高考理科数学一轮复习：第9章（1）直线方程与两直线的位置关系ppt课件（含答案）.pptx

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1、第一讲直线方程与两直线的位置关系,【高考帮理科数学】第九章直线和圆的方程,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲要求,命题规律,命题分析预测,考点1直线方程 考点2两直线的位置关系 考点3 距离公式,考法1 求直线的倾斜角和斜率 考法2 求直线方程 考法3 两直线位置关系的判定及应用 考法4 两直线的交点与距离的求解及应用 考法5 对称问题,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错忽略斜率不存在致误 方法 妙用直线系求直线方程,考情精解读,考纲要求 命题规律 命题分析预测,1.在平面直角坐标系中,能结合具体图形,确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概

2、念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 4.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系. 5.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.,考纲要求,命题规律,1.分析预测该讲在高考中很少单独考查,通常与其他知识结合起来考查,一是与导数结合,求切线的斜率、倾斜角和切线方程,二是与圆、圆锥曲线结合,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系,有时需要运用两条直线的位置关系和距离公式. 2.学科素养本讲主要考查考生的数学运算

3、能力.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1直线方程 考点2两直线的位置关系 考点3 距离公式,1.直线的倾斜角 (1)定义:对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时,所转的最小正角记为,那么就叫作直线的倾斜角. (2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0. (3)范围:直线的倾斜角的取值范围是0,). 2.直线的斜率 (1)定义:当直线l的倾斜角 2 时,其倾斜角的正切值tan 叫作这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,即k=tan .,考点1直线方程（重点）,(2)范围:全体实数R. (3)斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x

4、2,y2)(x1 x2)的直线的斜率公式为 1 2 = 2 1 2 1 . 3.直线的倾斜角与斜率的关系,理科数学 第九章：直线和圆的方程,理科数学 第九章：直线和圆的方程,续表,4.直线方程的几种形式,理科数学 第九章：直线和圆的方程,续表,注意 当直线与x轴不垂直时,可设直线的方程为y=kx+b;当不确定直线的斜率是否存在时,可设直线的方程为ky+x+b=0.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,1.两条直线的位置关系,考点2两直线的位置关系(重点),注意： 两条直线平行时,不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况;两条直线垂直时,不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.,2.

5、两条直线的交点 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,它们的交点通过方程组 1 + 1 + 1 =0, 2 + 2 + 2 =0 求解. (1)方程组有唯一解l1,l2相交,交点坐标就是方程组的解; (2)方程组无解l1l2; (3)方程组有无数解l1,l2重合.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,思维拓展 常见的直线系方程 1.过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B20),还可以表示为y-y0=k(x-x0)和x=x0. 2.平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+=0(C). 3.垂直于直线Ax+By

6、+C=0的直线系方程:Bx-Ay+=0. 4.过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0)和A2x+B2y+C2=0.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,1.两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|= ( 2 1 ) 2 +( 2 1 ) 2 . 2.点到直线的距离公式 点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= | 0 + 0 +| 2 + 2 . 3.两平行直线间的距离公式 两条平行直线Ax+B

7、y+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d= | 1 2 | 2 + 2 .,考点3距离公式（重点）,注意： 在解题过程中,点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式.特别是在两平行直线间的距离公式中,两直线方程的一般式中x,y的系数要对应相等.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,B考法帮题型全突破,考法1 求直线的倾斜角和斜率 考法2 求直线方程 考法3 两直线位置关系的判定及应用 考法4 两直线的交点与距离的求解及应用 考法5 对称问题,考法1 求直线的倾斜角和斜率,考法指导 1.求倾斜角的取值范围 (1)求出斜率k=tan 的取值范围(若斜率不存在,倾斜角为9

8、0). (2)利用正切函数的单调性,借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围. 2.求斜率的常用方法 (1)当倾斜角不是90时,斜率k=tan ; (2)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率为k= 2 1 2 1 (x1x2); (3)方程为Ax+By+C=0(B0)的直线的斜率为k=- ;,(4)依据方向向量,以a=(m,n)(m0)为方向向量的直线的斜率k= ; (5)利用导数的几何意义求切线的斜率.,示例1 直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, 3 )为端点的线段有公共点,求直线l的斜率k的取值范围.,思路分析,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解析 根

9、据题意可画出如图所示的图象. 因为kAP= 10 21 =1, kBP= 3 0 01 =- 3 , 所以k(-,- 3 1,+).,点评,欲使直线l与线段AB有交点,则只需直线l的斜率k在直线PA,PB的斜率之间,数形结合即可找到思路.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,拓展变式1 曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 （ ） A.30 B.60 C.45 D.120,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解析Cy=3x2-2,在点(1,3)处的切线的斜率k=312-2=1,故倾斜角为45.故选C.,考法2 求直线方程,考法指导 1.求直线方程的方法 (1)直接法:根据已知条件

10、,选择恰当形式的直线方程,求出方程中的系数,写出直线方程; (2)待定系数法:先根据已知条件恰当设出直线的方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数,最后代入设出的直线方程. 2.选择直线方程时,应注意分类讨论思想的应用.选用点斜式或斜截式时,先分类讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.,3.求直线方程时,如果没有特别要求,求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0,且A0.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,示例2 已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,当ABO的面积取最小值时,求直线l

11、的方程. 思路分析 利用截距式或点斜式设出直线l的方程,再利用基本不等式可求.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解析 解法一设A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直线l的方程为 + =1. (截距式) 因为l过点P(3,2),所以 3 + 2 =1. 因为1= 3 + 2 2 6 ,整理得ab24,所以SABO= 1 2 ab12. 当且仅当 3 = 2 ,即a=6,b=4时取等号. 此时直线l的方程是 6 + 4 =1,即2x+3y-12=0.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解法二依题意知,直线l的斜率k存在且k0, 可设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0), (点斜式)

12、 则A(3- 2 ,0),B(0,2-3k), SABO= 1 2 (2-3k)(3- 2 ) = 1 2 12+(-9k)+ 4 1 2 12+2 (9) 4 = 1 2 (12+12),理科数学 第九章：直线和圆的方程,突破攻略,1.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为0,这是解题时容易忽略的一点. 2.直线的斜率是否存在是解直线问题时要优先考虑的问题.,=12, 当且仅当-9k= 4 ,即k=- 2 3 时,等号成立. 所以所求直线l的方程为2x+3y-12=0.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,拓展变式2 改编题直线l过点(2,2),且点(5,1)到直线l的距离为 1

13、0 ,则直线l的方程是（ ） A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0 C.3x-y-4=0 D.x-3y-4=0,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解析 C由已知,设直线l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,所以 |51+22| 2 + (1) 2 = 10 ,解得k=3,所以直线l的方程为3x-y-4=0.故选C.,考法3 两直线位置关系的判定及应用,考法指导 1.两直线位置关系的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在 两直线平行两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等; 两直线垂直两直线的斜率之积为-1. (2)已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在,当两直线在x轴

14、上的截距不相等时,两直线平行;否则两直线重合.,(3)已知两直线的一般方程 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1l2A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C10,l1l2A1A2+B1B2=0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论. 2.由两条直线平行与垂直求参数的值 在解这类问题时,一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性,是否需要分情况讨论;“后想”就是在解题后,检验答案的正确性,看是否出现增解或漏解.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,示例3 (1)如果直线l:y=kx-1(k0)与双曲线 2 16 - 2 9 =1的一条渐近线

15、平行,那么k=. (2)已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为.,思路分析 (1)先由双曲线的方程求出其渐近线方程,再由两直线平行的条件:斜率相等,即可求得参数k的值.(2)根据两直线垂直时斜率之间的关系列关于a的方程,解之即得,注意讨论a与0的关系.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解析 (1)因为双曲线方程为 2 16 - 2 9 =1,所以其渐近线方程为y= 3 4 x. 又直线l:y=kx-1(k0)与双曲线 2 16 - 2 9 =1的一条渐近线平行,所以k= 3 4 . (2)l1的斜率k1

16、= 30 1(2) =a. 当a0时,l2的斜率k2= 2(1) 0 = 12 . 因为l1l2, 所以k1k2=-1,即a 12 =-1,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解得a=1. 当a=0时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线l2为y轴,A(-2,0),B(1,0),直线l1为x轴,显然l1l2. 综上可知,实数a的值为1或0. 点评 根据两直线平行或垂直满足的关系即可求解,注意讨论斜率是否为零.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,考法4 两直线的交点与距离的求解及应用,考法指导 1.两直线交点的求法 求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为点的坐标,即交

17、点的坐标. 2.过两直线交点的直线方程的求法 求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程.,3.距离的求法 利用距离公式求解,当利用点到直线的距离公式时,需要先将直线方程化为一般式;当利用平行直线间的距离公式时,需要先将两条平行直线方程化为x,y的系数对应相等的一般式.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,示例4 2013新课标全国,12,5分理已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a0)将ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是 A.(0,1) B.

18、(1- 2 2 , 1 2 ) C.(1- 2 2 , 1 3 D. 1 3 , 1 2 ),理科数学 第九章：直线和圆的方程,解析 解法一由已知得lBC:x+y=1,由 +=1, =+ 消去x,得y= + +1 ,当a0时,直线y=ax+b与x轴交于点(- ,0),结合图形知 1 2 + +1 (1+ )= 1 2 ,化简得(a+b)2=a(a+1),则a= 2 12 .a0, 2 12 0,解得b 1 2 .考虑极限位置,即a=0,此时易得b=1- 2 2 ,故b(1- 2 2 , 1 2 ).,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解法二易得ABC的面积为1,利用极限位置和特殊值法求解.当a

19、=0时,易得b=1- 2 2 ,排除A,D;当a= 1 3 时,易 得b= 1 3 ;当a=1时,易得b= 2 -1 1 3 ,排除C. 答案B,理科数学 第九章：直线和圆的方程,拓展变式3 若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为() A.3 2 B.2 2 C.3 3 D.4 2,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解析Al1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0是平行直线,可判断AB所在直线过原点且与直线l1,l2垂直时,中点M到原点的距离最小.直线l1:x+y-7=0,l2:x+y-5=0,两直线的距离为 |75| 1

20、2 + 1 2 = 2 ,又原点到直线l2的距离为 5 2 2 ,AB的中点M到原点的距离的最小值为 5 2 2 + 2 2 =3 2 .故选A.,考法5 对称问题,考法指导 1.点关于点对称 若点M(x1,y1)和点N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 =2 1 , =2 1 , 进而求解. 2.直线关于点对称 (1)在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的点的坐标,再由两点式求出直线方程; (2)求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.,3.点关于直线对称 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=

21、0对称,则由方程组 ( 1 + 2 2 )+( 1 + 2 2 )+=0, 2 1 2 1 ( )=1 可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2). 4.直线关于直线对称 设直线l1关于直线l的对称直线为l2.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,(1)当l1与l相交时,则交点必在l2上,再求出l1上某个点P1关于对称轴l对称的点P2,那么经过交点及点P2即可求出直线l2的方程. (2)当l1l时,借助两直线平行所满足的条件设出对称直线l2的方程,再利用两平行直线间的距离公式列出方程,解得直线l2方程中的常数项,从而得l2的方程. 5.解决对称问题要抓住以下两点

22、: 一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直,二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,示例5 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程; (3)直线l关于点A对称的直线l的方程.,思路分析 本题考查点关于直线、直线关于直线和直线关于点的对称问题,解题的关键是将问题转化为求对称点的问题.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解析(1)设A(x,y), 则 +2 +1 2 3 =1, 2 1 2 3 2 2 +1=0, 解得 = 33 13

23、, = 4 13 , 即A(- 33 13 , 4 13 ). (2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上. 设对称点为M(a,b),则 2 +2 2 3 +0 2 +1=0, 0 2 2 3 =1,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解得 = 6 13 , = 30 13 , 即M( 6 13 , 30 13 ). 设m与l的交点为N,则由 23+1=0, 326=0, 得N(4,3). 又m经过点N(4,3), 由两点式得直线m的方程为9x-46y+102=0.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,(3)解法一在l:2x-3y+1=0上任取两点,如P(1,

24、1),N(4,3),则P,N关于点A的对称点P,N均在直线l上. 易知P(-3,-5),N(-6,-7),由两点式可得l的方程为2x-3y-9=0. 解法二设Q(x,y)为l上任意一点, 则Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为Q(-2-x,-4-y), Q在直线l上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0.,解析 解法一圆C的圆心坐标为(2,2),半径为1. 显然,入射光线所在直线的斜率k不存在时不符合题意,故可设入射光线所在直线的方程为y-3=k(x+3),则反射光线所在直线的斜率k=-k,点P关于x轴的对称点P(-3,-3)在反射光线所在的直线上,故反射光线

25、所在直线的方程为y+3=-k(x+3),该直线应与圆相切,故得 |2+2+3+3| 1+ 2 =1,所以12k2+25k+12=0,解得k=- 3 4 或k=- 4 3 .,拓展变式4 若自点P(-3,3)发出的光线l经x轴反射,其反射光线所在的直线与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0相切,求直线l的方程.,所以所求直线l的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0. 解法二如图所示,设圆C关于x轴对称的圆为圆C,则圆C的圆心坐标为(2,-2),半径为1.设入射光线所在直线的方程为y-3=k(x+3),则该直线与圆C相切,类似解法一可得直线l的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

26、,C方法帮素养大提升,易错忽略斜率不存在致误 方法 妙用直线系求直线方程,易错忽略斜率不存在致误,示例6,已知直线过点(5,10),且到原点的距离为5,求直线的方程.,易错分析,解本题容易出现的问题是:设斜率为k,将已知点代入点斜式方程得含参直线方程,结合原点到直线的距离为5得直线方程,忽略了斜率不存在的情况.,当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0; 当斜率存在时,设斜率为k,则所求直线方程为y-10=k(x-5),即kx-y+10-5k=0. 由点到直线的距离公式,得 |105| 2 +1 =5,解得k= 3 4 . 故所求直线方程为3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为x-5=

27、0或3x-4y+25=0.,解析,理科数学 第九章：直线和圆的方程,方法妙用直线系求直线方程,1.平行直线系 由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们的一次项系数与常数项有必然的联系.,示例7,求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程.,思路分析,因为所求直线与3x+4y+1=0平行,因此,可设所求直线方程为3x+4y+c=0(c1).,依题意,设所求直线方程为3x+4y+c=0(c1), 因为直线过点(1,2), 所以31+42+c=0,解得c=-11. 因此,所求直线方程为3x+4y-11=0.,解析,先设与直线Ax+By+C=0平行的

28、直线系方程为Ax+By+C1=0(C1C),再由其他条件求C1.,温馨提示,理科数学 第九章：直线和圆的方程,2.垂直直线系 由于直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件为A1A2+B1B2=0,因此,当两直线垂直时,它们的一次项系数有必然的联系,可以考虑用直线系方程求解.,示例8,求经过A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.,思路分析,依据两直线垂直的条件设出方程,再由待定系数法求解.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+C1=0,又直线过点(2,1),所以有2-21+C1=

29、0,解得C1=0,所以所求直线方程为x-2y=0.,解析,先设与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C1=0,再由其他条件求出C1.,温馨提示,理科数学 第九章：直线和圆的方程,3.过直线交点的直线系,示例9,求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.,思路分析,可先求出l1与l2的交点,再用点斜式求解,也可利用直线系方程求解.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解法一将直线l1,l2的方程联立,得 3+21=0, 5+2+1=0, 解得 =1, =2, 即直线l1,l2的交点为(-1,2). 由题意

30、得直线l3的斜率为 3 5 ,又直线ll3,所以直线l的斜率为- 5 3 , 则直线l的方程是y-2=- 5 3 (x+1),即5x+3y-1=0.,解析,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解法二由于l l3,所以可设直线l的方程是5x+3y+C=0, 将直线l1,l2的方程联立,得 3+21=0, 5+2+1=0, 解得 =1, =2, 即直线l1,l2的交点为(-1,2),则点(-1,2)在直线l上, 所以5(-1)+32+C=0,解得C=-1, 所以直线l的方程为5x+3y-1=0.,理科数学 第九章：直线和圆的方程,解法三设直线l的方程为3x+2y-1+(5x+2y+1)=0, 整理得(3+5)x+(2+2)y+(-1+)=0. 由于l l3,所以3(3+5)-5(2+2)=0,解得= 1 5 , 所以直线l的方程为5x+3y-1=0.,本题中的解法二、解法三均是利用直线系设出直线l的方程,而解法三是利用相交直线系设出方程,避免了求直线l1与l2的交点坐标,方便简捷,是最优解法.,点评,理科数学 第九章：直线和圆的方程,