高二数学导数单元测试题2.doc

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1、高二数学导数单元测试题(2)一选择题（共12小题）1定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x2b）满足，则称函数f（x）是a，b上的“双中值函数”已知函数f（x）=x3x2+a是0，a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）AB（）C（，1）D（，1）2曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）A，+）B（，+）C（，+）D，+）3设f0（x）=cosx，f1（x）=f0（x），f2（x）=f1（x），fn+1（x）=fn（x）（nN），则f2016（x）=（）Asinx Bsinx Ccosx Dcosx4已知定义在（0，+）上的单调函数f（x），对x（

2、0，+），都有ff（x）log2x=3，则方程f（x）f（x）=2的解所在的区间是（）A（0，） B（1，2） C（，1） D（2，3）5已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），对任意xR满足f（x）+f（x）0，则下列结论正确的是（）A2f（ln2）3f（ln3） B2f（ln2）3f（ln3）C2f（ln2）3f（ln3） D2f（ln2）3f（ln3）6已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f（x），若对任意实数x都有x2f（x）2xf（x），则不等式x2f（x）（3x1）2f（13x）的解集是（）A（，+）B（0，）C（，）D（，）（，+）7已知函数f（x）=x2+c

3、osx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（）ABCD8函数y=x5xex的图象大致是（）A BC D9已知函数f（x）=e|x|，函数g（x）=对任意的x1，m（m1），都有f（x2）g（x），则m的取值范围是（）A（1，2+ln2 B（1，+ln2 Cln2，2） D（2，+ln2）10若函数f（x）=（x1）（x+2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=0对称，则f（x）的最小值为（）A B C D11直线x=t（t0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A1 B C D12已知函数f（x）=ln+，g（x）

4、=ex2，对mR，n（0，+）使得g（m）=f （n）成立，则nm的最小值为（）Aln 2 Bln 2 C23 De23二填空题（共4小题）13已知f（x）=logax（a1）的导函数是f（x），记A=f（a），B=，C=f（a+1），则由导数的几何意义和斜率公式可得A，B，C的大小关系是14已知函数f（x）=x2+f（2）（lnxx），则f（4）=15对于函数f（x）给出定义：设f（x）是函数y=f（x）的导数，f（x）是函数f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+

5、d（a0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数，请你根据上面探究结果，计算=16已知函数f（x）=，无论t取何值，函数f（x）在区间（，+）上总是不单调，则a的取值范围是三解答题（共6小题）17设函数f（x）在x=3处可导，且f（3）=2，且f（3）=2，求的值18（）已知y=，求y（）已知y=x2sin（3x+），求y19已知函数f（x）=x3+ax2a2x1，a0（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）0在1，+）上有解，求实数a的取值范围20已知函数，f（x）=x2+lnxax（）当a=3时，求f（x）的单调区间；（

6、）若f（x）在（0，1）上有极值，求a的取值范围；（）在（）的结论下，设g（x）=1+x|xa|（1x3），求函数g（x）的最大值21已知函数f（x）=x3+x2+b，g（x）=alnx（）若f（x）在x，1）上的最大值为，求实数b的值；（）若对任意x1，e，都有g（x）x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围22设函数f（x）=ax+lnx，g（x）=a2x2；（1）当a=1时，求函数y=f（x）图象上的点到直线xy+3=0距离的最小值；（2）是否存在正实数a，使得不等式f（x）g（x）对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由高二数学导数单元测试题参考答案与试

7、题解析一选择题（共12小题）1定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x2b）满足，则称函数f（x）是a，b上的“双中值函数”已知函数f（x）=x3x2+a是0，a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）AB（）C（，1）D（，1）【分析】根据题目给出的定义可得f（x1）=f（x2）=a2a，即方程3x22x=a2a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围【解答】解：由题意可知，f（x）=x3x2+a，f（x）=3x22x在区间0，a存在x1，x2（ax1x2b），满足f（x1）=f（x2）=a2a，f（x）=x3x2+a，f（x）=3x22x，方程3

8、x22x=a2a在区间（0，a）有两个不相等的解令g（x）=3x22xa2+a，（0xa）则，解得；实数a的取值范围是（，1）故选：C【点评】本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题2曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）A，+）B（，+）C（，+）D，+）【分析】先求导函数，进而可确定导函数的范围，利用导数的几何意义，可求曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围【解答】解：由题意，f（x）=x3x+2，曲线y=x3x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是，故选D【点评】本题以函数为载体，考查导数的几何意义，解题的关键是求导

9、函数，并确定函数的值域3设f0（x）=cosx，f1（x）=f0（x），f2（x）=f1（x），fn+1（x）=fn（x）（nN），则f2016（x）=（）AsinxBsinxCcosxDcosx【分析】求出f1（x）=f0（x）=sinx，f2（x）=f1（x）=cosx，f3（x）=f2（x）=sinx，f4（x）=f3（x）=cosx从第五项开始，fn（x）的解析式重复出现，每4次一循环，由此能求出f2016（x）的值【解答】解：设f0（x）=cosx，f1（x）=f0（x），f2（x）=f1（x），fn+1（x）=fn（x）（nN），f0（x）=cosx，f1（x）=f0（x）=sin

10、x，f2（x）=f1（x）=cosx，f3（x）=f2（x）=sinx，f4（x）=f3（x）=cosx从第五项开始，fn（x）的解析式重复出现，每4次一循环f2016（x）=f4504（x）=f0（x）=cosx，故选：C【点评】本题考查导数性质的应用，是中档题，解题时要认真审，注意三角函数性质的合理运用4已知定义在（0，+）上的单调函数f（x），对x（0，+），都有ff（x）log2x=3，则方程f（x）f（x）=2的解所在的区间是（）A（0，）B（1，2）C（，1）D（2，3）【分析】设t=f（x）log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的

11、值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案【解答】解：根据题意，对任意的x（0，+），都有ff（x）log2x=3，又由f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，则f（x）log2x为定值，设t=f（x）log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f（x）=，将f（x）=log2x+2，f（x）=代入f（x）f（x）=2，可得log2x+2=2，即log2x=0，令h（x）=log2x，分析易得h（1）=0，h（2）=10，则h（x）=l

12、og2x的零点在（1，2）之间，则方程log2x=0，即f（x）f（x）=2的根在（1，2）上，故选：B【点评】本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式5已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），对任意xR满足f（x）+f（x）0，则下列结论正确的是（）A2f（ln2）3f（ln3）B2f（ln2）3f（ln3）C2f（ln2）3f（ln3）D2f（ln2）3f（ln3）【分析】由题意设g（x）=exf（x），求出g（x）后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出g（x）的单调性，由单调性和指数的运算即可得到答案【解答】解：由题

13、意设g（x）=exf（x），则g（x）=exf（x）+exf（x）=exf（x）+f（x），对任意xR满足f（x）+f（x）0，ex0，对任意xR满足g（x）0，则函数g（x）在R上是减函数，ln2ln3，g（ln2）g（ln3），即2f（ln2）3f（ln3），故选：A【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，以及构造法的应用，属于基础题6已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f（x），若对任意实数x都有x2f（x）2xf（x），则不等式x2f（x）（3x1）2f（13x）的解集是（）A（，+）B（0，）C（，）D（，）（，+）【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，

14、可得：f（x）=f（x）对任意正实数x满足xf（x）2f（x），可得：xf（x）+2f（x）0，设g（x）=x2f（x），可得g（x）0可得函数g（x）在（0，+）上单调递增即可得出【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=f（x）对任意正实数x满足xf（x）2f（x），xf（x）+2f（x）0，设g（x）=x2f（x），g（x）=2xf（x）+x2f（x）0函数g（x）在（0，+）上单调递增又g（0）=0，g（x）=x2f（x）=g（x），函数g（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的增函数不等式x2f（x）（3x1）2f（13x）g（x）g（13x），x13x，解得x不等式x2f（

15、x）（3x1）2f（13x）的解集为：（，）故选：C【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7已知函数f（x）=x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（）ABCD【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f（x）=xsinx，由奇函数的定义得函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f（）=sin=10，排除C，只有A适合【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，f（x）=xsinx，f（x）=f（x），故f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f（）=sin=10，排除C，只有A适合，故

16、选：A【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题8函数y=x5xex的图象大致是（）ABCD【分析】利用特殊值法，判断函数的图象即可【解答】解：当x=1时，y=1+0，排除A，C；当x=2时，y=322e232180，排除D，故选：B【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，特殊值法是判断函数的图象的有效方法之一9已知函数f（x）=e|x|，函数g（x）=对任意的x1，m（m1），都有f（x2）g（x），则m的取值范围是（）A（1，2+ln2B（1，+ln2Cln2，2）D（2，+ln2）【分析】在同一坐标系中作出函数f（

17、x）和函数g（x）的图象，数形结合可得满足条件的m的取值范围【解答】解：f（x）=e|x|，f（x2）=e|x2|，在同一坐标系中作出函数f（x）和函数g（x）的图象如下图所示：由图可得：当x=1时，f（x2）=g（x）=e，当x=4时，f（x2）=e2g（x）=4e，当x4时，由f（x2）=ex2g（x）=4e5x得：e2x74，解得：xln2+，对任意的x1，m（m1），都有f（x2）g（x），则m（1，+ln2，故选：B【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，数形结合思想，难度中档，在同一坐标系中画出两个函数的图象是解答的关键10若函数f（x）=（x1）（x+2）（x2+ax+b

18、）的图象关于直线x=0对称，则f（x）的最小值为（）ABCD【分析】根据对称性求出a，b，利用导数研究函数的最值即可【解答】解：函数f（x）=（x1）（x+2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=0对称，f（1）=f（1），f（2）=f（2），即2（1a+b）=0，0=4（4+2a+b），求得b=2，a=1，f（x）=（x1）（x+2）（x2x2 ）=x45x2+4，f（x）=4x310x=2x（2x25）=2x（x）（x+）显然，在（，），（0，）上，f（x）0，f（x）为减函数；在（，0），（，+）上，f（x）0，f（x）为增函数，故当x=时，y=，x=时，y=，函数y取得最小值为，故选：

19、C【点评】本题主要考查函数最值的区间，根据对称性求出a，b的值，利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，综合性较强，难度较大11直线x=t（t0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A1BCD【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值【解答】解：设函数y=f（x）g（x）=x2lnx+1，求导数得y=2x=当0x时，y0，函数在（0，）上为单调减函数，当x时，y0，函数在（，+）上为单调增函数所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，所求t的值为故选B【点评】可以结合两个函数的草

20、图，发现在（0，+）上x2lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值12已知函数f（x）=ln+，g（x）=ex2，对mR，n（0，+）使得g（m）=f （n）成立，则nm的最小值为（）Aln 2Bln 2C23De23【分析】由g（m）=f （n），求出m的表达式，从而得出nm的表达式，设h（x）=，求得导数，求出单调区间和极小值，也为最小值，进而求出nm的最小值【解答】解：根据题意，g（m）=f （n）即em2=ln+，m=2+ln（ln+），nm=n2ln（ln+），=lnen2ln（ln+），=ln，设h（x）=，则h（x）=，令h（x）=0，得ln+=0，由x0，

21、可得ln+递增，当x=2时，h（x）=0，x2时，h（x）0，h（x）递增；0x2时，h（x）0，h（x）递减可得x=2处取得极小值且为最小值h（2）=2，则nm的最小值为ln2故选：B【点评】本题考查了求函数最值的问题，解题的关键是建立目标函数，利用导数求目标函数的最值，是较难的题目二填空题（共4小题）13已知f（x）=logax（a1）的导函数是f（x），记A=f（a），B=，C=f（a+1），则由导数的几何意义和斜率公式可得A，B，C的大小关系是ABC【分析】设M坐标为（a，f（a），N坐标为（a+1，f（a+1），利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C分别为对数函数在M处的斜率，直线M

22、N的斜率及对数函数在N处的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得到正确答案【解答】解：记M（a，f（a），N（a+1，f（a+1），则由于，表示直线MN的斜率； A=f（a）表示函数f（x）=logax在点M处的切线斜率； C=f（a+1）表示函数f（x）=logax在点N处的切线斜率所以ABC故答案为：ABC【点评】此题考查学生会利用导数求过曲线上某点切线的斜率，掌握直线斜率的求法，是一道中档题14已知函数f（x）=x2+f（2）（lnxx），则f（4）=6【分析】f（2）是一个常数，对函数f（x）求导，能直接求出f（2）的值，再求出f（4）【解答】解：f（x）=x2+f（2）（lnxx），f

23、（x）=2x+f（2）（1），f（2）=4+f（2）（1），解得f（2）=，f（4）=8+（1）=82=6，故答案为：6【点评】本题考查了求导法则，解题时应知f（2）是一个常数，根据求导法则进行计算即可，是基础题15对于函数f（x）给出定义：设f（x）是函数y=f（x）的导数，f（x）是函数f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数，请你根据上面探究结果，计算=2016【分析】由题意对已

24、知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1x）=2，即可得到结论【解答】解：由，f（x）=x2x+3，所以f（x）=2x1，由f（x）=0，得x=f（x）的对称中心为（，1），f（1x）+f（x）=2，故设f（）+f（）+f（）+f（）=m，则f（）+f（）+f（）=m，两式相加得22016=2m，则m=2016，故答案为：2016【点评】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键求和的过程中使用了倒序相加法16已知函数f（x）=，无论t取何值，函数f（x）在区间（，+）上总是不单调，则a的取值范围是（，【分析】由f（x）=6x26，xt，知xt

25、时，f（x）=2x36x一定存在单调递增区间，从而要使无论t取何值，函数f（x）在区间（，+）总是不单调，必须有f（x）=（4a3）x+2a4不能为增函数，由此能求出a的取值范围【解答】解：对于函数f（x）=2x36x，f（x）=6x26，xt当6x260时，即x1或x1，此时f（x）=2x36x，为增函数当6x260时，1x1，xt，f（x）=2x36x一定存在单调递增区间要使无论t取何值，函数f（x）在区间（，+）总是不单调f（x）=（4a3）x+2a4不能为增函数4a30，a故a的取值范围是（，故答案为：（，【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能

26、力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题三解答题（共6小题）17设函数f（x）在x=3处可导，且f（3）=2，且f（3）=2，求的值【分析】根据题意，属于“”型，根据根据洛必达法则即可求出结论【解答】解：当f（3）=2时，x3时，2x3f（x）2332=0，x30，属于“”型，根据洛必达法则，=23f（x）=23（2）=8【点评】本题考查了导数的定义和洛必达法则，属于基础题18（）已知y=，求y（）已知y=x2sin（3x+），求y【分析】（）根据导数的运算法则；（）由复合函数的求导法则，y=（x2）sin（3x+）+x2sin（3x+），即可求得y【解答】解：（）（）y=（x2）sin（

27、3x+）+x2sin（3x+），=2xsin（3x+）+x2cos（3x+）（3x+），=2xsin（3x+）+3x2cos（3x+），=2xsin3x3x2cos3x【点评】本题考查导数的运算，考查复合函数求导法则，考查计算能力，属于基础题19已知函数f（x）=x3+ax2a2x1，a0（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）0在1，+）上有解，求实数a的取值范围【分析】（1）由当a=2时，f（x）=x3+2x24x1，求导：f（x）=3x2+4x24=（3x2）（x+2），f（x）=0，解得：x=，x=2，令f（x）0，求得函数的单调递增区间，令f（x）0

28、，求得函数的单调递减区间；（2）由题意可知：f（x）在区间1，+）上的最小值小于等于0，求导f（x）=3x2+2ax222=（3xa）（x+a），令f（x）=0，解得：x1=0，x2=a0，当1，即a3时，由函数的单调性可知：当x=1时取最小值，即f（1）0，即可求得a的取值范围；当1，即a3时，则当x=时，取最小值，f（）=+10，即可求得实数a的取值范围【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=x3+2x24x1，求导：f（x）=3x2+4x24=（3x2）（x+2），令f（x）=0，解得：x=，x=2，由f（x）0，解得：x或x2，由f（x）0，解得：2x，函数f（x）的单调递减区间为

29、（2，），单调递增区间（，2），（，+）；（2）要使f（x）0在1，+）上有解，只要f（x）在区间1，+）上的最小值小于等于0，由f（x）=3x2+2ax222=（3xa）（x+a），令f（x）=0，解得：x1=0，x2=a0，当1，即a3时，f（x）在区间1，+）上单调递增，f（x）在1，+）上的最小值为f（1），由f（1）0，即1+aa210，整理得：a2a0，解得：a1或a0，1a3当1，即a3时，f（x）在区间1，上单调递减，在，+）上单调递增，f（x）在1，+）上最小值为f（），由f（）=+10，解得：a，a3综上可知，实数a的取值范围是1，+）【点评】本题考查导数的综合应用，考查利

30、用导数求函数的单调性及最值，考查导数与不等式的综合应用，考查分类讨论思想，属于中档题20已知函数，f（x）=x2+lnxax（）当a=3时，求f（x）的单调区间；（）若f（x）在（0，1）上有极值，求a的取值范围；（）在（）的结论下，设g（x）=1+x|xa|（1x3），求函数g（x）的最大值【分析】（）通过a=3，求出函数的导数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，直接求f（x）的单调区间；（）求出函数的导数，利用f（x）在（0，1）上有极值，结合判别式，即可求a的取值范围；（）在（）的结论下，对于a3，时，转化函数g（x）=1+x|xa|（1x3），分别求解函数g（x）的最大值【解答】解：

31、（）a=3，x0，由，由，f（x）的增区间是，减区间是（），由已知可得，方程2x2ax+1=0在（0，1）内有解，且0，函数在递减，递增，所以，由0，（）由（）得1当a3时，若，即3a6时，若，即a6时，g（x）max=g（3）=3a82当时，当1xa时，当ax3时，g（x）max=g（3）=3a8，所以，当时，综上可得，【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及最值的求法，难度比较大，考查计算能力转化思想的应用21已知函数f（x）=x3+x2+b，g（x）=alnx（）若f（x）在x，1）上的最大值为，求实数b的值；（）若对任意x1，e，都有g（x）x2+（a+2）x恒成立，求实

32、数a的取值范围【分析】（1）求解导数，利用导函数求极值点，单调区间，判断最值，求出b 的值（2）g（x）x2+（a+2）x转化为另一个函数的最值问题求解，用好分离参数的方法【解答】解：（1）函数f（x）=x3+x2+b，函数f（x）=3x2+2x，f（x）=0得x=0，x=，f（x）0，0； f（x）0，x0或可知：f（x）在x，1）有，0），（，1）是减区间，（0，）是增区间f（）=+b，f（）=+b，可以判断）+b=，b=0所以实数b的值为0（2）任意x1，e，都有g（x）x2+（a+2）x，g（x）=alnxa，设T（x）=，x1，eT（X）=，x1，e，x10，lnx1，x+2lnx0

33、，从而t（x）0，t（x）在1，e上为增函数所以t（x）min=t（1）=1，所以a1【点评】本题考查了导数在最值中的应用，用分离参数，构造函数，解决恒成立问题中参变量的范围问题22设函数f（x）=ax+lnx，g（x）=a2x2；（1）当a=1时，求函数y=f（x）图象上的点到直线xy+3=0距离的最小值；（2）是否存在正实数a，使得不等式f（x）g（x）对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）平移直线xy+3=0当它与函数y=f（x）图象相切时，切点即为函数y=f（x）图象上到直线xy+3=0距离最小的点，此时切线的斜率等于函数y=f（x）在切点处

34、的导数，故求切点坐标可以根据导函数值等于1入手（2）若不等式f（x）g（x）对一切正实数x都成立，我们可以构造函数F（x）=f（x）g（x）将其转化为函数恒成立问题，然后根据导函数求出F（x）的最大值，根据F（x）0恒成立F（x）的最大值0进行求解【解答】解：（1）由f（x）=x+lnx，得，令f（x）=1，得所求距离的最小值即为到直线xy+3=0的距离（2）假设存在正数a，令F（x）=f（x）g（x）（x0），则F（x）max0由得时，F（x）0，F（x）为减函数；当时，F（x）0，F（x）为增函数即a1所以a的取值范围是1，+）【点评】（1）用导数解应用题求最值的一般方法是：求导，令导数等于零；求y=0的根，求出极值点；最后写出解答（2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f（x）=0，且在两侧f（x）的符号各异，一般称为单峰问题，此时该点就是极值点，也是最值点