高考理科数学一轮复习：第13章（3）离散型随机变量及其分布列、均值与方差ppt课件.pptx

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1、第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差,【高考帮理科数学】第十三章：概率,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲解读,命题规律,命题分析预测,考点1离散型随机变量的分布列 考点2常见的离散型随机变量的概率分布模型 考点3离散型随机变量的均值与方差,考法1 求离散型随机变量的分布列、期望与方差 考法2 超几何分布的求解 考法3 利用期望与方差进行决策,B考法帮题型全突破,考情精解读,考纲解读 命题规律 命题分析预测,1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性. 2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. 3.理解取有

2、限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.,考纲解读,命题规律,1.分析预测本讲常以实际问题为背景,考查离散型随机变量的分布列、期望和方差,主要以解答题的形式呈现,解题时要熟悉相关公式的应用. 2.学科素养本讲主要考查考生的数据分析能力和数学运算能力.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1离散型随机变量的分布列 考点2常见的离散型随机变量的概率分布模型 考点3离散型随机变量的均值与方差,考点1离散型随机变量的分布列（重点）,1.离散型随机变量的分布列 一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi

3、(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,则下表称为随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.,为了简单起见,也可以用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,n表示X的分布列. 2.离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质:,说明 分布列的性质(2)的作用:可以用来检查所写出的分布列是否有误,还可以求分布列中的某些参数.,理科数学 第十三章：概率,(1)pi0,i=1,2,n; (2)p1+p2+pi+pn=1; (3)P(xixxj)=Pi+Pi+1+Pj(ij且i,jN*).,考点2常见的离散型随机变量的概率分布模型（重点）,1.两点分布 若随机变

4、量X的分布列为,则称X服从两点分布. 说明 (1)两点分布的实验结果只有两种可能,且其概率之和为1; (2)两点分布又称01分布,其应用十分广泛.,为超几何分布列,如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.,理科数学 第十三章：概率,2.超几何分布 一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则 P(X=k)= C C C ,k=0,1,2,m, 其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*,称分布列,名师提醒 m=minM,n的理解 m为k的最大取值,当抽取的产品件数不大于总体中次品件数,即nM时,k(抽取的样本中次品的件数)的最大值为m=

5、n;当抽取的产品件数大于总体中次品件数,即nM时,k的最大值为m=M.,理科数学 第十三章：概率,考点3离散型随机变量的均值与方差（重点）,1.离散型随机变量的均值与方差 一般地,若离散型随机变量X的概率分布列为,则称E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 称D(X)= =1 xi-E(X)2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根 D(X) 为随机变量X的标准差.,2.均值与方差的性质 若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则 (1)E(k)=k,D(k)=0

6、,其中k为常数; (2)E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)= a2D(X); (3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2); (4)D(X)=E(X2)-(E(X)2 ; (5)若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)E(X2); (6)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p); (7)若X服从二项分布,即XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).,理科数学 第十三章：概率,B考法帮题型全突破,考法1 求离散型随机变量的分布列、期望与方差 考法2 超几何分布的求解 考法3 利用期望与方差进行决策,考法1 求离散型随机变量的分布列、期望与

7、方差,考法指导 1.求离散型随机变量X的分布列的步骤 (1)理解X的意义,写出X可能取的全部值; (2)求X取每个值的概率; (3)写出X的分布列; (4)根据分布列的性质对结果进行检验. 2.期望与方差的一般计算步骤 (1)理解X的意义,写出X的所有可能取的值; (2)求X取各个值的概率,写出分布列; (3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.,示例1某品牌汽车4S店,对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如下表所示.已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车,顾客分3期付款,其利润为1万元;分6期或9期付款,其利润为1.5万元;分12期或15期付

8、款,其利润为2万元.用表示经销一辆汽车的利润.,理科数学 第十三章：概率,(1)求上表中的a,b值; (2)若以频率作为概率,求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有1位采用分9期付款”的概率P(A); (3)求的分布列及均值E(). 思路分析 (1)根据统计数据和频率的计算公式可直接求出a,b的值;(2)事件A是一个独立重复试验,包含两个互斥事件没有顾客分9期付款与只有1位顾客分9期付款,故先根据题意把频率换成概率即可求解;(3)顾客选择付款的期数只能是3,6,9,12,15,根据题意得到付款期数与利润的关系,然后合并利润相同的事件,确定的取值,再求出其对应的概率,则易得的分布列与均值.

9、,理科数学 第十三章：概率,解析(1)由 100 =0.2,得a=20.又40+20+a+10+b=100,所以b=10. (2)记分期付款的期数为,依题意,得P(=3)= 40 100 =0.4,P(=6)= 20 100 =0.2,P(=9)=0.2, P(=12)= 10 100 =0.1,P(=15)= 10 100 =0.1. 则“购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有1位分9期付款”的概率为P(A)=0.83+ C 3 1 0.2(1-0.2)2=0.896. (3)由题意,可知只能取3,6,9,12,15. 而=3时,=1;=6时,=1.5;=9时,=1.5;=12时,=2;=15时

10、,=2.,理科数学 第十三章：概率,所以的可能取值为1,1.5,2,且P(=1)=P(=3)=0.4,P(=1.5)=P(=6)+P(=9)=0.4, P(=2)=P(=12)+P(=15)=0.1+0.1=0.2. 故的分布列为所以的均值E()=10.4+1.50.4+20.2=1.4(万元). 点评(1)若随机变量Y的分布列不易求,可以根据题意找出与随机变量Y有关的随机变量X,确定二者对应值及取对应值的概率的关系,将求随机变量Y的分布列转化为求随机变量X的分布列. (2)在求解均值时,需要掌握均值的性质,利用性质直接求均值可简化运算.,理科数学 第十三章：概率,拓展变式1某经营者在一个袋子

11、里放入 3 种不同颜色的小球,每种颜色的球都是 3 个,然后让玩者从中一次性摸出 5 个球,并规定如果摸出来的小球的颜色是“221”(即2种颜色的球各为 2 个,另一种颜色的球为 1 个),则玩者要交钱 5 元;如果摸出来的小球的颜色是“ 311”,则奖给玩者 2 元;如果摸出来的小球的颜色是“320”,则奖给玩者 10 元. (1)求玩者要交钱的概率; (2)求经营者在一次游戏中获利的期望(保留到0.01元).,理科数学 第十三章：概率,解析 1.(1)只有出现的情况是“221”,玩者才需要交钱, 所以玩者要交钱的概率P= C 3 1 C 3 2 C 3 2 C 3 1 C 9 5 = 33

12、33 126 = 81 126 = 9 14 .,(2)设表示经营者在一次游戏中获利的钱数,则 =5(即“221”)时,由(1)可知,P(=5)= 9 14 ; =-2(即“311”)时,P(=-2)= C 3 1 C 3 1 C 3 1 C 9 5 = 333 126 = 27 126 = 3 14 ; =-10(即“320”)时,P(=-10)= C 3 1 C 2 1 C 3 2 C 9 5 = 323 126 = 1 7 . 所以的分布列为,理科数学 第十三章：概率,所以E()=(-2) 3 14 +(-10) 1 7 +5 9 14 = 19 14 1.36, 所以经营者在一次游戏中

13、获利的期望约为1.36元.,考法2 超几何分布的求解,考法指导 1.随机变量是否服从超几何分布的判断 若随机变量X服从超几何分布,则满足如下条件:(1)该试验是不放回地抽取n次;(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件),反之亦然. 2.求超几何分布的分布列的步骤 第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值; 第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率; 第三步,用表格的形式列出分布列.,3.求超几何分布的均值与方差的方法 (1)列出随机变量X的分布列,利用均值与方差的计算公式直接求解; (2)利用公式E(X)= ,D(X)= ()() 2

14、(1) 求解.,理科数学 第十三章：概率,示例2某项大型赛事,需要从高校选拔青年志愿者,某大学学生实践中心积极参与,从8名学生会干部(其中男生5名,女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X,求X的分布列及数学期望. 思路分析 先根据8名志愿者的构成,确定X的分布列的类型超几何分布,进而确定相应的参数取值,并求出X的每个取值对应事件的概率,列出分布列,最后代入数学期望公式求值.,理科数学 第十三章：概率,解析解法一因为8名学生会干部中有5名男生,3名女生,所以X的分布列服从参数N=8,M=3,n=3的超几何分布. X的所有可能取值为 0,1,2,3,其中P(X=i)=

15、 C 3 C 5 3 C 8 3 (i=0,1,2,3), 则P(X=0)= C 3 0 C 5 3 C 8 3 = 5 28 ,P(X=1)= C 3 1 C 5 2 C 8 3 = 15 28 , P(X=2)= C 3 2 C 5 1 C 8 3 = 15 56 ,P(X=3)= C 3 3 C 5 0 C 8 3 = 1 56 . 所以X的分布列为,理科数学 第十三章：概率,所以X的数学期望为E(X)=0 5 28 +1 15 28 +2 15 56 +3 1 56 = 63 56 = 9 8 . 解法二求X的分布列同解法一. 利用超几何分布均值的计算公式,可得X的数学期望E(X)=

16、33 8 = 9 8 .,理科数学 第十三章：概率,拓展变式2 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者参加山区支教活动,现用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数,求的数学期望.,理科数学 第十三章：概率,解析 2.解法一由题意知,随机变量服从参数为N=7,M=2,n=2的超几何分布,的可能取值为0,1,2. 因此P(=0)= C 5 2 C 7 2 = 10 21 ,P(=1)= C 2 1 C 5 1 C 7 2 = 10 21 ,P(=2)= C 2 2 C 7 2 = 1 21 ,故的分布列为,理科数学 第十三章：概率,从而E()=0 10 21 +1 10 21 +2 1 2

17、1 = 4 7 . 解法二由题意知,随机变量服从参数为N=7,M=2,n=2的超几何分布,直接代入超几何分布均值的计算公式可得E()= = 22 7 = 4 7 .,考法3 利用期望与方差进行决策,考法指导 利用期望与方差进行决策的方法 (1)若我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量1,2的期望,当E(1)=E(2)时,不应误认为它们一样好,需要用D(1),D(2)来比较这两个随机变量的偏离程度,偏离程度小的更好. (2)若我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近. (3)若对平均水平或者稳定性没有明确要求时,一般先计算期望,若相等,则由方差来确定哪一个更好.若E(

18、1)与E(2)比较接近,且期望较大者的方差较小,显然该变量更好;若E(1)与E(2)比较接近且方差相差不大时,应根据不同选择给出不同的结论,即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.,理科数学 第十三章：概率,示例3 2016全国卷,19,12分理某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图所示柱状图:,理科数学 第十三章：概率,以这100台机器更换

19、的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. ()求X的分布列; ()若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值; ()以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?,理科数学 第十三章：概率,思路分析 ()由柱状图得频率,分别求出随机变量每个取值所对应的概率,进而可得分布列;()由()即可求解n的最小值;()分别求解n=19与n=20时购买易损零件所需费用的期望值,再比较选择哪一个较好.,解析 ()由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零

20、件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而 P(X=16)=0.20.2=0.04; P(X=17)=20.20.4=0.16; P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;,P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24; P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2; P(X=21)=20.20.2=0.08; P(X=22)=0.20.2=0.04. 所以X的分布列为,理科数学 第十三章：概率,()由()知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19.,理科数学 第十三章：概率,()记Y表示2台机器在购买易

21、损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19时, E(Y)=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+ (19200+3500)0.04=4 040. 当n=20时, E(Y)=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080. 可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.,拓展变式3某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现,在回收上来的1 000份有效问卷中,同学们背英语单词的时间安排共两种:白天背和晚上睡前背.为研究背单词时间安排对记忆效果的影响,该

22、社团以5%的比例对这1 000名学生按时间安排类型进行分层抽样,并完成一项实验,实验方法是,使两组学生记忆40个无意义音节(如xIQ、GEH),均要求在刚能全部记清时就停止识记,并在8小时后进行记忆测验.不同的是,甲组同学识记结束后一直不睡觉,8小时后测验;乙组同学识记停止后立刻睡觉,8小时后叫醒测验.两组同学识记停止8小时后的准确回忆(保持)情况如图所示(区间含左端点而不含右端点).,理科数学 第十三章：概率,理科数学 第十三章：概率,(1)估计1 000名被调查的学生中识记停止8小时后,40个音节的保持率大于等于60%的人数; (2)从乙组准确回忆个数在12,24)范围内的学生中随机选3人

23、,记能准确回忆20个以上(含20)的人数为随机变量X.求X的分布列及数学期望; (3)从本次实验的结果来看,上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好?计算并说明理由.,理科数学 第十三章：概率,解析 (1)1 0005%=50, 由题图知,甲组有4+10+8+4+2+1+1=30(人), 乙组有20人. 又4060%=24, 识记停止8小时后,40个音节的保持率大于等于60%的在甲组有1人,在乙组有(0.062 5+0.037 5)420=8(人), (1+8)5%=180, 即估计1 000名被调查的学生中识记停止8小时后,40个音节的保持率大于等于60%的人数为180.,理科数

24、学 第十三章：概率,(2)由乙组图知,乙组在12,24)范围内的学生有(0.025+0.025+0.075)420=10(人), 其中在20,24)范围内的学生有0.075420=6(人), X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)= C 4 3 C 6 0 C 10 3 = 1 30 ,P(X=1)= C 4 2 C 6 1 C 10 3 = 3 10 ,P(X=2)= C 4 1 C 6 2 C 10 3 = 1 2 ,P(X=3)= C 4 0 C 6 3 C 10 3 = 1 6 , X的分布列为,理科数学 第十三章：概率,E(X)=0 1 30 +1 3 10 +2 1 2 +3 1 6 = 9 5 . (3)甲组学生准确回忆音节共有:24+610+108+144+182+221+261=288(个), 甲组学生的平均保持率为 288 4030 =0.24. 乙组学生准确回忆音节共有: (60.012 5+100.012 5+140.025+180.025+220.075+260.062 5+300.037 5)420=432(个), 乙组学生的平均保持率为 432 4020 =0.540.24. 睡前背单词记忆效果更好.,