小学数学知识点例题精讲《中国剩余定理及余数性质拓展》教师版.pdf

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1、11. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想,并灵活运用一、中国剩余定理中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?”答曰：“二十三.”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”.韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每 3 人一列余 1人、5 人一列余 2 人、7 人一列余 4 人、13 人一列余 6 人.刘邦茫然而不知其数. 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万,每 5 人一列、9 人一列、13 人一列、17

2、 人一列都剩 3 人,则兵有多少?首先我们先求 5、9、13、17 之最小公倍数 9945（注：因为 5、9、13、17 为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加 3,得 9948（人）. 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理.中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位. （2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位,他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数,三三数之剩二,五

3、五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知 ”这首诗就是解答此类问题的金钥匙,它被世界各国称为“中国剩余定理” （Chinese Remainder Theorem）,是我国古代数学的一项辉煌成果诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀,是说除以 3 所得的余数用 70 乘 五树梅花廿一枝,是说除以 5 所得的余数用 21 乘 七子团圆正月半,是说除以 7 所得的余数用 15 乘除百零五便得知,是说把上面乘得的 3 个积加起来,减去 105 的倍数,减得差就是所求的数此题的中国剩余定理的解法是：

4、用 70 乘 3 除所得的余数,21 乘 5 除所得的余数,15 乘 7 除所得的余数,把这 3 个结果加起来,如果它大于 105,则减去 105,所得的差如果仍比 105 大,则继续减去 105,最后所得的整数就是所求也就是2703212 15233 ,233 105128,12810523为什么 70,21,15,105 有此神奇效用?70,21,15,105 是从何而来?先看 70,21,15,105 的性质：70 被 3 除余 1,被 5,7 整除,所以 70a 是一个被 3 除余 a 而被 5 与 7 整除的数;21 是 5 除余 1,被 3 与 7 整除的数,因此 21b 是被 5

5、 除余 b,被 3 与 7 整除的数;同理 15c 是被 7除余 c,被 3、5 整除的数,105 是 3,5,7 的最小公倍数也就是说,702115abc是被 3 除余 a,被 5 除余 b,被 7 除余 c 的数,这个数可能是解答,但不一定是最小的,因此还要减去它们的公倍数了解了“剩余定理”的秘密后,对类似于上面的题目,我们都可以用中国剩余定理来解答知识点拨知识点拨教学目标教学目标5-5-4.5-5-4.中国剩余定理中国剩余定理及余数性质拓展及余数性质拓展2二、核心思想和方法对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以孙子算经中的问题为例,分析此方法:今有

6、物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?题目中我们可以知道,一个自然数分别除以 3,5,7 后,得到三个余数分别为 2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以 3 余 1,并且还是 5 和 7 的公倍数.先由5735,即 5 和 7 的最小公倍数出发,先看 35 除以 3 余 2,不符合要求,那么就继续看 5 和 7 的“下一个”倍数35270是否可以,很显然 70 除以 3 余 1类似的,我们再构造一个除以 5 余 1,同时又是 3 和 7 的公倍数的数字,显然 21 可以符合要求.最后再构造除以 7 余 1,同时又是 3,5 公倍数的数字,45

7、符合要求,那么所求的自然数可以这样计算：2703212453,5,72333,5,7kk ,其中 k 是自然数.也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数.例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,那么我们可以计算2703212452 3,5,723 得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的 23 加上3,5,7即可,即 23+105=128.模块一、余数性质综合【例例 1】 1】 一个数除以 3 的余数是 2,除以 5 的余数是 1,则这个数除以 15 的余数是 .【考点】余数性质综合 【难

8、度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯,4 年级,初赛,8 题【解析】除以 3 余2的数有：2、5、8、11、14除以 5 余 1 的数有：1、6、11、16、21观察得到符合条件的答案是 11【答案】11【例例 2】 2】 有一群猴子正要分 56 个桃子每只猴子可以分到同样个数的桃子.这时又窜来 4 只猴子.只好重新分配,但要使每只猴子分到同样个数的桃子,必须扔掉一个桃子则最后每只猴子分到桃子_个.【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯,六年级,初赛,第 19 题,6 分【解析】56 的约数有：1、2、4、7、8、14、28、56, 55 的约数有：1、5、11

9、、55,其中只有 11=7+4,所以原来有 7 只猴,后来有 11 只猴,每只猴子分到 5511=5 个.【答案】5【巩固巩固巩固】一群猴子分桃,桃子共有 56 个,每只猴子可以分到同样多的桃子.但在它们正要分桃时,又来了 4 只猴子,于是重新分配这些桃子,结果每只猴子分到的桃子数量相同,那么最后每只猴子分到 个桃子.【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第 7 题,4 分【解析】56 的因数有 1,2,4,7,8,14,28,56,其中只有 4 和 8 相差 4,所以最后有猴子 8 只,每只猴子分到5687 个桃子.【答案】7【例例 3】 3】 一

10、个小于 200 的数,它除以 11 余 8,除以 13 余 10,这个数是几?【考点】余数性质综合 【难度】3 星 【题型】解答【解析】根据总结,我们发现这两个除数与余数的差都等于118=13 10=3,观察发现这个数加上 3 后就能同例题精讲例题精讲3时被 11 和 13 整除,所以11、13=143,所以这个数是 143-3=140.【答案】140【巩固巩固巩固】不足 100 名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组 5 人,其他人按 8 人一组围在外圈;另一种是中间一组 8 人,其他人按 5 人一组围在外圈.问最多有多少名同学?【考点】余数性质综合 【难度】3 星 【题型】填空【关键词

11、】华杯赛,初赛,第 10 题【解析】此题实际是一个不足 100 的整数,减去 5 能被 8 整除,即除以 8 余 5,减去 8 能被 5 整除,即除以 5 余3,求其最大值.13 除以 8 余 5,除以 5 余 3,8 和 5 的最小公倍数为 40,1324093,为满足条件的整数,即最多有 93 名同学.【答案】93【例例 4】 4】 5 年级 3 班同学上体育课,排成 3 行少 1 人,排成 4 行多 3 人,排成 5 行少 1 人,排成 6 排多 5 人,问上体育课的同学最少_人.【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】小数报,初赛【解析】题意相当于：除以 3 余 2

12、,除以 4 余 3,除以 5 余 4,除以 6 余 5,这样我们根据总结知道都只能“凑缺”,所以都缺 1,这样班级人数就是3、4、5、6-1=60-1=59 人.【答案】59【巩固巩固巩固】有一个自然数,除以 2 余 1,除以 3 余 2,除以 4 余 3,除以 5 余 4,除以 6 余 5,则这个数最小是 .【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】华杯赛,五年级,决赛,第 7 题,10 分【解析】这个数加 1 能同时被 2,3,4,5,6 整除,而 2,3,4,5,6=60【解析】 所以这个数最小是 601=59.【答案】59【巩固巩固巩固】n除以2余1,除以3余2,除以

13、4余3,除以5余4,除以16余15.n最小为 .【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】走美杯,5 年级,决赛,第 1 题,8 分【解析】n加上1后变成116的公倍数,所以1n 最小为16957 11 13720720 ,n最小为720719.【答案】720719【巩固巩固巩固】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动,若 1 人拿 3 个动物小玩具,则最后余下 2 个动物小玩具;若 1 人拿 4 个动物小玩具,则最后余下 3 个动物小玩具;若 1 人拿 5 个动物小玩具,则最后余下 4 动物小玩具.那么这次活动中小朋友至少拿了_个动物小玩具.【考点】余数性质综合 【难度】2

14、星 【题型】填空【关键词】学而思杯,3 年级,第 9 题【解析】那么再加一个玩具,玩具总数就能同时被3,4,5整除,能同时被3,4,5整除最小整数位60.所以这次活动小朋友至少拿了59个玩具.【答案】59【巩固巩固巩固】小朋友们做游戏,若 3 人分成一组,则最后余下 2 人;若 4 人分成一组,则最后余下 3 人;若 5 人分成一组,则最后余下 4 人.那么一起做游戏的小朋友至少有 人.【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第 15 题,6 分【解析】这个数除以 3 余 2,除以 4 余 3,除以 5 余 4,那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、

15、4、5,345=60,那么小朋友至少 59 人【答案】594【例例 5】 5】 一个自然数被 7,8,9 除的余数分别是 1,2,3,并且三个商数的和是 570,求这个自然数【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】解答【解析】这个数被 7,8,9 除的余数分别是 1,2,3,所以这个数加上 6 后能被 7,8,9 整除,而7,8,9504,所以这个数加上 6 后是 504 的倍数由于这个数被 7,8,9 除的三个商数的和是 570,那么这个数加上 6后被被 7,8,9 除的三个商数的和是5701 1 1573 ,而504950485047787989191 ,573 1913,所以这个数

16、加上 6 等于 504 的 3 倍,这个数是504361506 【答案】1506【例例 6】 6】 数 119 很奇特：当被 2 除时,余数为 1;当被 3 除时,余数为 2;当被 4 除时,余数为 3;当被 5 除时,余数为 4;当被 6 除时,余数为 5问：具有这种性质的三位数还有几个?【考点】余数性质综合 【难度】3 星 【题型】解答【解析】1,2,3,4,5,660三位数中 60 的倍数 15 个所以,除了 119 外,还有15114 （个） 【答案】14【巩固巩固巩固】有一批图书总数在 1000 本以内,若按 24 本书包成一捆,则最后一捆差 2 本;若按 28 本书包成一捆,最后一

17、捆还是差 2 本书;若按 32 本包一捆,则最后一捆是 30 本那么这批图书共有本【考点】余数性质综合 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,六年级,初赛,3 题【解析解析解析】由题意可知,这批书如果再多2本,那么按24本,28本,32本一捆全书时,都将恰好分成整数本.所以这批书的本数加上2之后是24,28,32的公倍数,而24,28,32672,所以这批书的本数是6722k (k是整数).由于这批书少于1000本,所以k只能为1,这批书有670本.【答案】670本【例例 7】 7】 某个自然数除以 2 余 1,除以 3 余 2,除以 4 余 1,除以 5 也余 1,则这个数最小是 .

18、【考点】余数性质综合 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,初赛,第 5 题,6 分【解析】除以 2 余 1,除以 4 余 1,除以 5 余 1 的最小的数减去 1 能被 2、4、5 整除,所以,所以这个数可以表示为 20n+1,n 是自然数,所以 20n+1 中除以 3 余 2 的最小数是 41.【答案】41【例例 8】 8】 一个大于 10 的自然数,除以 5 余 3,除以 7 余 1,除以 9 余 8,那么满足条件的自然数最小为多少?【考点】余数性质综合 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】根据总结,我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718 ,这样我们可以

19、把余数都处理成 8,即一个数除以 5 余 3 相当于除以 5 余 8,除以 7 余 1 相当于除以 7 余 8,所以可以看成这个数除以 5、7、9 的余数都是 8,那么它减去 8 之后是 5、7、9 的公倍数而5,7,9315,所以这个数最小为3158323【答案】323【巩固巩固巩固】一个大于 10 的数,除以 3 余 1,除以 5 余 2,除以 11 余 7,问满足条件的最小自然数是多少?【考点】余数性质综合 【难度】4 星 【题型】解答【解析】法一：仔细分析可以发现321527 ,所以这个数可以看成被 3、5、11 除余 7,由于3,5,11165,所以这个数最小是1657172法二：事

20、实上,如果没有“大于 10”这个条件,7 即可符合条件,所以只需要在 7 的基础上加上3、5、11 的最小公倍数,得到 172 即为所求的数【答案】172【例例 9】 9】a是一个三位数.它的百位数字是 4,9a 能被 7 整除,7a 能被 9 整除,问a是多少? 5【考点】余数性质综合 【难度】4 星 【题型】解答【解析解析解析】9a 能被 7 整除,说明972aa能被 7 整除;7a 能被 9 整除,说明792aa能被 9 整除;7963,则63261符合上述两个条件.(因63261,则a可以写成这样的形式：63 ? 61a ).又a是一个百位数字是 4 的三位数,估算知,63 66143

21、9a .【答案】439【例例 10】 10】一个八位数,它被 3 除余 1,被 4 除余 2,被 11 恰好整除,已知这个八位数的前 6 位是 257633,那么它的后两位数字是_.【考点】余数性质综合 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】101 中学,入学测试 【解析】设后面这个两位数为 ab,前面数字和为 26 除以 3 余 2,所以补上的两位数数字和要除以 3 余 2.同理要满足除以 4 余 2;八位数中奇数位数字和为（2+7+3+a）,偶数位数字和为（5+6+3+b）这样要求a=b+2,所以满足条件的只有 86.【答案】86模块二、中国剩余定理【例例 11】 11】“民间流传着一则

22、故事韩信点兵 秦朝末年,楚汉相争一次,韩信将 1500 名将士与楚王大将李锋交战苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人忽有后军来报,说有楚军骑兵追来,韩信便急速点兵迎敌他命令士兵 3 人一排,结果多出 2 名;接着命令士兵 5 人一排,结果多出 3 名;他又命令士兵 7 人一排,结果又多出 2 名韩信马上向将士们宣布：我军有 1073 名勇士,敌人不足五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人 ”根据故事中的条件,你能算出韩信有多少将士么? 【考点】中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】解答【分析】也就是说：一个自然数在 1000 和 1100 之间,除以 3 余 2,除以 5 余

23、 3,除以 7 余 2,求符合条件的数方法一：先列出除以 3 余 2 的数：2,5,8,11,14,17,20,23,26,; 再列出除以 5 余 3 的数：3,8,13,18,23,28,这两列数中,首先出现的公共数是 8 3 与 5 的最小公倍数是 15两个条件合并成一个就是815整数,列出这一串数是 8,23,38,再列出除以 7 余 2 的数 2,9,16,23,30,就得出符合题目条件的最小数是 23而3,5,7105,我们就把题目转化为：求1000 1100之间被 105 除余 23 的数韩信有105 10231073（个）将士方法二：我们先找出被 3 除余 2 的数：2,5,8,

24、11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,44;被 5 除余 3 的数：3,8,13,18,23,28,33,38,43,48,53,58;被 7 除余 2 的数：2,9,16,23,32,37,44,51三个条件都符合的最小的数是 23,以后的是一次加上 3,5,7 的公倍数,直到加到 1000 和1100 之间结果是23105 101073具体到实际的做题过程中时,从较大的除数开始做会方便一些方法三：利用程大位的解法,将题目转化为：求 233 加上 105 的倍数在1000 1100之间的数通过尝试可以求出这个数是233105 81073【答案】1073【例例 12

25、】 12】一个数除以 3 余 2,除以 5 余 3,除以 7 余 4,问满足条件的最小自然数_.【考点】中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】填空【解析】方法一、根据总结,我们发现前面两种都不符合,所以我们只能用最普遍的“中国剩余定理”： 3、5 的公倍数 3、7 的公倍数 5、7 的公倍数 15 21 35 30 42 70 45 63 105 60 84 140 找出除以 7 余 4 的 除以 5 余 3 除以 3 余 26可以找出分别是：60 63 35 可见 60+63+35=158 满足我们的条件,但不是最小的自然数,处理方法就是减去最小公倍数的若干倍,使结果在最小公倍数之内.所以答

26、案为：158-105=53. 方法二：逐步构造符合条件的最小自然数,首先求符合后面两个条件的最小自然数,依次用 7 的倍数加 4,当 4 被加上两个 7 时得到 18,恰好除以 5 余 3,此时符合后两个条件;再依次用 7 和 5 的最小公倍数的倍数加 18,当 18 被加上 1 个 35 个,得到 53,检验符合三个条件所以所求的最小自然数就是 53.【答案】53【例例 13】 13】一个自然数在 1000 和 1200 之间,且被 3 除余 1,被 5 除余 2,被 7 除余 3,求符合条件的数【考点】中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】方法 1：中国剩余定理 3、5 的公倍

27、数 3、7 的公倍数 5、7 的公倍数 15 21 35 30 42 70 45 63 105 60 84 140 找出除以 7 余 3 的 除以 5 余 2 除以 3 余 1可以找出分别是：45 42 70 可见 45+42+70=157 满足我们的条件,但不是 1000 到 1200 之间的数,处理方法就是加上最小公倍数的若干倍,使结果在最小公倍数之内.所以答案为：105 10521102. 方法 2：我们先找出被 3 除余 1 的数：1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,;被 5 除余 2 的数：2,7,12,17,22,2

28、7,32,37,42,47,52,57,;被 7 除余 3 的数：3,10,17,24,31,38,45,52,;三个条件都符合的最小的数是 52,其后的是一次加上 3、5、7 的最小公倍数,直到加到 1000 和1200 之间结果是105 10521102方法 3：先列出除以 3 余 1 的数：1,4,7,10,13,16,;再列出除以 5 余 2 的数：2,7,12,17,22,27,;这两列数中,首先出现的公共数是 73 与 5 的最小公倍数是 15两个条件合并成一个就是715整数,列出这一串数是 7,22,37,52,;再列出除以 7 余 3 的数：3,10,17,24,31,38,4

29、5,52,;就得出符合题目条件的最小数是 52事实上,我们已把题目中三个条件合并成一个：被 105 除余 52那么这个数在 1000 和 1200 之间,应该是105 10521102方法 4：设这个自然数为a,被 3 除余 1,被 5 除余 2,可以理解为被 3 除余321,被 5 除与52,所以满足前面两个条件的157am (m为自然数),只需157m 除以 7 余 3,即15m除以 7 余 3,而15721 ,只需 m 除以 7 余 3,m 最小为 3,所以满足三个条件的最小自然数为3 15752,其后的是一次加上 3、5、7 的最小公倍数,直到加到 1000 和 1200 之间结果是1

30、05 10521102【答案】1102【例例 14】 14】一个数除以 3、5、7、11 的余数分别是 2、3、4、5,求符合条件的最小的数 【考点】中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】法一：将 3、5、7、11 这 4 个数 3 个 3 个一起分别计算公倍数,如表：3、5、7 的公倍数中被 11 除余 5 的数不太好找,但注意到 210 除以 11 余 1,所以721051050 被 11 除余 5,由此可知77069316510502678是符合条件的一个值,但不是最小值,还需要减去 3、5、7、11 的公倍数使得它小于它们的最小公倍数由于3、5、7、11 的最小公倍数是 1

31、155,所以267811552368是符合条件的最小值法二：对于这种题目,也可以先求满足其中 3 个余数条件的,比如先求满足除以 3、5、7 的余数分别是 2、3、4 的,既可采用中国剩余定理,得到70221 3154263 是满足前 3 个余数条件的,从而其中最小的是263 105253;由于 53 除以 11 的余数为 9,105 除以 11 的余数为6,可知96327除以 11 的余数为 5,所以53105 3368是满足条件的最小数也可以直接观察发现这个数乘以 2 之后除以 3、5、7 的余数分别是 4、6、8,也就是除以 3、5、7的余数都是 1,所以满足前三个条件的数最小为(3 5

32、71)253 ,后面的步骤与上面的解法相同【答案】53【例例 15】 15】有连续的三个自然数a、1a 、2a ,它们恰好分别是 9、8、7 的倍数,求这三个自然数中最小的数至少是多少?【考点】中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】法一：由1a 是 8 的倍数,得到a被 8 除余 7,由2a 是 7 的倍数,得到a被 7 除余 5,现在相当于一个数a除以 9 余 0,除以 8 余 7,除以 7 余 5.运用中国剩余定理求a (用逐步满足的方法也可以)7 和 8 的公倍数中除以 9 余 1 的最小为 280;7 和 9 的公倍数中除以 8 余 1 的最小是 441;8 和 9 的公倍

33、数中除以 7 余 1 的最小是 288,根据中国剩余定理,2800441 728854527符合各个余数条件,但 4527 不是最小的,还需要减去 7、8、9 的公倍数,可知452778 98495 是满足各个余数条件的最小值,所以a至少是 495法二：仔细观察,可知由于a、1a 、2a 恰好分别是 9、8、7 的倍数,那么9a 、18a 、27a 也分别是 9、8、7 的倍数,即9a 是 9、8、7 的公倍数,那么9a 的最小值是9 87504 ,即a至少是5049495【答案】495模块三、余数性质的拓展应用新中国剩余定理【例例 16】 16】有一个数,除以 3 余 2,除以 4 余 1,

34、问这个数除以 12 余几?【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】首师大附中,分班考试【解析】方法一：除以 3 余 2 的数有：2,5,8,11,14,17,20,23,;它们除以 12 的余数是：2,5,8,11,2,5,8,11,;除以 4 余 1 的数有：1,5,9,13,17,21,25,29,;它们除以 12 的余数是：1,5,9,1,5,9,;一个数除以 12 的余数是唯一的上面两行余数中,只有 5 是共同的,因此这个数除以 12 的余数是5方法二：一个数,除以 3 余 2,除以 4 余 1,可以理解为除以 3 余32,除以 4 余41,所以

35、这个数减去 5 后,既能被 3 整除,又能被 4 整除,设这个数为a,则125am,(m 为自然数)所以这个数除以12 余 5【答案】58【例例 17】 17】如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到 100 个),小明像玩跳棋那样,从A孔出发沿着逆时针方向,每隔几孔跳一步,希望一圈以后能跳回到 A 孔他先试着每隔 2 孔跳一步,结果只能跳到 B 孔他又试着每隔 4 孔跳一步,也只能跳到 B 孔最后他每隔 6 孔跳一步,正好跳回到 A 孔,你知道这个圆圈上共有多少个孔吗? BA【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了

36、号：A 孔编号为 1,然后沿逆时针方向顺次编号 为 2,3,4,B 孔的编号就是圆圈上的孔数我们先看每隔 2 孔跳一步时,小明跳在哪些孔上?很容易看出应在 1,4,7,10,上,也就是说, 小明跳到的孔上的编号是 3 的倍数加 1按题意,小明最后跳到 B 孔,因此总孔数是 3 的倍数加 1同样道理,每隔 4 孔跳一步最后跳到 B 孔,就意味着总孔数是 5 的倍数加 1;而每隔 6 孔跳一步最后跳回到 A 孔,就意味着总孔数是 7 的倍数如果将孔数减 1,那么得数既是 3 的倍数也是 5 的倍数,因而是 15 的倍数这个 15 的倍数加上 1 就等于孔数,设孔数为a,则151am（m为非零自然数

37、）而且a能被 7 整除注意 15 被 7 除余 1,所以156被 7 除余 6,15 的 6 倍加 1 正好被 7 整除我们还可以看出,15 的其他(小于的 7)倍数加1 都不能被 7 整除,而157105已经大于 1007 以上的倍数都不必考虑,因此,总孔数只能是156191 【答案】91【例例 18】 18】三个连续三位数的和能够被 13 整除,且这三个数中最大的数被 9 除余 4,那么符合条件的三位数中最小的数最大是 .【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,6 年级【解析】设中间数是a,三个连续自然数的和是中间数的 3 倍即3a,由 1

38、3|3a得 13|3a,所以中间数能被 13整除,而其中最大的数被 9 除余 4,说明中间数被 9 除余 3,从 1000 往下试能被 13 整除的数为988,975,975 符合两个条件.所以符合条件的三位数中的最小的数的最大是 975-1=974.【答案】974【例例 19】 19】某小学的六年级有一百多名学生若按三人一行排队,则多出一人;若按五人一行排队,则多出二人;若按七人一行排队,则多出一人该年级的人数是 【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,六年级,二试,第 6 题,5 分【解析】符合第一、第三条条件的最少人数为 37+1=22 人

39、,经检验,22 也符合第二个条件,所以 22 也是符合三个条件的最小值,但该小学有一百多名学生,所以学生总人数为 22+357=127.【答案】127【例例 20】 20】智慧老人到小明的年级访问,小明说他们年级共一百多名同学,老人请同学们按三人一行排队,结果多出一人,按五人一行排队,结果多出二人,按七人一行排队,结果多出一人,老人说我知道你们年级原人数应该是（ ）人.【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】华杯赛决赛第 6 题,10 分【解析】根据条件,该数除以 3 余 1,除以 5 余 2,除以 7 余 1,逐级满足法,令该数为 a,则 a3.1 9

40、a5.2 a7.1 符合条件的有 1,4,7,10,13,16.符合条件的有 2,7,12.同时满足、的最小值为 7,以后 a=7+15m 均满足、;现在来看（7+15m）7.1,则 15m7.1,则 m 最小取 1,符合,最小的符合的数为 a=22.以后每隔 3,5,7105即符合.该年级有 100 多名学生,为 22+1-5=127.【答案】127【例例 21】 21】三个连续的自然数,从小到大依次是 4、7、9 的倍数,这三个自然数的和最小是 【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,6 年级,1 试,第 3 题【解析】本题看起来是一个关于

41、整除或约数、倍数的题,但实际上不大用得上被 4、7、9 整除的数的特征或者约数、倍数的一些性质,而如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础,比如以中间的那个数为基础,那么另外的两个数分别为这个数减 1 和这个数加 1,那么题目变为：一个数除以 4 余 1,除以 9余 8,且能被 7 整除,且这个数的最小可能值这是一个余数问题,我们可以采用逐步满足法,也可以采用中国剩余定理来解方法一：逐步满足法除以 4 余 1 的数有：1,5,9,13,17,21,;除以 9 余 8 的数有：8,17,26,可见同时满足这两条的数最小为 17,由于4,936,那么满足除以 4 余 1 且除以 9 余 8 的数有

42、：17,53,89,125,161,197其中能被 7 整除的数最小为 161,所以所求的 3 个连续自然数的中间的那个数最小为 161,那么它们的和最小为161 3483方法二：代数表示法根据题意,设这三个数分别为71k 、7k、71k （k是整数）,那么71k 是 4 的倍数,71k 是 9 的倍数,由于7181kkk ,71921kkk ,所以1k 是 4 的倍数,21k 是 9 的倍数,由1k 是 4 的倍数知22k 是 8 的倍数,设219kn ,那么229383knnn,所以3n 是 8 的倍数,n最小为 5,相应地k最小为 23,那么这三个自然数的和最小为723 3483小结：本

43、题并不难,以上四种解法中法 1、法 2 是同余问题的解法,尤其是法 2,是对中国剩余定理的典型应用,需要学生掌握而法 3、法 4 则是采用代数方法来解,法 3 的关键在于列出方程后要将三个未知数中的两个都用另一个未知数来表示,再对这一个未知数进行确定,法 4 则是采用代数变形和同余定理来逐步缩小可能的范围可以看出,法 3 和法 4 中都有逐步满足的思想方法三：用不定方程来解设这三个数分别为4a,7b,9c,那么741971bacb 由得713144bbab,所以314b 是整数,b为 3,7,11,15,19,23,;由得712199bbcb,所以219b 是整数,b为 5,14,23,32,

44、可见b最小为 23,那么所求的三个自然数的和最小为723 3483方法四：中国剩余定理一个数除以 4 余 1,除以 9 余 8,除以 7 余 0,由于能被 4、9 整除且除以 7 余 1 的数最小为36,能被 4、7 整除且除以 9 余 1 的数最小为 28,能被 7、9 整除且除以 4 余 1 的数最小为7,9 3189,根据中国剩余定理,36028 8189 1413 满足除以 4 余 1,除以 9 余 8,除以 7 余 0,而4,7,9252,所以413252161是满足条件的最小数,那么所求的三个自然数的和最小为161 3483以上是采用余数问题的方法来解,本题也可以采用不定方程和数的

45、代数表示法来解【答案】48310【例例 22】 22】在 200 至 300 之间,有三个连续的自然数,其中,最小的能被 3 整除,中间的能被 7 整除,最大的能被13 整除,那么这样的三个连续自然数分别是多少?【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】先找出两个连续自然数,第一个被 3 整除,第二个被 7 整除例如,找出 6 和 7,下一个连续自然数是83 和 7 的最小公倍数是 21,考虑 8 加上 21 的整数倍,使加得的数能被 13 整除821 12260,能被 13 整除,那么 258,259,260 这三个连续自然数,依次分别能被 3,7,13

46、整除,又恰好在 200 至300 之间由于 3,7,13 的最小公倍数为 273,所以在 200 至 300 之间只有 258,259,260 这三个数满足条件【答案】258,259,260【例例 23】 23】有三个连续自然数,其中最小的能被 15 整除,中间的能被 17 整除,最大的能被 19 整除,请写出一组这样的三个连续自然数【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理 【难度】4 星 【题型】解答【解析】设三个连续自然数中最小的一个为 n,则其余两个自然数分别为1n ,2n 依题意可知：15|n,17|1n ,19|2n ,根据整除的性质对这三个算式进行变换：15|15|215| 21517|117| 2217| 21515,17,19| 21519|219| 2419| 215nnnnnnnnnn从上面可以发现215n 应为 15、17、19 的公倍数由于15,17,194845,所以2154845 21nk (因为215n 是奇数),可得48452415nk当1k 时2430n ,12431n ,22432n ,所以其中的一组自然数为2430、2431、2432【答案】2430、2431、2432