高考理科数学一轮复习：第9章（2）圆的方程及直线、圆的位置关系ppt课件（含答案）.pptx

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1、第二讲圆的方程及直线、圆的位置关系,【高考帮理科数学】第九章直线和圆的方程,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲要求,命题规律,命题分析预测,考点1圆的方程 考点2直线与圆的位置关系 考点3圆与圆的位置关系,考法1求圆的方程 考法2与圆有关的最值问题 考法3直线与圆、圆与圆的位置关系的判断及应用 考法4圆中的弦长问题 考法5圆的切线问题,B考法帮题型全突破,理科数学 第九章：直线和圆的方程,考情精解读,考纲要求 命题规律 命题分析预测,理科数学 第九章：直线和圆的方程,1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置

2、关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 4.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.,考纲要求,命题规律,1.分析预测本讲是高考的热点,主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系,一般以选择题和填空题的形式出现,有时与椭圆、双曲线、抛物线进行交汇命题,解题时要充分利用圆的几何性质简化运算过程. 2.学科素养本讲主要考查考生的数学运算能力和数形结合思想的运用.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1圆的方程 考点2直线与圆的位置关系 考点3圆与圆的位置关系,理科数学 第九章：直线和圆的方程,1.圆的方程,考

3、点1圆的方程（重点）,名师提醒 (1)若没有给出r0,则圆的半径为|r|. (2)在圆的一般方程中:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点(- 2 ,- 2 );当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,理科数学 第九章：直线和圆的方程,2.点与圆的位置关系 (1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:dr点在圆外;d=r点在圆上;dr2点在圆外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆上; (x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆内.,设圆O的半径为r,圆心O到直线l的距离

4、为d,则,考点2直线与圆的位置关系（重点）,1.圆与圆的位置关系 设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(Rr),则,考点3圆与圆的位置关系（重点）,思维拓展 圆系方程 (1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中a,b是定值,r是参数; (2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R); (3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1

5、)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).,理科数学 第九章：直线和圆的方程,2.两圆相交时,公共弦所在直线的方程 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若两圆相交,则有一条公共弦,由-,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 方程表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,名师提醒 (1)当两圆相交时,两圆方程相减,所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程,这一结论的前提是两圆相交,如果不确定两圆是否相交,两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程

6、. (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心. (3)求公共弦长时,几何法比代数法简单且易求.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,B考法帮题型全突破,考法1求圆的方程 考法2与圆有关的最值问题 考法3直线与圆、圆与圆的位置关系的 判断及应用 考法4圆中的弦长问题 考法5圆的切线问题,理科数学 第九章：直线和圆的方程,考法1 求圆的方程,考法指导1.求圆的方程的两种方法 (1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法:若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值; 若已知条件没有

7、明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值. 2.确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;,(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上; (3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.,示例1,已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为 A.(x- 3 2 )2+y2= 25 4 B.(x+ 3 4 )2+y2= 25 16 C.(x- 3 4 )2+y2= 25 16 D.(x- 3 4 )2+y2= 25 4,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解析,解法一(待定系

8、数法)根据题意,设圆E的圆心坐标为(a,0)(a0),半径为r,则圆E的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a0). 由题意得 2 + 1 2 = 2 , (2 ) 2 = 2 , 2 +(1 ) 2 = 2 , (由点在圆上可得点的坐标满足圆的方程) 解得 = 3 4 , 2 = 25 16 , 所以圆E的标准方程为(x- 3 4 )2+y2= 25 16 .,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解法二(待定系数法)设圆E的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),则由题意得 1+=0, 4+2+=0, 1+=0, 解得 = 3 2 , =0, =1, 所以圆E的一般方程

9、为x2+y2- 3 2 x-1=0,即(x- 3 4 )2+y2= 25 16 .,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解法三(几何法)因为圆E经过点A(0,1),B(2,0),所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y- 1 2 =2(x-1)上. 又圆E的圆心在x轴的正半轴上,所以圆E的圆心坐标为( 3 4 ,0). 则圆E的半径为EB= (2 3 4 ) 2 +(00 ) 2 = 5 4 ,所以圆E的标准方程为(x- 3 4 )2+y2= 25 16 . 答案C,理科数学 第九章：直线和圆的方程,拓展变式1 已知圆心在x轴上,半径为 5 的圆位于y轴右侧,且截直线x+2y=0所得弦的长为2,则

10、圆的方程为.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解析 (x-2 5 )2+y2=5根据题意,设圆的圆心坐标为(a,0)(a0),则圆的标准方程为(x-a)2+y2=5(a0),则圆心到直线x+2y=0的距离d= |+20| 1 2 + 2 2 = 5 5 a. 又该圆截直线x+2y=0所得弦的长为2,所以可得12+( 5 5 a)2=5,解得a=2 5 . 故圆的方程为(x-2 5 )2+y2=5.,考法2 与圆有关的最值问题,考法指导 与圆有关的最值问题的常见类型及求解策略 (1)最小圆(圆的面积最小)问题,转化为求半径最小值问题; (2)圆上的点到圆外的点(直线)的距离的最值,应先求圆心到

11、圆外的点(直线)的距离,再加上半径或减去半径求得最值; (3)形如= 的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (4)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题,也可用三角代换求解; (5)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题.,示例2,已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上, (1)求 的最大值和最小值; (2)求x+y的最大值与最小值. 思路分析,理科数学 第九章：直线和圆的方程,将 视为某直线的斜率,将x+y视为某直线在坐标轴上的截距,画出图形,结合已知条件求解,解析,方程x2+y2-6x-6y+1

12、4=0可变形为(x-3)2+(y-3)2=4,则圆C的半径为2. (1)(转化为斜率的最值问题求解) 表示圆上的点P与原点连线的斜率,显然当PO(O为原点)与圆C相切时,斜率最大或最小,如图1所示.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,设切线方程为y=kx,即kx-y=0, 由圆心C(3,3)到切线的距离等于圆C的半径,可得 |33| 2 +1 =2, 解得k= 92 14 5 . 所以 的最大值为 9+2 14 5 ,最小值为 92 14 5 .,理科数学 第九章：直线和圆的方程,(2)(转化为截距的最值问题求解)设x+y=b,则b表示动直线y=-x+b在y轴上的截距,显然当动直线y=-x+b

13、与圆C相切时,b取得最大值或最小值,如图所示. 由圆心C(3,3)到切线x+y=b的距离等于圆C的半径,可得 |3+3| 1 2 + 1 2 =2,即|b-6|=2 2 ,解得b=62 2 , 所以x+y的最大值为6+2 2 ,最小值为6-2 2 .,理科数学 第九章：直线和圆的方程,考法3 直线与圆、圆与圆的位置关系的判断及应用,考法指导 1.判断直线与圆的位置关系的方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断. (2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断. 如果0,那么直线与圆相交.

14、 (3)点与圆的位置关系法:若直线过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.,2.圆与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:由两圆的圆心距d与半径R,r(Rr)的关系来判断.dR+r外离;d=R+r外切;R-rdR+r相交;d=R-r内切;dR-r内含. (2)代数法:设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0. 对于方程组 2 + 2 + 1 + 1 + 1 =0, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 =0, 如果该方程组没有实数解,那么两圆相离; 如果该方程组有两组相同的实数解,那么两圆相切; 如果该方程组有两组不同的实数解,那么两圆相交.,

15、理科数学 第九章：直线和圆的方程,注意： 判断圆与圆的位置关系时,一般不用代数法,因为利用代数法不能判断内切与外切,内含与外离;利用几何法的关键是判断圆心距|C1C2|与R+r,R-r的关系.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,示例3,直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是 A.相交B.相切C.相离D.不确定,思路分析,根据直线与圆的位置关系的判断方法代数法或几何法求解,也可以利用直线所过的定点,结合该定点与圆的位置关系求解.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解析,解法一(代数法)由 +1=0, 2 +(1 ) 2 =5, 消去y,整理得(1+m2)x2-2m

16、2x+m2-5=0, 因为=16m2+200,所以直线l与圆相交. 解法二(几何法)由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d= | 2 +1 1 5 ,故直线l与圆相交. 解法三(点与圆的位置关系法)直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆相交.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,答案 A 点评 判断直线与圆的位置关系时,通常利用圆心到直线的距离,注意求距离时直线方程必须化成一般式.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,示例4,分别求当实数k为何值时,两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+

17、k=0相交和相切.,思路分析,确定两圆的 圆心和半径,理科数学 第九章：直线和圆的方程,利用两圆位置关系及C2对k的限制确定关系式,求解参数的值 或取值范围,解析,将两圆的一般方程化为标准方程,得 C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k, 则圆C1的圆心为C1(-2,3),半径r1=1; 圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2= 50 ,k50. 从而|C1C2|= (21 ) 2 +(37 ) 2 =5. 当| 50 -1|5 50 +1,即4 50 6,即14k34时,两圆相交. 当1+ 50 =5,即k=34时,两圆外切;当| 50 -1|=5,

18、即k=14时,两圆内切.所以当k=14或k=34时,两圆相切.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,理科数学 第九章：直线和圆的方程,拓展变式2 原创题已知直线l:x+2y-3=0与圆C:x2+y2+x-6y+m=0,若直线l与圆C无公共点,则m的取值范围是 () A.(1,8)B.(8, 37 4 ) C.(1,37)D.(8,+),理科数学 第九章：直线和圆的方程,解析B将圆的方程配方,得(x+ 1 2 )2+(y-3)2= 374 4 ,则 374 4 0,解得m8.所以m的取值范围是(8, 37 4 ).故选B.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,拓展变式3 已知圆O:x2+y2=1,点

19、P为直线 4 + 2 =1上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点 () A.( 1 2 , 1 4 )B.( 1 4 , 1 2 ) C.( 3 4 ,0)D.(0, 3 4 ),理科数学 第九章：直线和圆的方程,解析 B因为点P是直线 4 + 2 =1上的一动点,所以设P(4-2m,m). 因为PA,PB是圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,所以OAPA,OBPB,所以点A,B在以OP为直径的圆C上,即弦AB是圆O和圆C的公共弦. 因为圆心C的坐标是(2-m, 2 ),且半径r= (42 ) 2 + 2 2 ,所以圆C的方程为(x-2+m)2+

20、(y- 2 )2= (42 ) 2 + 2 4 , 又x2+y2=1, 所以-,得(2m-4)x-my+1=0,即公共弦AB所在的直线方程为(2x-y)m+ (-4x+1)=0,所以由 4+1=0, 2=0, 得 = 1 4 , = 1 2 , 所以直线AB过定点( 1 4 , 1 2 ).故选B.,考法4 圆中的弦长问题,考法指导 求解圆的弦长问题的方法 (1)几何法:如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2 2 2 .,(2)代数法:若斜率为k的直线与圆相交于A(xA,yA),B(xB,yB)两点,则|AB|= 1+ 2 ( +

21、) 2 4 = 1+ 1 2 |yA-yB|(其中k0).特别地,当k=0时,|AB|=|xA-xB|;当斜率不存在时,|AB|=|yA-yB|. 当直线与圆相交时,半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图9-2-3中的RtADC),在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,示例5,若过点(1,1)的直线与圆x2+y2-6x-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,思路分析 先由条件求出圆x2+y2-6x-4y+4=0的圆心和半径r,再求出点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d,最后求得|AB|的最

22、小值|AB|min=2 2 2 .,(几何法)由题意得,圆x2+y2-6x-4y+4=0的圆心为(3,2),半径r= 1 2 36+1616 =3. 因为点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d= (31 ) 2 +(21 ) 2 = 5 ,所以|AB|的最小值|AB|min=2 2 2 =2 95 =4.（|AB|的最小值是过点(1,1)且垂直于过该点的直径的弦的长）,解析,理科数学 第九章：直线和圆的方程,示例6,2017全国卷,20,12分在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现ACBC的情况?说明

23、理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,理科数学 第九章：直线和圆的方程,思路分析 (1)利用设而不求法,借助向量的方法推证 0,进而得出不会出现ACBC的情况.(2)思路一,先由条件求得过A,B,C三点的圆的方程,再令x=0求得圆与y轴的交点坐标,最后可证得“过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值”;思路二,利用平面几何中的相交弦定理求解.,(1)不能出现ACBC的情况,理由如下: 设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程x2+mx-2=0的两根,所以x1x2=-2,又点C的坐标为(0,1),则 =(-x1,1)(

24、-x2,1)=x1x2+1=-2+1=-10,所以不能出现ACBC的情况. (2)解法一由题意知,过A,B,C三点的圆的圆心必在线段AB的垂直平分线上.设圆心E(x0,y0),则x0= 1 + 2 2 ,由(1)可得x1+x2=-m,所以x0=- 2 ,由|EA|=|EC|,得( 1 + 2 2 -x1)2+ 0 2 =( 1 + 2 2 )2+(y0-1)2,化简得y0= 1+ 1 2 2 =- 1 2 ,所以圆E的方程为,解析,理科数学 第九章：直线和圆的方程,(x+ 2 )2+(y+ 1 2 )2=(- 2 )2+(- 1 2 -1)2.令x=0,得y1=1,y2=-2,所以过A,B,C

25、三点的圆在y轴上截得的弦长为1-(-2)=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 解法二设过A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D,由x1x2=-2可知原点O在圆内,则由相交弦定理可得|OC|OD|=|OA|OB|=|x1|x2|=2.(利用相交弦定理:若圆O的两条弦AB,CD交于一点P,则|PA|PB|=|PC|PD|) 又|OC|=1,所以|OD|=2,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|+|OD|=3,为定值.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,突破攻略 求圆中的弦长问题的技巧:(1)垂直于弦的直径平分这条弦;(2)圆心与弦的中点的连线垂直于这条弦;(3)

26、d2+( 2 )2=r2,其中r为圆的半径,d为弦心距,l为弦长;(4)在研究与弦的中点有关的问题时,注意运用“平方差法”,即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为(x0,y0),由 1 2 + 1 2 = 2 , 2 2 + 2 2 = 2 , 得k= 1 2 1 2 = - 1 + 2 1 + 2 =- 0 0 .,理科数学 第九章：直线和圆的方程,拓展变式4 求两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程及公共弦长.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解析 联立两圆的方程得 2 + 2 2+1024=0, 2

27、+ 2 +2+28=0, 两式相减整理得x-2y+4=0,所以两圆公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0.,解法一设两圆相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组 2+4=0, 2 + 2 +2+28=0, 解得 1 =4, 1 =0 或 2 =0, 2 =2. 所以|AB|= (0+4 ) 2 +(20 ) 2 =2 5 ,即公共弦长为2 5 . 解法二由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50,其圆心坐标为(1,-5),半径r=5 2 ,圆心到直线x-2y+4=0的距离d= |12(5)+4| 1+(2 ) 2 =3 5 . 设公

28、共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,即50=(3 5 )2+l2,解得l= 5 ,故公共弦长2l=2 5 .,理科数学 第九章：直线和圆的方程,考法5 圆的切线问题,考法指导,1.求过圆上的一点(x0,y0)的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率k,若k不存在,则结合图形可直接写出切线方程为y=y0;若k=0,则结合图形可直接写出切线方程为x=x0;若k存在且k0,则由垂直关系知切线的斜率为- 1 ,由点斜式可写出切线方程. 2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程 (1)几何法:当斜率存在时,设为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由圆心到直线的

29、距离等于半径,即可求出k的值,进而写出切线方程.当斜率不存在时要进行验证.,(2)代数法:当斜率存在时,设为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由=0,求得k,切线方程即可求出.当斜率不存在时要进行验证. 3.在求过一定点的圆的切线方程时,应先判断定点与圆的位置关系,若点在圆上,则该点为切点,切线只有一条;若点在圆外,切线有两条;若点在圆内,则切线不存在.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,示例7,已知点P( 2 +1,2- 2 ),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过点P的圆C的切线方程

30、; (2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.,思路分析,先分别判断点P,M与圆C的位置关系,再利用切线的性质来确定切线的斜率.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,由题意得圆心C(1,2),半径r=2. (1)因为( 2 +1-1)2+(2- 2 -2)2=4,所以点P在圆C上. 又kPC= 2 2 2 2 +11 =-1,所以切线的斜率k=- 1 =1. 所以过点P的圆C的切线方程是y-(2- 2 )=1x-( 2 +1),即x-y+1-2 2 =0. (2)因为(3-1)2+(1-2)2=54,所以点M在圆C外部. 当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0. 又点C(

31、1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r, 即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线.,解析,理科数学 第九章：直线和圆的方程,当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离d= |2+13| 2 +1 =r=2,解得k= 3 4 . 所以切线方程为y-1= 3 4 (x-3),即3x-4y-5=0. 综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0. 因为|MC|= (31 ) 2 +(12 ) 2 = 5 ,所以过点 M的圆 C的切线长为 | | 2 2 = 54 =1. 点评解决本题时利用数形结合可避免漏解.,

32、理科数学 第九章：直线和圆的方程,突破攻略 与圆的切线有关的结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0 x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为x0 x+y0y=r2;(4)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点为T,则切线长为|PT|= 0 2 + 0 2 + 0 + 0 + ;,(5)过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(6)若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),则过圆外一点P(x0,y0)的切线长d= ( 0 ) 2 +( 0 ) 2 2 .,