小学数学知识点例题精讲《比例解行程问题》学生版.pdf

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1、11. 理解行程问题中的各种比例关系.2. 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题比例的知识是小学数学最后一个重要内容,从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色.从一个工具性的知识点而言,比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势,往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上,使得一道看似很难的题目变得简单明了.比例的技巧不仅可用于解行程问题,对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用.我们常常会应用比例的工具分析 2 个物体在某一段相同路线上的运动情况,我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,vvtts s乙乙乙甲甲甲，；来表示,大体可分为以下两种情况：1. 当 2 个物体运行速度在所讨论

2、的路线上保持不变时,经过同一段时间后,他们走过的路程之比就等于他们的速度之比.svtsvt甲甲甲乙乙乙,这里因为时间相同,即ttt乙甲,所以由ssttvv甲乙乙甲乙甲，得到sstvv甲乙乙甲,svsv甲甲乙乙,甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比2. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,走过相同的路程时,2 个物体所用的时间之比等于他们速度的反比.svtsvt甲甲甲乙乙乙,这里因为路程相同,即sss乙甲,由svtsvt乙乙乙甲甲甲，得svtvt乙乙甲甲,vtvt甲乙乙甲,甲乙在同一段路程 s 上的时间之比等于速度比的反比.模块一：比例初步利用简单倍比关系进行解题【例例 1

3、】甲、乙两车从相距 330 千米的 A、B 两城相向而行,甲车先从 A 城出发,过一段时间后,乙车才从B 城出发,并且甲车的速度是乙车速度的56.当两车相遇时,甲车比乙车多行驶了 30 千米,则甲车开出 千米,乙车才出发.【例例 2】甲乙两地相距 12 千米,上午 10：45 一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地,途中,乘客问司机知识精讲知识精讲教学目标教学目标比例解行程问题比例解行程问题2距乙地还有多远,司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的13加上未走路程的 2 倍,恰好等于已走的路程,又知出租车的速度是 30 千米/小时,那么现在的时间是 .【例例 3】上午 8 点 8 分,小明骑自行车从家

4、里出发,8 分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是 8 千米,这时是几点几分?【巩固】 欢欢和贝贝是同班同学,并且住在同一栋楼里早晨 7 : 40 ,欢欢从家出发骑车去学校, 7 : 46 追上了一直匀速步行的贝贝;看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知,欢欢立即调头,并将速度提高到原来的 2 倍,回家换好校服,再赶往学校;欢欢 8 : 00 赶到学校时,贝贝也恰好到学校如果欢欢在家换校服用去 6 分钟且调头时间不计,那么贝贝从家里出发时是几点几分【例例 4】甲、乙两车分别同时从 A、B 两地相对开出,第

5、一次在离 A 地 95 千米处相遇相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次在离 B 地 25 千米处相遇求 A、B 两地间的距离?【巩固】 地铁有 A,B 两站,甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从 A,B 两站同时出发,他们第一次相遇时距 A 站 800 米,第二次相遇时距 B 站 500 米.问：两站相距多远? 3【巩固】 如右图,A,B 是圆的直径的两端,甲在 A 点,乙在 B 点同时出发反向而行,两人在 C 点第一次相遇,在 D 点第二次相遇.已知 C 离 A 有 80 米,D 离 B 有 60 米,求这个圆的周长. 【例例 5】甲、乙两人从相距 490 米的 A、 B 两地

6、同时步行出发,相向而行,丙与甲同时从 A 出发,在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回,遇到甲也立即返回)已知丙每分钟跑 240 米,甲每分钟走 40 米,当丙第一次折返回来并与甲相遇时,甲、乙二人相距 210 米,那么乙每分钟走_米;甲下一次遇到丙时,甲、乙相距_米【巩固】 甲、乙两车同时从 A 地出发,不停地往返行驶于 A、B 两地之间已知甲车的速度比乙车快,并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地甲车的速度是乙车速度的多少倍?【巩固】 甲、乙两人同时A地出发,在A、B两地之间匀速往返行走,甲的速度大于乙的速度,甲每次到达A地、B地或遇到乙都会调头往回走,除此以外,两人在AB之间

7、行走方向不会改变,已知两人第一次相遇的地点距离B地1800米,第三次的相遇点距离B地800米,那么第二次相遇的地点距离B地 .【例例 6】甲、乙两人同时从 A 地出发,在 A、 B 两地之间匀速往返行走,甲的速度大于乙的速度,甲每次到达 A 地、B 地或遇到乙都会调头往回走,除此以外,两人在 A、B 之间行走方向不会改变,已知两人第一次相遇点距离 B 地 1800 米,第三次相遇点距离 B 地 800 米,那么第二次相遇的地点距离 B 地多少米? 4【例例 7】每天早晨,小刚定时离家步行上学,张大爷也定时出家门散步,他们相向而行,并且准时在途中相遇有一天,小刚提早出门,因此比平时早 7 分钟与

8、张大爷相遇已知小刚步行速度是每分钟70 米,张大爷步行速度是每分钟 40 米,那么这一天小刚比平时早出门多少分钟?【例例 8】甲、乙两人步行速度之比是 32,甲、乙分别由 A,B 两地同时出发,若相向而行,则 1 时后相遇.若同向而行,则甲需要多少时间才能追上乙?【例例 9】一辆小汽车与一辆大卡车在一段 9 千米长的狭路上相遇,必须倒车,才能继续通行已知小汽车的速度是大卡车速度的 3 倍,两车倒车的速度是各自速度的15,小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的 4 倍如果小汽车的速度是每小时 50 千米,那么要通过这段狭路最少用多少小时?【例例 10】 一辆货车从甲地往乙地运货,然后空车返回,

9、再继续运货.已知装满货物每时行 50 千米,空车每时行 70 千米.不计装卸货物时间,9 时往返五次.求甲、乙两地的距离.【例例 11】 甲、乙两车往返于 A,B 两地之间.甲车去时的速度为 60 千米时,返回时的速度为 40 千米时;乙5车往返的速度都是 50 千米时.求甲、乙两车往返一次所用时间的比.【例例 12】 甲、乙、丙三辆车先后从 A 地开往 B 地,乙比丙晚出发 5 分,出发后 45 分追上丙;甲比乙晚出发15 分,出发后 1 时追上丙.甲出发后多长时间追上乙?【例例 13】 甲火车 4 分行进的路程等于乙火车 5 分行进的路程.乙火车上午 8：00 从 B 站开往 A 站,开出

10、若干分后,甲火车从 A 站出发开往 B 站.上午 9：00 两列火车相遇,相遇的地点离 A,B 两站的距离的比是 1516.甲火车从 A 站发车的时间是几点几分?【例例 14】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段,各段路程的长度之比是 123,某人走这三段路所用的时间之比是 456.已知他上坡时每小时行 2.5 千米,路程全长为 20 千米.此人走完全程需多长时间?【巩固】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段,各段路程的长度之比是 235,某人骑车走这三段路所用的时间之比是 654.已知他走平路时速度为 4.5 千米时,全程用了 5 时.问：全程多少千米?【巩固】 甲、乙两列火车的速度比是 54.

11、乙车先从 B 站开往 A 站,当走到离 B 站 72 千米的地方时,甲车从 A 站发车开往 B 站.如果两列火车相遇的地方离 A,B 两站距离的比是 34,那么 A,B 两站之间的距离为多少千米?【巩固】 大、小客车从甲、乙两地同时相向开出,大、小客车的速度比为 45,两车开出后 60 分相遇,并继续前进.问：大客车比小客车晚多少分到达目的地?6【例例 15】 从甲地到乙地全部是山路,其中上山路程是下山路程的23.一辆汽车上山速度是下山速度的一半,从甲地到乙地共行 7 时.这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间?【例例 16】 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去,出发后 6 分甲车超过

12、了一名长跑运动员,2 分后乙车也超过去了,又过了 2 分丙车也超了过去.已知甲车每分走 1000 米,乙车每分走 800 米,丙车每分钟走多少米?【例例 17】 甲、乙两人都从 A 地经 B 地到 C 地.甲 8 点出发,乙 8 点 45 分出发.乙 9 点 45 分到达 B 地时,甲已经离开 B 地 20 分.两人刚好同时到达 C 地.问：到达 C 地时是什么时间?【例例 18】 甲、乙两车先后以相同的速度从 A 站开出,10 点整甲车距 A 站的距离是乙车距 A 站距离的三倍,10 点 10 分甲车距 A 站的距离是乙车距 A 站距离的二倍.问：甲车是何时从 A 站出发的?【例例 19】

13、某人沿公路前进,迎面来了一辆汽车,他问司机：“后面有骑自行车的人吗?”司机回答：“10分前我超过一个骑自行车的人.”这人继续走了 10 分,遇到了这个骑自行车的人.如果自行车的速度是人步行速度的三倍,那么汽车速度是人步行速度的多少倍?【例例 20】 兄弟两人骑马进城,全程 51 千米.马每时行 12 千米,但只能由一个人骑.哥哥每时步行 5 千米,弟弟每时步行 4 千米.两人轮换骑马和步行,骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马的时间忽略不计）,然后独自步行.而步行者到达此地,再上马前进.若他们早晨 6 点动身,则何时能同时到达城里?模块二：时间相同速度比等于路程比【例例 21】 A、 B 两

14、地相距 7200 米,甲、乙分别从 A, B 两地同时出发,结果在距 B 地 2400 米处相7遇如果乙的速度提高到原来的 3 倍,那么两人可提前 10 分钟相遇,则甲的速度是每分钟行多少米?【例例 22】 甲、乙分别从 A,B 两地同时相向出发.相遇时,甲、乙所行的路程比是 ab.从相遇算起,甲到达B 地与乙到达 A 地所用的时间比是多少?【巩固】 甲、乙两辆车分别同时从 A, B 两地相向而行,相遇后甲又经过 15 分到达 B 地,乙又经过 1 时到达 A 地,甲车速度是乙车速度的几倍?【巩固】 A,B 两地相距 1800 米,甲、乙二人分别从 A,B 两地同时出发,相向而行.相遇后甲又走

15、了 8 分到达 B 地,乙又走了 18 分到达 A 地.甲、乙二人每分钟各走多少米?【例例 23】 甲、乙两人分别从AB、两地同时出发,相向而行.出发时他们的速度之比是 3：2,相遇后,甲的速度提高 20%,乙的速度提高13,这样当甲到达B地时,乙离A地还有 41 千米,那么AB、两地相遇_千米.【例例 24】 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发,相向而行,甲、乙的速度之比是 4 : 3,二人相遇后继续行进,甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回,已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30 千米,则 A、 B 两地相距多少千米?8【巩固】 甲、乙两车分别从 A、B 两地出

16、发,在 A、B 之间不断往返行驶,已知甲车的速度是乙车的速度的37,并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米,那么,A、B 两地之间的距离等于多少 千米? 【例例 25】 B 地在 A,C 两地之间甲从 B 地到 A 地去送信,甲出发 10 分后,乙从 B 地出发到 C 地去送另一封信,乙出发后 10 分,丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了,于是他从 B 地出发骑车去追赶甲和乙,以便把信调过来已知甲、乙的速度相等,丙的速度是甲、乙速度的 3 倍,丙从出发到把信调过来后返回 B 地至少要用多少时间.【例例 26】 甲、乙两人

17、同时从 A、 B 两点出发,甲每分钟行 80 米,乙每分钟行 60 米,出发一段时间后,两人在距中点的 C 处相遇;如果甲出发后在途中某地停留了 7 分钟,两人将在距中点的 D 处相遇,且中点距 C 、 D 距离相等,问 A、 B 两点相距多少米?【例例 27】 如图 3,甲、乙二人分别在 A、B 两地同时相向而行,于 E 处相遇后,甲继续向 B 地行走,乙则休息了 14 分钟,再继续向 A 地行走.甲和乙到达 B 和 A 后立即折返,仍在 E 处相遇,已知甲分钟行走60 米,乙每分钟行走 80 米,则 A 和 B 两地相（）米.图 3【例例 28】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发,

18、相向而行出发时,甲、乙的速度之比是 5 : 4,相遇后甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%这样当甲到达 B 地时,乙离 A 地还有 10 千米那么 A、B 两地相距多少千米?【例例 29】 早晨,小张骑车从甲地出发去乙地下午 1 点,小王开车也从甲地出发,前往乙地下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米下午 3 点时,两人之间的距离还是 l5 千米下午 4 点时小9王到达乙地,晚上 7 点小张到达乙地小张是早晨几点出发?【例例 30】 从甲地到乙地,需先走一段下坡路,再走一段平路,最后再走一段上坡路.其中下坡路与上坡路的距离相等.陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时,其中第一小时比第二

19、小时多走 15 千米,第二小时比第三小时多走 25 千米.如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米,走下坡路比走平路每小时快 15 千米.那么甲乙两地相距多少千米? 【例例 31】 甲、乙两班学生到离校 24 千米的飞机场参观,但只有一辆汽车,一次只能乘坐一个班的学生为了尽快到达飞机场,两个班商定,由甲班先坐车,乙班先步行,同时出发,甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场,汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生如果甲、乙两班学生步行速度相同,汽车速度是他们步行速度的 7 倍,那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生,才能使两班同时到达飞机场?【巩固】 小明和小光同时从解放军营地回校执

20、行任务,小光步行速度是小明的43倍,营地有一辆摩托车,只能搭乘一人,它的速度是小明步行速度的 16 倍.为了使小光和小明在最短时间内到达,小明和小光需要步行的距离之比是多少?【例例 32】 自行车队出发 12 分后,通信员骑摩托车去追他们,在距出发地点 9 千米处追上了自行车队,然后通信员立即返回出发点,到达后又返回去追自行车队,再追上时恰好离出发点 18 千米.自行车队和摩托车每分各行多少千米?10【例例 33】 B 地在 A,C 两地之间.甲从 B 地到 A 地去,甲出发后 1 时乙从 B 地出发到 C 地,乙出发后 1 时丙突然想起要通知甲、乙一件重要事情,于是从 B 地出发骑车去追赶甲

21、和乙.已知甲、乙的速度相等,丙的速度是甲、乙速度的 3 倍,为使丙从 B 地出发到最终赶回 B 地所用时间最少,丙应当先追甲再返回追乙,还是先追乙再返回追甲?【例例 34】 甲、乙两车分别从 A,B 两地同时相向开出,4 时后两车相遇,然后各自继续行驶 3 时,此时甲车距B 地 10 千米,乙车距 A 地 80 千米.问：甲车到达 B 地时,乙车还要经过多少时间才能到达 A 地?【例例 35】 甲乙两车分别从 A、B 两地同时相向开出,甲车的速度是 50 千米/时,乙车的速度是 40 千米/时,当甲车驶过 A、B 距离的13多 50 千米时,与乙车相遇.A、B 两地相距_千米.模块三：路程相同

22、速度比等于时间的反比【例例 36】 明明每天早上 7：00 从家出发上学,7：30 到校.有一天,明明 6：50 就从家出发,他想：“我今天出门早,可以走慢点.”于是他每分钟比平常少走 lO 米,结果他到校时比往常迟到了 5 分钟.明明家离学校_米.【巩固】 小红从家步行去学校如果每分钟走 120 米,那么将比预定时间早到 5 分钟：如果每分钟走 90米,则比预定时间迟到 3 分钟,那么小红家离学校有多远?11【例例 37】 甲、乙、丙三只蚂蚁从 A、B、C 三个不同的洞穴同时出发,分别向洞穴 B、C、A 爬行,同时到达后,继续向洞穴 C、A、B 爬行,然后返回自己出发的洞穴.如果甲、乙、丙三

23、只蚂蚁爬行的路径相同,爬行的总距离都是 7.3 米,所用时间分别是 6 分钟、7 分钟和 8 分钟,蚂蚁乙从洞穴 B 到达洞穴 C 时爬行了（ ）米,蚂蚁丙从洞穴 C 到达洞穴 A 时爬行了（ ）米.【例例 38】 在一圆形跑道上,甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行,6 分后两人相遇,再过 4 分甲到达 B 点,又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分?【例例 39】 上午 8 点整,甲从 A 地出发匀速去 B 地,8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A 地的乙相遇;相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍,乙速度不变;8 点 30 分,甲、乙两人同时到达各自的目的地那么,

24、乙从 B 地出发时是 8 点几分【例例 40】 小芳从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路,一半下坡路小芳上学走这两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的 1.6 倍,那么上坡的速度是平路速度的多少倍?【例例 41】 一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时,然后以原速的34前进,最终到达目的地晚 1.5 小时若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时,然后同样以原速的34前进,则到达目的地仅晚 1 小时,那么整个路程为多少公里?【巩固】 王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速即比原计划的速度提高了 1/9,结果提前一个半小时12到达;返回时,

25、按原计划的速度行驶 280 千米后,将车速提高 1/6,于是提前 1 小时 40 分到达北京北京、上海两市间的路程是多少千米?【巩固】 一辆车从甲地开往乙地,如果把车速提高 20,那么可以比原定时间提前 1 时到达;如果以原速行驶 100 千米后再将车速提高 30,那么也比原定时间提前 1 时到达.求甲、乙两地的距离.【巩固】 一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高 20%可以提前 1 小时到达如果按原速行驶一段距离后,再将速度提高 30% ,也可以提前 1 小时到达,那么按原速行驶了全部路程的几分之几?【巩固】 一辆汽车按计划行驶了1小时,剩下的路程用计划速度的35继续行驶,到达目的地的时间比

26、计划的时间迟了 2 时.如果按计划速度行驶的路程再增加 60 千米,那么到达目的地的时间比计划时间只迟 1 时.问：计划速度是多少?全程有多远?模块四、比例综合题【例例 42】 自行车轮胎安装在前轮上行驶 5000 千米后报废,若安装在后轮上只能行驶 3000 千米.为行驶尽可能多的路,如果采用当自行车行驶一定路程后将前后轮胎调换的方法,那么安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米?13【例例 43】 1998 年夏天长江洪水居高下不,8 月 22 日武汉关水位高达 2932 米,已知武汉离长江入海口 1125千米,而九江离武汉关 269 千米.假设从武汉到入海口的长江江面搬相同,请计算当天

27、九江的水位是多少米.(取二位小数)【例例 44】 甲、乙两人同时从 A 地出发到 B 地,经过 3 小时,甲先到 B 地,乙还需要 1 小时到达 B 地,此时甲、乙共行了 35 千米求 A, B 两地间的距离【例例 45】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍,而且甲比乙速度快.两人出发后 1 小时,甲与乙在离山顶 600 米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好到半山腰.那么甲回到出发点共用多少小时? 【例例 46】 如图 5,甲、乙两地相距 360 千米,一辆卡车载有 6 箱药品,从甲地开往乙地,同时,一辆摩托车从乙地出发,与卡车相向

28、而行,卡车速度是 40 千米/小时,摩托车速度是 80 千米/小时.摩托车与卡车相遇后,从卡车上卸下 2 箱药品运回乙港.摩托车到达乙地卸下药品后,又立即掉头摩托车每次与卡车相遇,都从卡车上卸下 2 箱药品运回乙地,那么将全部的 6 箱药品都运送到乙地至少需要多少时间?这时摩托车一共行驶了多少路程?【例例 47】 A,B 两地相距 125 千米,甲、乙二人骑自行车分别从 A,B 两地同时出发,相向而行丙骑摩托车14以每小时 63 千米的速度,与甲同时从 A 出发,在甲、乙二人间来回穿梭(与乙相遇立即返回,与甲相遇也立即返回)若甲车速度为每小时 9 千米,且当丙第二次回到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处),甲、乙二人相距 45 千米问：当甲、乙二人相距 20 千米时,甲与丙相距多少千米?【例例 48】 一座石台的下底面是边长为 10 米的正方形,它的一个顶点 A 处有一个虫子巢穴,虫甲每分爬 6厘米,虫乙每分爬 10 厘米,甲沿正方形的边由 ABCDA 不停的爬行,甲先爬行 2 厘米后,乙沿甲爬行过的路线追赶甲,当乙遇到甲后,乙就立即沿原路返回巢穴,然后乙再沿甲爬行过的路线追赶甲在甲爬行的一圈内,乙最后一次追上甲时,乙爬行了多长时间?