高考理科数学一轮复习：第5章（1）平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算.pptx

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1、第一讲 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理及坐标运算,【高考帮理科数学】第五章：平面向量,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲要求,命题规律,命题分析预测,考点1 平面向量的有关概念,考点2 向量的线性运算,考点3 共线向量定理,考点4 平面向量基本定理,考点5 平面向量的坐标运算,考法1 平面向量的线性运算,考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用应用,考法3 平面向量的坐标运算及应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,方法1 几何法求解向量填空题题,方法2 解析法(坐标法)在向量中的应用,理科数学 第五章：平面向量,考情精解读,考纲要求 命题规律

2、 命题分析预测,理科数学 第五章：平面向量,1.平面向量的实际背景及基本概念. (1)了解向量的实际背景. (2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.,考纲要求,3.平面向量的基本定理及坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义. (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.,理科数学

3、 第五章：平面向量,命题规律,1.分析预测本讲在高考中的命题重点有平面向量的线性运算,共线向量定理,平面向量基本定理及向量的坐标运算,主要以选择题和填空题的形式呈现,分值5分,难度不大. 2.学科素养本讲主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力以及对方程思想和数形结合思想的运用.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1 平面向量的有关概念 考点2 向量的线性运算 考点3 共线向量定理 考点4 平面向量基本定理 考点5 平面向量的坐标运算,理科数学 第五章：平面向量,1.向量的有关概念 向量的定义及表示:既有大小又有方向的量叫作向量.以A为起点、B为终点的向量记作 ,也可用黑体的单个小写字母a

4、,b,c,来表示向量. 向量的长度(模):向量 的大小即向量 的长度(模),记为| |.,考点1 平面向量的有关概念,名师提醒： (1)向量不同于数量,向量不仅有大小,而且还有方向. (2)任意向量a的模都是非负实数,即|a|0. (3)向量不能比较大小,但|a|是实数(正数或0),所以向量的模可以比较大小.,理科数学 第五章：平面向量,2.几种特殊向量,理科数学 第五章：平面向量,说明 (1)要注意0与0的区别,0是一个实数,0是一个向量,且|0|=0; (2)单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同; (3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上,因此平行向量也叫作共线向量; (4)

5、与向量a平行的单位向量有两个,即向量 | 和- | .,理科数学 第五章：平面向量,考点2 向量的线性运算（重点）,名师提醒 对于任意两个向量a,b,都有: |a|-|b|ab|a|+|b|; |a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2). 当a,b不共线时: 的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值; 的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系.,理科数学 第五章：平面向量,1.判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数使得b=a,则向量b与a共线. 2.性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在唯一一个实数,使得b=a. 3.

6、A,B,C是平面上三点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线AB上,则存在实数,使得 = + (如图所示). 注意 只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用.,考点3 共线向量定理（重点）,如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 名师提醒 (1)基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一; (3)如果对于一组基底e1,e2,有a=1e1+

7、2e2=1e1+2e2,则可以得到 1 = 1 , 2 = 2 .,考点4 平面向量基本定理（重点）,1.平面向量运算的坐标表示 说明 (1)相等的向量坐标相同; (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关,只与其相对位置有关.,考点5 平面向量的坐标运算（重点）,2.平面向量共线的坐标表示 (1)如果a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件为x1y2-x2y1=0. (2)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0,或(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1),或

8、(x3-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y3-y1). 易错提醒 (1)ab的充要条件不能表示成 1 2 = 1 2 ,因为x2,y2有可能等于0. (2)判断三点是否共线,先求每两点对应的向量,然后按两向量共线进行判定.,理科数学 第五章：平面向量,B考法帮题型全突破,考法1 平面向量的线性运算 考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 考法3 平面向量的坐标运算及应用,理科数学 第五章：平面向量,考法1 平面向量的线性运算,考法指导 平面向量的线性运算的求解策略 (1)进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量,运用向量加、减法运

9、算及数乘运算来求解. (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.,示例1 2015新课标全国，7，5分理设D为ABC所在平面内一点, =3 ,则 A. =- 1 3 + 4 3 B. = 1 3 - 4 3 C. = 4 3 + 1 3 D. = 4 3 - 1 3 思路分析 利用平面向量基本定理,把向量 用不共线的向量 , 来表示.,理科数学 第五章：平面向量,解析 解法一因为 =3 ,所以 = 1 3 , 所以 = + = + 1 3 = + 1 3 ( -

10、)=- 1 3 + 4 3 . 解法二因为 =3 ,所以 - =3( - ), 所以 =- 1 3 + 4 3 . 答案 A,理科数学 第五章：平面向量,示例2 如图,在直角梯形ABCD中, = 1 4 , =2 ,且 =r +s ,则2r+3s= A.1 B.2 C.3 D.4 思路分析 结合图形,根据向量加、减法运算及其几何意义,先将向量 用向量 , 线性表示,再对比已知向量等式 =r +s 进行分析,即可顺利获解.本题亦可通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算进行求解.,理科数学 第五章：平面向量,解析 解法一根据图形,由题意可得 = + = + 2 3 = + 2 3 ( + +

11、)= 1 3 + 2 3 ( + )= 1 3 + 2 3 ( + 1 4 )= 1 2 + 2 3 .(利用向量加法运算及其几何意义逐步变形) 因为 =r +s ,所以r= 1 2 ,s= 2 3 ,则2r+3s=1+2=3. 解法二因为 =2 ,所以 - =2( - ),(将一个向量写成两个向量之差的形式) 整理,得 = 1 3 + 2 3 = 1 3 + 2 3 ( + )= 1 2 + 2 3 ,以下同解法一.,理科数学 第五章：平面向量,解法三 如图,延长AD,BC交于点P,则由 = 1 4 得DCAB,且AB=4DC, 又 =2 ,所以E为PB的中点,且 = 4 3 . 于是 =

12、1 2 ( + )= 1 2 ( + 4 3 )= 1 2 + 2 3 . (利用向量加法运算及其几何意义逐步变形) 以下同解法一.,理科数学 第五章：平面向量,解法四 如图,建立平面直角坐标系xAy,依题意可设点B(4m,0),D(3m,3h),E(4m,2h),其中m0,h0. (结合图形,巧设点的坐标) 由 =r +s ,得(4m,2h)=r(4m,0)+s(3m,3h),所以 4=4+3, 2=3, 解得 = 1 2 , = 2 3 , 所以2r+3s=1+2=3. 答案 C,理科数学 第五章：平面向量,点评 解法一侧重利用向量加法运算及其几何意义进行分析; 解法二的切入点是根据向量等

13、式 =2 ,将向量 用向量 , 线性表示;解法三巧作辅助线,利用向量等式 = 1 4 表示的几何意义进行分析; 解法四通过建立平面直角坐标系,借助向量的坐标运算进行求解.,理科数学 第五章：平面向量,突破攻略 1.向量的线性运算集中体现在三角形中,可构造三角形,利用向量加减法的三角形法则表示相关的向量,利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,得出含相关向量的关系式. 2.向量线性运算的常用结论:(1)在ABC中,若D是BC的中点,则 = 1 2 ( + );(2)O为ABC的重心的充要条件是 + + =0;(3)四边形ABCD中,若E为AD的中点,F为BC的中点,则 + =2

14、 .,理科数学 第五章：平面向量,考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用,考法指导 1.利用共线向量定理解题的策略 (1)aba=b(b0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.即A,B,C三点共线 , 共线. (3)若a与b不共线且a=b,则=0. (4) = + (,为实数),若A,B,C三点共线,则+=1.,2.利用平面向量基本定理解题的策略 (1)先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合,再进行向

15、量的运算. (2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要熟练运用线段中点的向量表达式. 注意 (1)若a,b为非零向量,且ab,则a,b的夹角为0或180,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错. (2)零向量和共线向量不能作基底,基底通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量.,理科数学 第五章：平面向量,示例3 在ABC中, =2 , =3 ,连接BF,CE,且BFCE=M, =x +y ,则x-y等于 A.- 1 12 B. 1 12 C.- 1 6 D. 1 6 思路分析 画出图形后,会发现B,M,F三点共线,C,M,E三点共线.因此,本题可运用三

16、点共线的向量表示中系数的关系进行求解.,理科数学 第五章：平面向量,解析 因为 =2 , 所以 = 2 3 , 所以 =x +y = 2 3 x +y . 由B,M,F三点共线得 2 3 x+y=1.(三点共线,可得系数和为1) 因为 =3 ,所以 = 3 4 , 所以 =x +y =x + 3 4 y . 由C,M,E三点共线得x+ 3 4 y=1.(三点共线,可得系数和为1),理科数学 第五章：平面向量,联立,解得 = 1 2 , = 2 3 , 所以x-y= 1 2 - 2 3 =- 1 6 . 答案 C 点评 本题求解的关键在于两次根据“三点共线”,得向量线性表示中的系数之和为1;其次

17、,要注意“解方程组思想”在解题中的灵活应用. 突破攻略 一般地,解决向量a,b共线问题,可用两个不共线向量(如e1,e2)表示向量a,b,设b=a(a0),化成关于e1,e2的方程()e1+()e2=0,由于e1,e2不共线,则 ()=0, ()=0, 解方程组即可.,理科数学 第五章：平面向量,示例4 如图,已知ABCD的边BC,CD的中点分别是K,L,且 =e1, =e2,试用e1,e2表示 , . 思路分析 本题可以设 =x, =y,然后用x,y作为基底将e1,e2表示出来,再通过解方程组来求 , .当然也可以通过加辅助线,将e1,e2放在一个三角形中,结合三角形法则来求解.,理科数学

18、第五章：平面向量,解析 解法一设 =x, =y,则 = 1 2 x, =- 1 2 y. 由 + = , + = ,得 + 1 2 = 1 , 1 2 = 2 , +(-2),得 1 2 x-2x=e1-2e2,即x=- 2 3 (e1-2e2)=- 2 3 e1+ 4 3 e2, 所以 =- 2 3 e1+ 4 3 e2. 同理可得y= 2 3 (-2e1+e2),即 =- 4 3 e1+ 2 3 e2.,理科数学 第五章：平面向量,解法二如图所示,延长BC,AL,设相交于点E,则DLACLE, 从而 =2 , = , = 3 2 . 由 = - ,得 3 2 =2e2-e1, 即 = 2

19、3 (2e2-e1)=- 2 3 e1+ 4 3 e2. 同理可得 =- 4 3 e1+ 2 3 e2. 点评 解法一体现了方程的思想,解题时,“反其道而行之”,将待求的向量作为一组基底,然后利用这组基底把已知的向量表示出来,从而构造出了待求向量的方程组;解法二的基本思想就是将分散的向量集中到一个三角形中,为利用三角形法则创造条件.,理科数学 第五章：平面向量,拓展变式1 已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,下列说法不正确的个数为 e1+ue2(,uR)可以表示平面内的所有向量; 对于平面内任一向量a,使a=e1+ue2的实数对(,u)有无穷多个; 若向量1e1+u1e2与2e1+u2e2

20、共线,则有且只有一个实数,使得1e1+u1e2=(2e1+u2e2); 若实数,u使得e1+ue2=0,则=u=0. A.1 B.2 C.3 D.4,理科数学 第五章：平面向量,答案 B 解析 由平面向量基本定理可知,是正确的;对于,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的;对于,当两向量均为零向量时,即1=2=u1=u2=0时,这样的有无数个.故选B.,理科数学 第五章：平面向量,考法3 平面向量的坐标运算及应用,考法指导 向量坐标运算问题的一般思路 (1)向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全

21、代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算. (2)巧借方程思想求坐标:向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用. (3)妙用待定系数法求系数:利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数.,示例5 (1)已知A(1,4),B(-3,2),向量 =(2,4),D为AC的中点,则 = A.(1,3) B.(3,3) C.(-3,-3) D.(-1,-3) (2)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 1 2 a-

22、 3 2 b= A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) 思路分析 (1)先由已知,利用向量的坐标运算求出点C的坐标,然后利用中点坐标公式求出点D的坐标,进而可得所求向量的坐标. (2)根据平面向量的线性运算及坐标运算进行求解.,理科数学 第五章：平面向量,解析 (1)设C(x,y),则 =(x+3,y-2)=(2,4),所以 +3=2, 2=4, 解得 =1, =6, 即 C(-1,6). 由D为AC的中点可得点D的坐标为(0,5), 所以 =(0+3,5-2)=(3,3). (2) 1 2 a=( 1 2 , 1 2 ), 3 2 b=( 3 2 ,- 3

23、2 ),故 1 2 a- 3 2 b=(-1,2). 答案 (1)B(2)D,理科数学 第五章：平面向量,示例6 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足a=mb+nc的实数m,n; (2)若(a+kc)(2b-a),求实数k; (3)若d满足(d-c)(a+b),且|d-c|= 5 ,求d的坐标. 思路分析 (1)直接利用向量的坐标运算得到关于m,n的方程组; (2)根据向量平行的坐标表示,得到关于k的方程; (3)根据给出的两个条件,利用坐标运算可得到关于向量d的坐标的方程组.解以上方程(组)即可.,理科数学 第五章：平面向量,解析 (1)由题意得

24、(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),所以 +4=3, 2+=2, 解得 = 5 9 , = 8 9 . (2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由题意得2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,解得k=- 16 13 . (3)设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1),又a+b=(2,4),|d-c|= 5 , 所以 4(4)2(1)=0, (4 ) 2 +(1 ) 2 =5, 解得 =3, =1 或 =5, =3. 所以d的坐标为(3,-1)或(5,3).,理科数学 第五章：平面向量,拓展变式2 (1)已知梯形ABCD,其中ABCD,且DC=2AB,三个顶点A

25、(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为. (2)已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)b,则k=. 答案 (1)(2,4) (2)5,理科数学 第五章：平面向量,解析 (1)因为在梯形ABCD中,DC=2AB,ABCD,所以 =2 . 设点D的坐标为(x,y), 则 =(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y), 又 =(2,1)-(1,2)=(1,-1), 所以(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2), 所以 4=2, 2=2, 解得 =2, =4, 故点D的坐标为(2,4). (2)依题意得a-c=(3-k,-6)

26、,由(a-c)b得-6=3(3-k),解得 k=5.,理科数学 第五章：平面向量,C方法帮素养大提升,思想方法,理科数学 第五章：平面向量,方法1 几何法求解向量填空题 示例7 已知a,b 是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角是. 解析 令 =a, =b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则 =a+b, =a-b,又|a|=|b|=|a-b|,所以OAB是正三角形.由向量加法的几何意义,可知OC是AOB的平分线,所以a与a+b的夹角是 6 .,思想方法,方法2 解析法(坐标法)在向量中的应用 示例8 给定两个长度为1的平面向量 和 ,它们的夹角为 2 3 .如

27、图所示,点C在以O为圆心的圆弧 上运动.若 =x +y ,其中x,yR,求x+y的最大值.,思想方法,思路分析 解析 以O为坐标原点, 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(1,0),B(- 1 2 , 3 2 ).,理科数学 第五章：平行向量,设AOC=(0, 2 3 ),则C(cos ,sin ). 由 =x +y ,得 cos= 1 2 , sin= 3 2 , 所以x=cos + 3 3 sin ,y= 2 3 3 sin , 所以x+y=cos + 3 sin =2sin(+ 6 ), 又0, 2 3 , 所以当= 3 时,x+y取得最大值2.,理科数学 第五章：平行向量,点评 本题首先通过建立平面直角坐标系,引入向量的坐标运算,然后用三角函数的知识求出x+y的最大值.引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决,体现了坐标法解决问题的优势.,理科数学 第五章：平行向量,