高考理科数学一轮复习：第3章（2）导数的应用ppt课件（含答案）.pptx

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1、第二讲导数的应用,【高考帮理科数学】第三章 导数及其应用,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲要求,命题规律,命题分析预测,考点1导数与函数的单调性 考点2导数与函数的极值、最值 考点3生活中的优化问题,考法1 利用导数研究函数的单调性 考法2 已知函数的单调性求参数 考法3 利用导数求函数的极值和最值 考法4 已知函数的极值、最值求参数 考法5 利用导数解决不等式问题 考法6 利用导数解决与函数零点有关的问题 考法7 利用导数解最优化问题,B考法帮题型全突破,理科数学 第三章：导数及其应用,考情精解读,考纲要求 命题规律 命题分析预测,理科数学 第三章：导数及其应用,

2、1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).,考纲要求,命题规律,命题规律,续表,命题规律,续表,1.分析预测从近五年的考查情况来看,该讲一直是高考的重点和难点.一般以基本初等函数为载体,利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题,同时与解不等式关系最为密切,还可能与三角函数、数列等知识综合考

3、查,一般出现在选择题和填空题的后两题中以及解答题的第21题,难度较大,复习备考的过程中应引起重视. 2.学科素养该讲主要考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算能力和逻辑推理能力.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1 导数与函数的单调性 考点2 导数与函数的极值、最值值 考点3 生活中的优化问题,理科数学 第三章：导数及其应用,1.函数单调性与导数的关系如下: 函数y=f(x)在区间(a,b)内可导, (1)若f (x)0,则f(x)在区间(a,b)内是单调递增函数; (2)若f (x)0,则f(x)在区间(a,b)内是单调递减函数; (3)若恒有f (x)=0,则f(x)在区间

4、(a,b)内是常数函数. 注意 1.讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则. 2.有相同单调性的单调区间不止一个时,用“,”隔开或用“和”连接,不能用“”连接.,考点1 导数与函数的单调性（重点）,2.用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系. (1)f (x)0(0(0)恒成立,“=”不能少,必要时还需对“=”进行检验.,理科数学 第三章：导数及其应用,1.函数的极值 设函数y=f(x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值

5、. 一般地,当函数f(x)在x0处连续时, (1)如果在x0附近的左侧f (x)0,右侧f (x)0,那么f(x0)是极小值.,考点2 导数与函数的极值、最值（重点）,易错警示 1.极值点不是点,若函数f(x)在x1处取得极大值,则x1为极大值点,极大值为f(x1);在x2处取得极小值,则x2为极小值点,极小值为f(x2).极大值与极小值之间无确定的大小关系. 2.极值一定在区间内部取得,有极值的函数一定不是单调函数. 3. f (x0)=0是x0为f(x)的极值点的必要而非充分条件.例如,f(x)=x3,f (0)=0,但x=0不是极值点.,文科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：

6、导数及其应用,2.函数的最值 在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.在区间a,b上连续的函数f(x)若有唯一的极值点,则这个极值点就是最值点. 辨析比较 极值与最值的区别与联系 极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最值最多有一个.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题. 利用导数解决生活中优化问题的基本思路为

7、: 注意 在求实际问题的最大值、最小值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.,考点3 生活中的优化问题,B考法帮题型全突破,考法1 利用导数研究函数的单调性 考法2 已知函数的单调性求参数 考法3 利用导数求函数的极值和最值 考法4 已知函数的极值、最值求参数 考法5 利用导数解决不等式问题 考法6 利用导数解决与函数零点有关的问题 考法7 利用导数解最优化问题,理科数学 第三章：导数及其应用,考法1 利用导数研究函数的单调性,考法指导 1.利用导数求函数单调区间的基本步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f (x); (3)由f (x)0(或0)解出相应的x的

8、取值范围,对应的区间为f(x)的单调递增(减)区间. 还可以通过列表,写出函数的单调区间.,2.证明或讨论函数的单调性 方法一:求出在对应区间上导数的正负即得结论. 方法二:(1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f (x),并求方程f (x)=0的根; (3)利用f (x)=0的根将函数的定义域分成若干个子区间,在这些子区间上讨论f (x)的正负,由符号确定f(x)在该子区间上的单调性. 3.函数的图象与导函数图象的关系 理解导函数y=f (x)的图象与函数f(x)图象的升降关系,导函数大于0对应原函数图象由左至右上升,导函数小于0对应原函数图象由左至右下降,在解题时要注意原函数的定义

9、域,如判断定义域是否具有对称性等.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,示例1 已知函数f(x)=ex-ax-1(aR)(e=2.718 28是自然对数的底数). (1)求f(x)的单调区间; (2)讨论g(x)=f(x)(x- 1 2 )在区间0,1内的零点个数. 思路分析 (1)求出f (x),分a0,a0两种情况进行讨论,令f (x)0得f(x)的单调递增区间,f (x)0得f(x)的单调递减区间;(2)要求g(x)=f(x)(x- 1 2 )在区间0,1内的零点个数,需考虑f(x)在区间0,1内的零点个数,利用导数研究函数f(x)的单调性,分a1,ae,1a

10、e-1三种情况进行讨论,分别求出零点个数即可.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,解析 (1)由题意可得f (x)=ex-a. 当a0时,f (x)0恒成立, 所以f(x)的单调递增区间为(-,+),无减区间; 当a0时,由f (x)0,得xln a,由f (x)0,得xln a,所以f(x)的单调递减区间为(-,ln a),单调递增区间为(ln a,+ ).（对a分类讨论）,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,(2)由g(x)=0得f(x)=0或x= 1 2 . 先考虑f(x)在区间0,1内的零点个数. 当a1时, f(x)在(0,+

11、)上单调递增且f(0)=0,此时f(x)有一个零点; 当ae时, f(x)在(-,1)上单调递减且f(0)=0,此时f(x)有一个零点; 当1e-1时, f(x)有一个零点,当1e-1或a=2( e -1)时, g(x)有两个零点; 当1ae-1且a2( e -1)时, g(x)有三个零点.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,突破攻略 利用导数解决函数单调性问题应该注意:(1)单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间要先求函数的定义域;(2)求可导函数f(x)的单调区间,可以直接转化为f (x)0与f (x)0这两个不等式的解集问题来处理;(3)若可导

12、函数f(x)在指定区间D上单调递增(减),则应将其转化为f (x)0(f (x)0)来处理;(4)涉及含参数的函数的单调性或单调区间问题,一定要弄清参数对导数f (x)在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,示例2 f (x)是f(x)的导函数,若f (x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是 A B C D 思路分析： ,理科数学 第三章：导数及其应用,观察导函数图象,f (x)0时f(x)递增, f (x)0时f(x)递减,得正确选项,理科数学 第三章：导数及其应用,解析 由导函数的图象可知,当x0,即函数

13、f(x)为增函数;当0 x1时,f (x)0,即函数f(x)为增函数.观察选项易知C正确. 答案C,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,拓展变式1 函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象如图,则函数y=log2(x2+ 2 3 bx+ 3 )的单调递减区间为 A. 1 2 ,+) B.3,+) C.-2,3 D.(-,-2),理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,答案D 解析 因为f(x)=x3+bx2+cx+d,所以f (x)=3x2+2bx+c.由题图可知f (-2)= f (3)=0.所以 124+=0, 27+6+=0, 解得

14、= 3 2 , =18. 令g(x)=x2+ 2 3 bx+ 3 ,则g(x)=x2-x-6,g(x)=2x-1.由g(x)=x2-x-60,解得x3.当x 1 2 时,g(x)0,所以g(x)=x2-x-6在(-,-2)上为减函数.所以函数y=log2(x2+ 2 3 bx+ 3 )的单调递减区间为(-,-2).故选D.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,拓展变式2 已知函数f(x)=2aln x+x2-(a+4)x+1(a为常数). (1)若a0,讨论f(x)的单调性; (2)若对任意的a(1, 2 ),都存在x0(3,4使得不等式f(x0)+ln a+1m(

15、a-a2)+2aln 4 e 成立,求实数m的取值范围.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,解析 (1)f (x)= 2 +2x-(a+4)= (2)(2) (x0), 令f (x)=0得x1=2,x2= 2 , 当a4时, 2 2,当2 2 时,f (x)0, f(x)在(0,2)和( 2 ,+)上单调递增,在(2, 2 )上单调递减; 当a=4时, 2 =2,f (x)= 2(2 ) 2 0,f(x)在(0,+)上单调递增; 当02时,f (x)0,f(x)在(0, 2 )和(2,+)上单调递增,在( 2 ,2)上单调递减. 综上所述,当a4时,f(x)在(0

16、,2)和( 2 ,+)上单调递增,在(2, 2 )上单调递减;当a=4时,f(x)在(0,+)上单调递增;当0a4时,f(x)在(0, 2 )和(2,+)上单调递增,在( 2 ,2)上单调递减.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,(2)由(1)可知,当a(1, 2 )时,f(x)在(3,4上单调递增, 当x(3,4时,f(x)max=f(4)=4aln 2-4a+1,依题意,只需f(x)max+ln a+1m(a-a2)+2aln 4 e , 即对任意的a(1, 2 ),不等式ln a+ma2-(m+2)a+20恒成立. 设h(a)=ln a+ma2-(m+2)a

17、+2,则h(1)=0,h(a)= 1 +2ma-(m+2)= (21)(1) , a(1, 2 ), 21 0, 当m1时,对任意的a(1, 2 ),ma-10,h(a)0, h(a)在(1, 2 )上单调递增,h(a)h(1)=0恒成立; 当m0不能恒成立. 综上所述,实数m的取值范围是1,+).,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,考法2 已知函数的单调性求参数,考法指导 由函数的单调性求参数的取值范围的技巧 (1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题,可转化为f (x)0(或 f (x)0)对xD恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要

18、注意“=”是否取到. (2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f (x)0(或f (x)0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题. (3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围. (4)若已知f(x)在D上不单调,则f(x)在D上有极值点,且极值点不是D的端点.,示例3 已知函数f(x)=- 1 3 x3+mx2-x+2在区间(1,2)上是增函数,则m的取值范围是 A. 5 4 ,2) B. 5 4 ,+) C.2,+) D. 5 4 ,2)(2,+) 思路分析 求出函

19、数f(x)的导数,将函数在区间(1,2)上单调递增转化为f (x)0在该区间上恒成立,利用导函数的图象确定参数满足的条件.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,解析 f (x)=-x2+2mx-1,由函数f(x)在区间(1,2)上是增函数可得,f (x)0在区间(1,2)上恒成立. （单调递增转化为不等式恒成立） 设g(x)=f (x),显然该函数的对称轴为x=m. (1)当m1时,函数g(x)在区间(1,2)上为减函数,由g(x)0在(1,2)上恒成立可得g(2)0,即-4+4m-10,解得m 5 4 ,这与m1相矛盾,故无解; (2)当m2时,函数g(x)在区间

20、(1,2)上为增函数,由g(x)0可得g(1)0,即-1+2m-10,解得m1,所以m的取值范围为m2; (3)当1m2时,函数g(x)在区间(1,m)上为增函数,在区间(m,2)上为减函数, 由g(x)0可得 (1)0, (2)0, 解得m 5 4 ,所以m的取值范围为 5 4 ,2). (根据对称轴m与区间端点值1,2的大小关系,分类讨论,转化为最值问题) 综上可得,m的取值范围为 5 4 ,2)2,+),即 5 4 ,+).,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,答案 B 点评 对于由函数单调性确定参数取值范围问题,求解的关键在于根据导函数的符号变化确定参数所满

21、足的条件,函数在指定区间内不单调也就是导函数在指定区间内符号发生变化.解决此类问题易出现的错误是认为函数在区间(a,b)上单调的充要条件是f (x)0(或f (x)0)在区间(a,b)上恒成立导致漏解.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,拓展变式3 设f(x)= e 1+ 2 ,其中a为正实数,若f(x)为R上的单调函数,则a的取值范围为. 答案 (0,1 解析 对f(x)求导得f (x)=ex 1+ 2 2 (1+ 2 ) 2 . 若f(x)为R上的单调函数,则f (x)在R上不变号,结合与条件a0,知ax2-2ax+10在R上恒成立.因此,方程ax2-2ax+

22、1=0的根的判别式=4a2-4a=4a(a-1)0,由此并结合a0,知0a1,即a的取值范围是(0,1.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,考法3 利用导数求函数的极值和最值,考法指导 1.求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域,求导数f (x); (2)求方程f (x)=0的根; (3)检验f (x)在方程f (x)=0的根的左右两侧的符号,具体如下表:,注意对于求解析式中含有参数的函数的极值问题,一般要对方程f (x)=0的根的情况进行讨论.分两个层次讨论:第一层,讨论方程在定义域内是否有根;第二层,在有根的条件下,再讨论根的大小.,理科数学

23、第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,2.求函数f(x)在a,b上的最值的方法 (1)若函数在区间a,b上单调递增或递减,f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值; (2)若函数在区间a,b内有极值,要先求出函数在a,b上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成; (3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到. 注意 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其

24、单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,示例4 已知函数f(x)= 3 + 2 (1), ln(1). (1)求f(x)在区间(-,1)上的极小值和极大值点; (2)求f(x)在-1,e(e为自然对数的底数)上的最大值.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,思路分析 (1) (2) ,理科数学 第三章：导数及其应用,结合(1)的求解过程,将x分成-1x0与a0考虑,求得结论,理科数学 第三章：导数及其应用,解析 (1)当x1时,f (x)=-3x2+2x=-

25、x(3x-2),令f (x)=0,解得x=0或x= 2 3 .当x变化时, f (x),f(x)的变化情况如下表: 故当x=0时,函数f(x)取得极小值为f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x= 2 3 .,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,(2)当-1x0时,f(x)在1,e上单调递增, 则f(x)在1,e上的最大值为f(e)=a. 故当a2时,f(x)在-1,e上的最大值为a; 当a2时, f(x)在-1,e上的最大值为2.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,拓展变式4 已知函数f(x)=eax+bx(ax2+3在x1,m上恒成

26、立,求正整数m的最大值.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,解析 (1)f(x)=eax+bx,f (x)=aeax+b. 由 (0)=5, (1)+ (1)=12, 得 +=5, e + e =12, 化简得(ea-2)(a+1)=0, 又a0,得x-ln 6, f(x)在(-,-ln 6)上单调递减,在(-ln 6,+)上单调递增,f(x)极小值=f(-ln 6)= eln 6-6ln 6=6-6ln 6,无极大值.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,(2)f(x)x2+3在x1,m上恒成立,等价于e-x-x2+6x-30在x1,

27、m上恒成立. 设g(x)=e-x-x2+6x-3,则g(x)=-e-x-2x+6, 设h(x)=g(x)=-e-x-2x+6,则h(x)=e-x-2, 1xm,有h(x)0,h(2)=2-e-20,h(3)=-e-30,当xx0时,有g(x)0,g(2)=e-2+50,g(3)=e-3+60, g(4)=e-4+50,g(5)=e-5+20,g(6)=e-6-30;当x6时,恒有g(x)0. 正整数m的最大值为5.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,考法4 已知函数的极值、最值求参数,考法指导 1.已知函数的极值求参数时,通常利用函数的导数在极值点处的取值等于零来

28、建立关于参数的方程.需注意的是,可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 2.已知函数的最值求参数,一般先求出最值(含参数),再根据最值列方程或不等式(组)求解.,示例5 设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR. (1)令g(x)=f (x),求g(x)的单调区间; (2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围. 思路分析 (1)先求出g(x)=f (x)的解析式,然后求函数的导数g(x),再利用函数单调性和导数之间的关系即可求g(x)的单调区间;(2)分别讨论a的取值范围,根据

29、函数极值的定义,进行验证即可得出结论.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,解析 (1)由f (x)=ln x-2ax+2a, 可得g(x)=ln x-2ax+2a,x(0,+). 则g(x)= 1 -2a= 12 . 当a0时,x(0,+)时,g(x)0,函数g(x)单调递增; 当a0时,x(0, 1 2 )时,g(x)0,函数g(x)单调递增, x( 1 2 ,+)时,g(x)0时,g(x)的单调增区间为(0, 1 2 ),单调减区间为( 1 2 ,+).,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,(2)由(1)知,f (1)=0. 当a0

30、时,f (x)单调递增, 所以当x(0,1)时,f (x)0,f(x)单调递增. 所以f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意. 当01,由(1)知f (x)在(0, 1 2 )内单调递增, 可得当x(0,1)时,f (x)0. 所以f(x)在(0,1)内单调递减,在(1, 1 2 )内单调递增, 所以f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,当a= 1 2 时, 1 2 =1,f (x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减, 所以当x(0,+)时,f (x)0,f(x)单调递减,不符合题意. 当a 1 2 时,00,

31、f(x)单调递增, 当x(1,+)时,f (x) 1 2 .,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,拓展变式5 已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x,其中aR. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)当a0时,若f(x)在区间1,e上的最小值为-2,求a的取值范围. 解析 (1)当a=1时, f(x)=x2-3x+ln x(x0), 所以f (x)=2x-3+ 1 = 2 2 3+1 , 所以f(1)=-2,f (1)=0. 所以切线方程为y=-2. (2)函数f(x)=ax2-(a+2)x+ln x的定义域为(0,+

32、), 当a0时, f (x)=2ax-(a+2)+ 1 = 2 2 (+2)+1 = (21)(1) ,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,令f (x)=0,解得x= 1 2 或x= 1 . 当0 1 1,即a1时, f(x)在1,e上单调递增. 所以f(x)在1,e上的最小值为f(1)=-2,符合题意; 当1 1 e,即 1 e a1时, f(x)在1, 1 上单调递减,在 1 ,e上单调递增, 所以f(x)在1,e上的最小值为f( 1 )f(1)=-2,不符合题意; 当 1 e,即0a 1 e 时, f(x)在1,e上单调递减, 所以f(x)在1,e上的最小值为

33、f(e)f(1)=-2,不符合题意; 综上, 实数a的取值范围是1,+).,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,考法5 利用导数解决不等式问题,考法指导 1.利用导数证明不等式的方法 证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果F(x)0,则F(x)在(a,b)上是减(增)函数,同时若F(a)()0,由减(增)函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)g(x). 其一般步骤是:构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论.,2.不等式成立(恒成立)问题 (1)f(x)a恒成立f(x)mina, (x)

34、a成立f(x)maxa. (2)f(x)b恒成立f(x)maxb, f(x)b成立f(x)minb. (3)f(x)g(x)恒成立 F(x)min0. (4)x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min. x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)max. x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)min. x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,注意 不等式在某区间上能成立与不等式在某区间上恒成立问题是既有联系又有区别的两种情况,解题

35、时应特别注意,两者都可转化为最值问题,但f(a)g(x)(f(a)g(x)对存在xD能成立等价于f(a)g(x)min(f(a)g(x)max),f(a)g(x)(f(a)g(x)对任意xD都成立等价于f(a)g(x)max(f(a)g(x)min),应注意区分,不要搞混.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,示例6已知函数f(x)= e . (1)求曲线y=f(x)在点P(2, e 2 2 )处的切线方程; (2)证明: f(x)2(x-ln x). 思路分析 (1)求函数y=f(x)的导函数,并求出f (2),利用直线的点斜式方程,即可求出曲线y=f(x)在点P

36、(2, e 2 2 )处的切线方程;(2)欲证f(x)2(x-ln x),只需证f(x)-2(x-ln x)0,构造函数g(x)=f(x)-2(x-ln x),求导,判断其单调性,从而求其最小值,并证得其最小值为正数,即可得结论.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,解析 (1)因为f(x)= e ,所以f (x)= e e 2 = e (1) 2 , f (2)= e 2 4 , 又切点为(2, e 2 2 ),所以切线方程为y- e 2 2 = e 2 4 (x-2), 即e2x-4y=0. (2)设函数g(x)=f(x)-2(x-ln x)= e -2x+2l

37、n x, x(0,+), (构造函数) 则g(x)= e (1) 2 -2+ 2 = ( e 2)(1) 2 , x(0,+) (将分子转化为两个因式的积) 设h(x)=ex-2x, x(0,+) (构造函数,利用导数求其最小值),理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,则h(x)=ex-2,令h(x)=0,则x=ln 2. 当x(0,ln 2)时, h (x)0. 所以h(x)min=h(ln 2)=2-2ln 20,故h(x)=ex-2x0. 令g(x)= ( e 2)(1) 2 =0,则x=1. 当x(0,1)时, g(x)0. 所以g(x)min=g(1)=e-

38、20,故g(x)=f(x)-2(x-ln x)0,从而有f(x)2(x-ln x).,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,点评 解决此类问题应该注意三个方面:一是在化简所证不等式时,一定要注意等价变形,尤其是两边同乘(除)一个数或式子时,注意该数或式子的符号;二是灵活构造函数,使研究的函数形式简单,便于计算最值;三是在利用导数求解最值时,要注意定义域的限制.另外,在求解不等式问题时,要注意放缩法的灵活应用.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,拓展变式6 设f(x)=ex-a(x+1). (1)若xR,f(x)0恒成立,求正实数a的取值范

39、围; (2)设g(x)=f(x)+ e ,且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)是曲线y=g(x)上任意两点,若对任意的a-1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,解析 (1)因为f(x)=ex-a(x+1),所以f (x)=ex-a. 由题意,得a0.由f (x)=ex-a=0,解得x=ln a. 故当x(-,ln a)时,f (x)0,函数f(x)单调递增. 所以函数f(x)的最小值为f(ln a)=eln a-a(ln a+1)=-aln a. 由题意,若xR,f(x)0恒成立,即f(x)=ex-a(x+

40、1)0恒成立,则-aln a0,又a0,所以-ln a0,解得0a1. 所以正实数a的取值范围为(0,1.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,(2)设x1,x2是任意两个实数,且x1m,得 ( 2 )( 1 ) 2 1 m. 因为x2-x10,所以g(x2)-g(x1)m(x2-x1),即g(x2)-mx2g(x1)-mx1. 因为x1x2,所以函数h(x)=g(x)-mx在R上为增函数. 故h(x)=g(x)-m0恒成立,所以mg(x). 而g(x)=ex-a- e , 因为a-10,所以由均值不等式可得g(x)=ex+ () e -a2 e () e -a=2

41、 -a. 而2 -a=2 + ( ) 2 = ( +1) 2 -13, 所以m的取值范围为(-,3.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,考法6 利用导数解决与函数零点有关的问题,考法指导 导数在研究函数零点中的应用 (1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点,归根到底是研究函数的性质,如单调性、极值等. (2)用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决.,示例7 已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(aR). (1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的

42、切线方程; (2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在 1 e ,e上有两个零点,求实数m的取值范围. 思路分析 (1)求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)利用导数求出函数g(x)在 1 e ,e上的极值和端点值,即可得到结论.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,解析 (1)当a=2时,f(x)=2ln x-x2+2x, 则f (x)= 2 -2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f (1)=2,则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. (2)g(x)=f(x)-ax+m

43、=2ln x-x2+m, 则g(x)= 2 -2x= 2(+1)(1) , x 1 e ,e,由g(x)=0,得x=1.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,当 1 e x0,函数g(x)单调递增, 当10, ( 1 e )=2 1 e 2 0, (e)=+2 e 2 0, 解得1m2+ 1 e 2 . 故实数m的取值范围是(1,2+ 1 e 2 .,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,拓展变式7 已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2有两个零点. (1)当a=1时,求f(x)的最小值; (2)求a的取值范围; (3)设x1,x2是f(

44、x)的两个零点,证明:x1+x20.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,解析 (1)当a=1时,f(x)=(x-1)ex+x2,f(x)=x(ex+2), 令f(x)0,得x0,所以y=f(x)在(0,+)上单调递增, 令f(x)0时,由f(x)0得x0,由f(x)0得x0, 所以f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增, 所以f(x)min=f(0)=-10,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,又f(2)=e2+4a0,取实数b满足b 2 (b-1)+ab2= 2 (b+1)(2b-1)0, 故f(x)存在两个零点. 当

45、a0,故当x(0,ln(-2a)时,f(x)0.因此f(x)在(0,ln(-2a)上单调递减,在(ln(-2a),+)上单调递增. 又当x0时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点. 综上可知a(0,+).,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,(3)不妨设x1f(-x2),即证明f(-x2)0. 由f(x2)=(x2-1) e 2 +a 2 2 =0,得a 2 2 =(1-x2) e 2 , f(-x2)=(-x2-1) e 2 +a 2 2 =(-x2-1) e 2 +(1-x2) e 2 , 令g(x)=(-x-1)e-x+(1-x)ex,x(0,+), g(

46、x)=x(e-x-ex)0,g(x)在(0,+)上单调递减, 又g(0)=0,所以g(x)0, 所以f(-x2)0,即原命题成立.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,考法7 利用导数解最优化问题,考法指导 利用导数解最优化问题的一般步骤如下: (1)抽象出实际问题的数学模型,列出函数关系式y=f(x). (2)求函数f(x)的导数f (x),并解方程f (x)=0,即求函数可能的极值点. (3)比较函数f(x)在区间端点处的函数值和可能极值点处的函数值的大小,得出函数f(x)的最大值或最小值. (4)根据实际问题的意义给出答案.,示例8某山区外围有两条相互垂直的直

47、线形公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线形公路.记两条相互垂直的公路分别为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2,l1所在的直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y= 2 + (其中a,b为常数)模型. (1)求a,b的值; (2)设公路l与曲线C相切于点P,点P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; 当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.,

48、理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,思路分析 (1)由题意得函数y= 2 + 过点(5,40),(20,2.5),列方程组可解出a,b的值;(2)先利用导数的几何意义求出直线l的方程,然后求出直线l与x轴,y轴的交点坐标,从而得到函数f(t)的解析式,由点M,N的横坐标可得出函数f(t)的定义域;构造新函数,利用导数知识求最值即可.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,解析 (1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5), (1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5), 将其分别代入y= 2 +

49、, 得 25+ =40, 400+ =2.5, 解得 =1 000, =0. (2)由(1)知,y= 1 000 2 (5x20),则点P的坐标为(t, 1 000 2 ), 设公路l交x轴,y轴分别于A,B两点,如图所示.,理科数学 第三章：导数及其应用,理科数学 第三章：导数及其应用,因为y=- 2 000 3 , 所以l的方程为y- 1 000 2 =- 2 000 3 (x-t),由此得A( 3 2 ,0),B(0, 3 000 2 ). 故f(t)= ( 3 2 ) 2 +( 3 000 2 ) 2 = 3 2 2 + 41 0 6 4 ,t5,20. 设g(t)=t2+ 41 0 6 4 ,则g(t)=2t- 161 0 6 5 .令g(t)=0,解得t=10 2