理科数学】第十章：圆锥曲线与方程,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲解读,命题规律,命题分析预测,考点1双曲线的定义和标准方程 考点2双曲线的几何性质,考法1 双曲线定义的应用 考法2 求双曲线的标准方程 考法3 双曲线几何性质的应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错容易出错的两类双曲线问题,考情精解读,考纲解读 命题规律 命题分析预测,1.了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单性质.,考纲解读,命题规律,1.分析预测从近五年的考查情况来看,本讲主

2、要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质,其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点,以选择题和填空题为主,分值5分,难度中等. 2.学科素养本讲主要考查考生的数学运算能力、逻辑推理能力,以及数形结合思想的应用.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1双曲线的定义和标准方程 考点2双曲线的几何性质,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,1.定义 在平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作焦距.,考点1 双曲线的定义和标准方程（重点）,名师提醒 (1)设双曲线上的点M到两焦点F1,F2的距离之差

3、的绝对值为2a,则0|F1F2|,则点M的轨迹不存在; 若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. (2)若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉,则点的集合是双曲线的一支,具体是左支还是右支视情况而定.,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 2 2 - 2 2 =1(a0,b0); (2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 2 2 - 2 2 =1(a0,b0). 注意 (1)在双曲线的标准方程中,决定焦点位置的因素是x2项或y2项的系数.(2)a,b,c满足c2=a2+b2,即c最

4、大. 名师提醒 焦点位置的判断:在双曲线的标准方程中,看x2项与y2项的系数的正负,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上,即“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”.,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考点2双曲线的几何性质（重点）,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,思维拓展 1.等轴双曲线 (1)定义:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线. (2)性质:a=b;e= 2 ;渐近线互相垂直;等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项. 2.共轭双曲线 (1)定义:如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴

5、和实轴,那么这两条双曲线互为共轭双曲线. (2)性质:它们有共同的渐近线;它们的四个焦点共圆;它们的离心率的倒数的平方和等于1.,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,规律总结 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a. 3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为 2 2 ;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a. 4.若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则 1 2 = 2 tan 2 ,其中为F1PF2.,理科数学 第十章

6、：圆锥曲线与方程,5.若P是双曲线 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标为定值a.,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,B考法帮题型全突破,考法1 双曲线定义的应用 考法2 求双曲线的标准方程 考法3 双曲线几何性质的应用,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法指导双曲线定义的应用策略 1.根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线. 2.利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题,如最值问题、距离问题. 3.利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:(1)距离之差的绝对值;

7、(2)2a|F1F2|;(3)焦点所在坐标轴的位置.,考法1 双曲线定义的应用,示例1已知F是双曲线 2 4 - 2 12 =1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为. 思路分析作出图形,根据双曲线的定义,结合“两点之间线段最短”等结论进行分析. 解析如图所示,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0).,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4,则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|.由图可得,当A,P,E三点共线时, (|PE|+|PA|)min=|AE|=5, (两点之间线段最短) 从而|PF|+|PA|的

8、最小值为9.,突破攻略 如图所示,双曲线上任意一点M到焦点F2的最小距离是双曲线的顶点A2到焦点F2的距离|A2F2|=|OF2|-|OA2|=c-a,点M到另一个焦点的距离的最小值是c+a,不存在最大值.,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法指导求双曲线标准方程的方法 1.定义法 根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有: (1)c2=a2+b2; (2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a. 注意 求轨迹方程时,满足条件:|PF1|-|PF2|=2a(02a|F1F2|)的双曲线为双曲线的一支,应注意合理取舍.,考法2 求双曲线

9、的标准方程,2.待定系数法 (1)一般步骤 判断:根据已知条件,确定双曲线的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能; 设:根据中的判断结果,设出所需的未知数或者标准方程; 列:根据题意,列出关于a,b,c的方程或者方程组; 解:求解得到方程. (2)常见设法 与双曲线 2 2 - 2 2 =1共渐近线的双曲线方程可设为 2 2 - 2 2 =(0);,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,若双曲线的渐近线方程为y= x,则双曲线方程可设为 2 2 - 2 2 =(0); 若双曲线过两个已知点,则双曲线方程可设为 2 + 2 =1(mnb0)有共同焦点的双曲线方程可设为 2 2 + 2

10、 2 =1(b2a2).,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,注意 当焦点位置不确定时,有两种方法来解决: 一种是分类讨论,注意考虑要全面;另一种是如果已知中心在原点,但不能确定焦点的具体位置,可以设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0).,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,示例22017全国卷,5,5分理已知双曲线C: 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的一条渐近线方程为y= 5 2 x,且与椭圆 2 12 + 2 3 =1有公共焦点,则C的方程为 A. 2 8 - 2 10 =1B. 2 4 - 2 5 =1 C. 2 5 - 2 4 =1D. 2 4 - 2 3 =1,理科数学 第

11、十章：圆锥曲线与方程,思路分析根据双曲线的渐近线方程得出a,b关系,根据共焦点求出c,利用c2=b2+a2求出a2 ,b2,即得双曲线的标准方程. 解析根据双曲线C的一条渐近线方程为y= 5 2 x,可知 = 5 2 .因为椭圆 2 12 + 2 3 =1的焦点坐标为(3,0)和(-3,0),所以a2+b2=9,根据可知a2=4,b2=5. 答案B,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,示例3在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线的渐近线方程为y=x,且它的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合,则该双曲线的方程为. 思路分析先求抛物线的焦点坐标,进而得到双曲线的焦点坐标,再利用双曲线的渐近线方程求双

12、曲线的方程. 解析由题意知,抛物线x2=8y的焦点坐标为(0,2),因为双曲线的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合,所以该双曲线的实轴在y轴上.由双曲线的渐近线方程为y=x,可设该双曲线的方程为y2-x2=m(m0), (根据双曲线的渐近线方程为y=x,可以判断该双曲线为等轴双曲线) 所以 2 =2,解得m=2,故该双曲线的方程为 2 2 - 2 2 =1.,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,点评求解本题时,要先确定双曲线的实轴的位置,这也是本题容易出错之处.本题由双曲线的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合且抛物线x2=8y的焦点坐标为(0,2),可得双曲线的实轴在y轴上.,理科数学 第十

13、章：圆锥曲线与方程,考法指导1.求双曲线的渐近线的方法 求双曲线 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)或 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0,即令 2 2 - 2 2 =0,得y= x;或令 2 2 - 2 2 =0,得y= x.反之,已知渐近线方程为y= x,可设双曲线方程为 2 2 - 2 2 =(a0,b0,0).,考法3 双曲线几何性质的应用,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.求双曲线的离心率 (1)求双曲线的离心率或其范围的方法 求a,b,c的值,由 2 2 = 2 + 2 2 =1+ 2 2 直接求e. 列出含有a,b,c的齐次方程(

14、或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解. (2)双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系:k= = 2 2 = 2 2 1 = 2 1 .,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,示例4过双曲线 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的左焦点F作圆O:x2+y2=a2的两条切线,切点为A,B,双曲线左顶点为C,若ACB=120,则双曲线的渐近线方程为 A.y= 3 xB.y= 3 3 x C.y= 2 xD.y= 2 2 x 思路分析,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 如图所示,连接OA,OB,设双曲线 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的焦距为2c

15、(c0),则C(-a,0),F(-c,0). 由双曲线和圆的对称性知,点A与点B关于x轴对称,则ACO=BCO= 1 2 ACB= 1 2 120=60.,因为|OA|=|OC|=a,所以ACO为等边三角形,所以AOC=60. 因为FA与圆O切于点A,所以OAFA,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,在RtAOF中,AFO=90-AOF=90-60=30,所以|OF|=2|OA|,即c=2a, 所以b= 2 2 = (2 ) 2 2 = 3 a, 故双曲线 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的渐近线方程为y= x,即y= 3 x. 答案A 点评这是一道综合了直线与圆以及双曲线的位置关系的题目

16、,曲线间关系较复杂,需要数形结合,才能发现三者之间的关系.,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,示例5已知直线l为双曲线C: 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的一条渐近线,直线l与圆(x-c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2,c0)相交于A,B两点,若|AB|=a,则双曲线C的离心率为. 思路分析先求出双曲线的渐近线方程,圆的圆心与半径,再利用勾股定理得到关于参数a,b,c的齐次方程,最后结合参数a,b,c之间的关系化简即可求得双曲线的离心率. 解析由题意可知双曲线的渐近线方程为bxay=0,圆(x-c)2+y2=a2的圆心为(c,0),半径为a.因为直线l为双曲线C: 2 2 - 2

17、 2 =1(a0,b0)的一条渐近线,与圆,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,(x-c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2,c0)相交于A,B两点,且|AB|=a,所以( | 2 + 2 )2 +( 2 )2=a2 , (利用勾股定理,建立关于a,b,c的齐次方程是解题的关键) 即4b2=3a2,即4(c2-a2)=3a2,即 2 2 = 7 4 ,又e= ,且e1,所以e= 7 2 . 突破攻略 求双曲线的离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1,+)这个前提条件,否则容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围.,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式 已知点F1,F2是

18、双曲线C: 2 2 - 2 2 =1(a0,b0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是（） A.(1,+)B. 10 2 ,+) C.(1, 10 2 D.(1, 5 2 ,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,答案 C 解析 由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,故PF1F2为直角三角形,且PF1PF2,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2. 由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,则|PF1|=2a+|PF2|,所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,整理得(

19、|PF2|+a)2=2c2-a2.又|PF1|3|PF2|,即2a+|PF2|3|PF2|,可得|PF2|a, 所以|PF2|+a2a,即2c2-a24a2,可得c 10 2 a.由e= ,且e1,可得1e 10 2 .故选C.,C方法帮素养大提升,易混易错,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,1.忽略双曲线标准方程中x,y的范围致误 示例6是否存在同时满足下列条件的双曲线?若存在,求出双曲线的标准方程;若不存在,说明理由. 焦点在x轴上;渐近线方程为x2y=0;点A(5,0)到双曲线上动点P的最小距离为 6 . 易错分析焦点在x轴上的双曲线的标准方程中x的范围是|x|a,而不是xR,这正是该题

20、易错的根源所在.,易错容易出错的两类双曲线问题,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析由条件设双曲线的标准方程为 2 2 - 2 2 =1(a0,b0). 由条件知 = 1 2 ,即a=2b,于是双曲线的方程可化为x2-4y2=4b2. 设P(x0,y0),则|PA|2=(x0-5)2+ 0 2 = 5 4 0 2 -10 x0+25-b2= 5 4 (x0-4)2+5-b2(|x0|a),当x0a4时,则x0=a时,|PA|2取得最小值,由条件得 5 4 a2-10a+25-b2=6,即4b2-20b+19=0,解得b= 1 2 (5+ 6 );当a4时,则x0=4时,|PA|2取得最小值,

21、即 5 4 42-104+25-b2=6,解得b2=-1(舍去). 综上可知,存在满足条件的双曲线,且该双曲线的方程为x2-4y2=(5+ 6 )2,即 2 (5+ 6 ) 2 - 2 (5+ 6 ) 2 4 =1.,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,易错提示 解决与双曲线有关的最值或范围问题时,常常通过构建函数求之,但所构建的函数的变量范围往往会受到双曲线变量范围的影响,解题中要注意这一点.,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,示例7已知双曲线x2- 2 2 =1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点? 易错分析虽然“判别式法”是判断直线与圆锥曲线是

22、否有公共点的重要方法,但在解决直线与圆锥曲线相交的问题时,有时不需要考虑判别式法,致使有的考生受思维定式的影响,任何情况下都没有考虑判别式法,导致解题错误. 解析设点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段AB的中点为(x0,y0). 若直线l的斜率不存在,显然不符合题意. 设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1)(k 2 ), 即y=kx+1-k.,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,由 =+1, 2 2 2 =1, 消去y,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k20). 所以x0= 1 + 2 2 = (1) 2 2 . 由题意,得 (1) 2 2 =1,解得k=2. 当k=2时,方程为2x2-4x+3=0, =16-24=-80,方程没有实数解. 所以不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P(1,1)是线段AB的中点.,理科数学 第十章：圆锥曲线与方程,温馨提示 (1)本题以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,但容易出错.错误原因是忽略了对直线与双曲线是否相交的判断. (2)本题属探索性问题.若存在,可用点差法求出AB的斜率,进而求方程;也可以设斜率k,利用待定系数法求方程. (3)一定要检验求得的方程是否符合要求.,