高考理科数学一轮复习：第6章（3）等比数列及其前n项和ppt课件（含答案）.pptx

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1、第三讲 等比数列及其前n项和,【高考帮理科数学】第六章：数 列,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲要求,命题规律,命题分析预测,考点1 等比数列,考点2 等比数列的前n项和,考点3 等比数列的性质,考法1 等比数列的判定与证明,考法2 等比数列的基本运算,考法3 等比数列的性质的应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错 因数列中的思维定式致误,理科数学 第六章：数列,考情精解读,考纲要求 命题规律 命题分析预测,理科数学 第六章：数列,考纲要求,1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系,命题规律,

2、1.分析预测 本讲是高考的考查热点,主要考查等比数列的基本运算和性质,等比数列的通项公式和前n项和公式,尤其要注意以数学文化为背景的数列题,题型既有选择题、填空题,也有解答题. 2.学科素养 本讲主要考查考生的数学运算和逻辑推理能力,以及考生对函数与方程、转化与化归和分类讨论思想的应用.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1 等比数列,考点2 等比数列的前n项和,考点3 等比差数列的前n项和与通项的关系,理科数学 第六章：数列,理科数学 第六章：数列,1.等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数q(q0),那么这个数列叫作等比数列,这个常数q叫作等

3、比数列的公比. 2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项,此时G2=ab. 注意 (1)只有当两个数同号且不为0时,才有等比中项.(2)两个数a,b的等差中项只有一个,两个同号且不为0 的数的等比中项有两个.,考点1 等比数列,3.等比数列的通项公式及其变形 通项公式:an=a1qn-1(a1q0),其中a1是首项,q是公比. 通项公式的变形:an=amqn-m. 4.等比数列与指数函数的关系 当q0且q1时,an= 1 qn可以看成函数y=cqx,其是一个不为0的常数与指数函数的乘积,因此数列an各项所对应的点都在函数y=cqx的图象上,

4、如首项为1,公比为2的无穷等比数列,通项公式为an=2n-1= 1 2 2n,点(1,a1),(2,a2),(3,a3), (n,an)都在函数y= 1 2 2x的图象上.,理科数学 第六章：数列,理科数学 第六章：数列,名师提醒 等比数列的单调性 当q1,a10或01,a10时,an是递减数列; 当q=1时,an是常数列; 当q=-1时,an是摆动数列.,考点2 等比数列的前n项和,1.等比数列an的前n项和公式为Sn= 1 ,=1, 1 (1 ) 1 = 1 1 ,1. 2.对于非常数列的等比数列an的前n项和Sn= 1 (1 ) 1 =- 1 1 qn+ 1 1 ,若设a= 1 1 ,则

5、Sn=-aqn+a(a0,q0,q1).由此可知,数列Sn的图象是函数y=-aqx+a图象上一系列孤立的点. 对于常数列的等比数列,即q=1时,因为a10,所以Sn=na1.由此可知,数列Sn的图象是函数y=a1x图象上一系列孤立的点.,考点3 等比数列的性质,1.等比数列的运算性质 设数列an是等比数列. (1)若m+n=p+q,则aman=apaq,其中m,n,p,qN*,反之,不一定成立. 特别地,若2s=p+r,则apar= 2 ,其中p,s,rN*. 注意 在等比数列an中,若aman=apaq(m,n,p,qN*),则不一定有m+n=p+q成立,如当数列an是非零常数列时,此结论不

6、成立.,理科数学 第六章：数列,(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为qm(k,mN*). (3)若数列an,bn是两个项数相同的等比数列,则数列an, 2 , 1 ,anbn和 (0,nN*)也是等比数列.,理科数学 第六章：数列,2.等比数列的前n项和的性质 设Sn是等比数列an的前n项和. (1)Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn. (2)当q-1(或q=-1且k为奇数)时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,是等比数列. 注意 当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk, S3k-S2k,不是等比数列. (3)若a1a2an

7、=Tn,则Tn, 2 , 3 2 ,成等比数列.,理科数学 第六章：数列,(4)若数列an的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则 偶 奇 =q;若项数为2n+1,则 奇 1 偶 =q. 注意 在运用等比数列及其前n项和的性质时,要注意字母间的上标、下标的对应关系.,B考法帮题型全突破,考法1 等比数列的判定与证明,考法2 等比数列的基本运算,考法3 等比数列的性质的应用,理科数学 第六章：数列,考法1 等比数列的判定与证明,考法指导 等比数列的判定与证明常用方法如下: (1)定义法. +1 =q(q为常数且q0)或 1 =q(q为常数且q0,n2)an为等比数列; (2)等比中项

8、法. +1 2 =anan+2(an0,nN*)an为等比数列; (3)通项公式法.an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,nN*)an为等比数列; (4)前n项和公式法.若Sn表示数列an的前n项和,且Sn=-aqn+a(a0,q0,q1),则数列an是公比为q的等比数列.,理科数学 第六章：数列,由an+1=qan,q0,并不能断言an为等比数列,还要验证a10. 证明一个数列an不是等比数列,只需要说明前三项满足 2 2 a1a3,或者存在一个正整数m,使得 +1 2 amam+2即可.,理科数学 第六章：数列,示例1 已知数列an和bn满足:a1=,an+1= 2 3 an+n-4

9、,bn=(-1)n(an-3n+21),其中为实数,n为正整数. (1)对任意实数,证明数列an不是等比数列; (2)试判断数列bn是否为等比数列,并证明你的结论. 思路分析 对于(1),只要证明这个数列中有连续的三项不是等比数列即可;对于(2),若判定bn为等比数列,则在证明时,必须证明对任意的n值,这个数列都符合等比数列的定义.,理科数学 第六章：数列,解析 (1)假设存在一个实数,使an是等比数列,则有 2 2 =a1a3,即( 2 3 -3)2=( 4 9 -4),故 4 9 2-4+9= 4 9 2-4,即9=0,这与事实相矛盾.所以对任意实数,数列an都不是等比数列. (2)因为b

10、n+1=(-1)n+1an+1-3(n+1)+21=(-1)n+1( 2 3 an-2n+14)=- 2 3 (-1)n(an-3n+21)= - 2 3 bn,b1=-(+18),所以当=-18时,b1=0(nN*),此时bn不是等比数列; 当-18时,b1=-(+18)0,理科数学 第六章：数列,则bn0,所以 +1 =- 2 3 (nN*). 故当-18时,数列bn是以-(+18)为首项,- 2 3 为公比的等比数列. 点评 在判断一个数列是否为等比数列时,应根据已知条件灵活选用不同的方法,若一个数列中包含0的项,则可判定这个数列一定不是等比数列.,理科数学 第六章：数列,拓展变式1 已

11、知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(nN*). (1)求a1,a2,a3的值; (2)是否存在常数,使得an+为等比数列?若存在,求出的值和通项公式an,若不存在,请说明理由. 解析 (1)当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3, 当n=2时,S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9, 当n=3时,S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=21.,理科数学 第六章：数列,(2)假设an+是等比数列,则(a2+)2=(a1+)(a3+), 即(9+)2=(3+)(21+),解得=3. 下面证明an+3为等比数列: Sn=2an-3n,Sn+1=2an+1-3n-3,

12、an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,即2an+3=an+1, 2(an+3)=an+1+3, +1 +3 +3 =2, 存在=3,使得数列an+3是首项为a1+3=6,公比为2的等比数列. an+3=62n-1,即an=3(2n-1)(nN*).,考法2 等比数列的基本运算,考法指导 等比数列的基本运算方法: (1)通项法:等比数列由首项a1和公比q确定,所有关于等比数列的计算和证明,都可围绕a1和q进行. (2)对于等比数列的相关问题,一般给出两个条件就可以通过列方程(组)求出a1,q.如果再给出第三个条件就可以完成an,a1,q,n,Sn的“知三求二”问题. 例如: 若已知n

13、,an,Sn,先验证q=1是否成立,若q1,可以通过列方程组,理科数学 第六章：数列, = 1 1 , = 1 (1 ) 1 , 求出关键量a1和q,问题可迎刃而解. 若已知数列an中的两项an和am,可以利用等比数列的通项公式,得到方程组 = 1 1 , = 1 1 , 两式相除可先求出q,然后代入其中一式求得a1,进一步求得Sn.另外,还可以利用公式an=amqn-m直接求得q,可减少运算量.,理科数学 第六章：数列,(3)对称设元法:一般地,若连续奇数个项成等比数列,则可设该数列为, ,x,xq,;若连续偶数个项成等比数列,则可设该数列为, 3 , ,xq,xq3,(注意:此时公比q20

14、,并不适合所有情况).这样既可减少未知量的个数,也使得解方程较为方便.,理科数学 第六章：数列,示例2 (1)2015新课标全国,9,5分已知等比数列an满足a1= 1 4 ,a3a5=4(a4-1),则a2= A.2B.1C. 1 2 D. 1 8 (2)在等比数列an中,若a4-a2=6,a5-a1=15,则a3=. 思路分析 利用等比数列的通项公式列方程或方程组求解. 解析 (1)设等比数列an的公比为q,由a1= 1 4 ,a3a5=4(a4-1),可知q1,则a1q2a1q4=4(a1q3-1), 1 16 q6=4( 1 4 q3-1),q6-16q3+64=0, ( 3 8) 2

15、 =0,理科数学 第六章：数列,即q3=8,q=2,a2= 1 2 ,故选C. (2)设等比数列an的公比为q,则 1 3 1 =6, 1 4 1 =15, 两式相除,得 1+ 2 = 2 5 ,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q= 1 2 . 所以 1 =1, =2 或 1 =16, = 1 2 . 故a3=4或a3=-4.,理科数学 第六章：数列,示例3 (1)等比数列an的前n项和为Sn,若an0,q1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5= A.31B.36C.42D.48 (2)在等比数列an中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=. 思路分析 (1)

16、结合已知条件,由根与系数的关系,得a5,a3的值,从而求得q,a1,代入等比数列前n项和公式即可. (2)利用通项法或对称设元法设出等比数列的项求解,注意an=amqn-m的应用. .,理科数学 第六章：数列,解析 (1)a3a5=a2a6=64,因为a3+a5=20,所以a3和a5为方程x2-20 x+64=0的两根,因为an0,q1,所以a3a5,所以a5=16,a3=4,所以q= 5 3 = 16 4 =2,所以a1= 3 2 = 4 4 =1,所以S5= 1 5 1 =31.故选A. (2)解法一(通项法)由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以等比数列an的通项公式为

17、an=a1qn-1=4n-1. 解法二(对称设元法)由题意可设等比数列an的前3项分别为 4 ,x,4x,则 4 +x+4x=21,解得x=4,所以等比数列an的通项公式为an=a2qn-2=44n-2=4n-1.,理科数学 第六章：数列,突破攻略 求解等比数列基本量时注意运用整体思想、设而不求的思想,同时还要注意等比定理即q= 2 1 = 3 2 = 1 = 2 + 3 + 1 + 2 + 1 的运用. 拓展变式2 (1)已知等比数列an的公比为正数,且a3a9=2 5 2 ,a2=1,则a1等于() A. 1 2 B. 2 2 C. 2 D.2 (2)已知数列an是等差数列,若a2,a4+

18、3,a6+6构成公比为q的等比数列,则q= () A.1B.2C.3D.4,理科数学 第六章：数列,(3)数学文化题中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得至其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了 () A.96里B.48里C.192里D.24里,理科数学 第六章：数列,答案 (1)B (2)A (3)A 解析 (1) 设公比为q(q0),由已知得a1q2a1q8=2(a1q4)2, 则q2=2,所以q= 2

19、 .所以a1= 2 = 1 2 = 2 2 .故选B. (2) 令等差数列an的公差为d,由a2,a4+3,a6+6构成公比为q的等比数列,得(a4+3)2=a2(a6+6),即(a1+3d+3)2=(a1+d)(a1+5d+6),化简得(2d+3)2=0,即d=- 3 2 .所以q= 4 +3 2 = 1 9 2 +3 1 3 2 = 1 3 2 1 3 2 =1.故选A.,理科数学 第六章：数列,(3) 由题意得,该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为 1 2 的等比数列,记为an,其前6项和等于378,于是有 1 1( 1 2 ) 6 1 1 2 =378,解得a1=192,所以a2=

20、 1 2 a1=96,即该人第二天走了96里,选A.,考法3 等比数列的性质的应用,考法指导 解此类问题时有两种思路,一是列方程求出基本量,其优点是思路简单、实用,缺点是有时计算比较烦琐;二是利用等比数列及其前n项和的性质求解,等比数列的常用性质详见考点3.,示例4 等比数列an中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为 A.1B.2C.3D.5 思路分析 直接把a1+a3看作一个整体,利用等比数列的性质求解公比,然后代入即可. 解析 因为an为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项, 所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11)

21、, 故a9+a11= ( 5 + 7 ) 2 1 + 3 = 4 2 8 =2;,理科数学 第六章：数列,同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项, 所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15= ( 9 + 11 ) 2 5 + 7 = 2 2 4 =1.所以a9+a11+a13+a15=2+1=3. 答案 C,理科数学 第六章：数列,示例5 等比数列an的首项a1=-1,前n项和为Sn,若 10 5 = 31 32 ,则公比q=. 思路分析 利用等比数列的前n项和的性质求解. 解析 由 10 5 = 31 32 ,a1=-1知公比q1, 10

22、5 5 =- 1 32 . 由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,故q5= - 1 32 ,所以q=- 1 2 .,理科数学 第六章：数列,突破攻略 在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要对性质进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.,理科数学 第六章：数列,拓展变式3 (1)设等比数列an中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于() A. 1 8 B.- 1 8 C. 57 8 D. 55 8 (2)记等比数列an的前n项积为Tn(nN*),已知am-1am+1-2am=0,且T2m-1=1

23、28,则m的值为() A.4B.7C.10D.12,理科数学 第六章：数列,理科数学 第六章：数列,答案 (1)A (2)A 解析 (1)A因为a7+a8+a9=S9-S6,且S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以8(S9-S6)=1,即S9-S6= 1 8 .故选A. (2)A因为an是等比数列,所以am-1am+1= 2 .又am-1am+1-2am=0,则 2 -2am=0,所以am=2.由等比数列的性质可知前2m-1项积T2m-1= 21 , 即22m-1=128,故m=4.选A.,C方法帮素养大提升,易混易错,理科数学 第六章：数列,易错 因

24、数列中的思维定式致误 示例6 已知等比数列an中a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是 A.(-,-1B.(-,0)1,+) C.3,+)D.(-,-13,+) 易错分析 本题易错的原因是受q0的思维定式的影响,遗漏当q0时的情况,误认为S3= 1 +1+q3.,理科数学 第六章：数列,易混易错,解析 设等比数列an的公比为q,则S3=a1+a2+a3=a2( 1 +1+q)=1+q+ 1 . 当公比q0时,S3=1+q+ 1 1+2 1 =3,当且仅当q=1时,等号成立; 当公比q0时,S3=1-(-q- 1 )1-2 ()( 1 ) =-1,当且仅当q=-1时,等号成立. 所以S3(-,-13,+). 答案 D,理科数学 第六章：数列,温馨提示 等比数列的公比q0时,数列中的各项符号相同.用等比数列前n项和公式时,如果其公比q不确定,要分q=1和q1两种情况进行讨论.,理科数学 第六章：数列,