小学数学知识点例题精讲《约数与倍数（三）》教师版.pdf

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1、11.本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数;倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用.2.本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识,例如：（1）约数、公约数、最大公约数;倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系;（2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为.的结构,而且表达形式唯一”一、约数、公约数与最大公约数概念(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数 a 能被整数 b 整除,a 叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的约数;(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”;(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数;(4)

2、0 被排除在约数与倍数之外1 求最大公约数的方法分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来例如：2313 7 11 ,22252237,所以(231,252)3 721;短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘例如：2181239632,所以(12,18)236;辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数;又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是 0 为止那么,最后一个除数就是所

3、求的最大公约数(如果最后的除数是 1,那么原来的两个数是互质的)例如,求 600 和 1515 的最大公约数：15156002315 ;6003151285 ;315285130 ;28530915 ;301520 ;所以 1515 和 600 的最大公约数是 152 最大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数;几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数;几个数都乘以一个自然数n,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n3 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变;求出各个分数的分母的最小公倍数 a;求出各个分数的分子的最大公约数 b;ba

4、即为所求知识点拨知识点拨教学目标教学目标5-4-3.5-4-3.约数与倍数（三）约数与倍数（三）24 约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的;（2）公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的 最小公倍数 .1. 求最小公倍数的方法分解质因数的方法;例如：2313 7 11 ,22252237,所以22231,252237 112772 ;

5、短除法求最小公倍数;例如：2181239632 ,所以18,1223 3236 ; , ( , )aba ba b2. 最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积两个数具有倍数关系,则它们的最大公约数是其中较小的数,最小公倍数是较大的数3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数;求出各个分数分子的最小公倍数a;求出各个分数分母的最大公约数b;ba即为所求例如：353,515,4 12(4,12)4 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数,最小公倍数可以是整数.例如： 1,41 4,42 32,34 倍数、公倍数、最小公倍

6、数的关系（1）倍数是对一个数说的;（2）最小公倍数是公倍数的约数,公倍数是最小公倍数的倍数三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1 两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质.如果m为A、B的最大公约数,且Ama,Bmb,那么ab、互质,所以A、B的最小公倍数为mab,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：ABmambmmab,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积;最大公约数是A、B、AB、AB及最小公倍数的约数2 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积.即( , ) , a ba bab,此性质比较简单,学生比较容易掌握.33 对于任意 3 个连续的自

7、然数,如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：567210 ,210 就是 567 的最小公倍数b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍例如：678336 ,而 6,7,8 的最小公倍数为3362168性质（3）不是一个常见考点,但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系,即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”.四、求约数个数与所有约数的和1 求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积.如:1400 严格分解质因数之后为32257,所以它

8、的约数有(3+1)(2+1) (1+1)=432=24 个.(包括 1 和 1400 本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点,授课时应重点讲解,公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上,结合乘法原理推导出来的,不是很复杂,建议给学生推导并要求其掌握.难点在于公式的逆推,有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用,即先告诉一个数有多少个约数,然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来,或者是“构造出可能的最值”.2 求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将

9、这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和.如：332100023 57 ,所以 21000 所有约数的和为2323(1222 )(13)(1555 )(17)74880此公式没有第一个公式常用,推导过程相对复杂,需要许多步提取公因式,建议帮助学生找规律性的记忆即可.模块一、运用大公约和小公倍的模型解题如果m为A、B的最大公约数,根据模型知道：（1）且Ama,Bmb（2）那么ab、互质（3）所以A、B的最大公约数为m,最小公倍数为mab（4）最大公约数与最小公倍数的成绩为A与B的成绩【例例 1】 1】 甲数是 36,甲、乙两数最大公约数是 4,最小公倍数是 288,那么乙数是多少? 【考

10、点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】2 星 【题型】解答【解析解析解析】法 1：根据两个自然数的积两数的最大公约数两数的最小公倍数,有：甲数乙数4288,所以,乙数42883632;法 2：因为甲、乙两数的最大公约数为 4,则甲数49,设乙数4b,则( ,9)1b因为甲、乙两数的最小公倍数是 288,则28849b ,得8b 所以,乙数4832【答案】32【巩固巩固巩固】已知 A、B 两数的最小公倍数是 180,最大公约数是 30,若 A=90,则 B= .【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】2 星 【题型】填空例题精讲例题精讲4【关键词】希望杯,六年级,二试,第 5 题,5

11、分【解析】根据最小公倍数最大公约数AB,知道,180309060B 【答案】60【例例 2】 2】 已知两个自然数的积为 240,最小公倍数为 60,求这两个数 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析】由于两个自然数的积两数的最大公约数两数的最小公倍数,可以得到,最大公约数是240604,设这两个数分别为4a、4b,那么( , )1a b ,且60415ab,所以a和b可以取 1 和 15 或 3 和 5 ,所以这两个数是 4 和 60 或 12 和 20【答案】这两个数是 4 和 60 或 12 和 20【例例 3】 3】 两个自然数的和是 50,它

12、们的最大公约数是 5,试求这两个数的差【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析】设这两个自然数为：5ab、5,其中a与b互质,5550ab,10ab,经检验,容易得到两组符合条件的数：9 与 1 或者 7 与 3于是,所要求的两个自然数也有两组：45 与 5,35 与 15它们的差分别是：45540,351520所以,所求这两个数的差是 40 或者 20【答案】这两个数的差是 40 或者 20【巩固巩固巩固】两个自然数的和是 125,它们的最大公约数是 25,试求这两个数 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析】

13、125255,51423 ,两数可以为 25、100 或者 50、75【答案】两数可以为 25、100 或者 50、75【例例 4】 4】 已知两数的最大公约数是 21,最小公倍数是 126,求这两个数的和是多少? 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析】假设这两个数是21a和21b,易得21126ab,所以6ab,由a和b互质,那么就有61 623 两种情况所以甲、乙是：21 121 ,21 6126或21 242,21 363两种情况它们的和是 147 或 105【答案】和是 147 或 105【巩固巩固巩固】已知两个自然数的最大公约数为 4,最小

14、公倍数为 120,求这两个数 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析】这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商,120430,将 30 分解成两个互质的数之积：1 和 30,2 和 15,3 和 10,5 和 6,所以这两个数为 4 与 120,或 8 与60,或 12 与 40,或 20 与 24【答案】两个数为 4 与 120,或 8 与 60,或 12 与 40,或 20 与 24【例例 5】 5】 甲、乙两个自然数的最大公约数是 7,并且甲数除以乙数所得的商是118.乙数是_.【考点】运用大公约和小公倍的模型解题

15、 【难度】2 星 【题型】填空【解析解析解析】由(甲,乙) 7,且甲：乙9:8,由于 8 与 9 互质,所以乙数8756.【答案】56【例例 6】 6】 已知正整数 a、b 之差为 120,它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍,那么 a、b 中较大的数是多少? 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4 星 【题型】解答【解析解析解析】设ab,有120ab,又设()a bd,apd,bqd,( , )1p q ,且pq,则 , a bpqd,有105pqdd,所以1053 57pq 因为()120abpq d,所以()pq是 120 的约数若105p ,1q ,则104pq,不符

16、合;5若35p ,3q ,则32pq,不符合;若21p ,5q ,则16pq,不符合;若15p ,7q ,则8pq,符合条件由()8120pq dd,得15d ,从而 a、b 中较大的数15 15225apd【答案】225【例例 7】 7】 已知两个自然数的和为 54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为 114,求这两个自然数【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4 星 【题型】解答【解析解析解析】设这两个自然数分别是ma、mb,其中m为它们的最大公约数,a与b互质(不妨设ab),根据题意有：()54(1)114mbmam abmabmm ab所以可以得到 m是 54 和 114 的公

17、约数,所以是(54,114)6的约数1m ,2,3 或 6如果1m ,由()54mab,有54ab;又由(1)114mab,有115ab 1151 115523 ,但是1 11511654,5232854,所以1m .如果2m ,由()54mab,有27ab;又由(1)114mab,有58ab 581 58229 ,但是1585927,2293127,所以2m 如果3m ,由()54mab,有18ab;又由(1)114mab,有39ab 391 393 13 ,但是1394018,3131618,所以3m 如果6m ,由()54mab,有9ab;又由(1)114mab,有20ab 20 表示成

18、两个互质的数的乘积有两种形式：201 2045 ,虽然120219,但是有459,所以取6m 是合适的,此时4a ,5b ,这两个数分别为 24 和 30【答案】两个数分别为 24 和 30【例例 8】 8】 有两个自然数,它们的和等于 297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于 693,这两个自然数的差是 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4 星 【题型】填空【解析解析解析】两个自然数的最大公约数是它们的和的约数,也是它们的最小公倍数的约数,所以是它们的最大公约数与最小公倍数的和的约数,也就是 297 和 693 的公约数,也就是297,69399的约数99 的约数共有 6 个

19、,此时可以逐一分情况进行讨论,但较繁琐设这两个数分别为ad和bd,其中,1a b ,ab,d是它们的最大公约数那么297ab d,1693dabdabd,相比得169372973abab,所以3377abab,即9212190abab,可得373740ab由于37a 和37b都是 40 的约数且除以 3 余 2,只能为3723720ab或者375378ab,可得39ab或45ab由于297ab d,所以ab是 297 的约数,39ab不符合,所以只能为45ab,此时2974533d ,这两个数的差为33bdadba d【答案】33【例例 9】 9】 已知自然数 A、B 满足以下 2 个性质：（

20、1）A、B 不互质;（2）A、B 的最大公约数与最小公倍数之和为 35.那么 A+B 的最小值是多少?【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4 星 【题型】解答6【解析解析解析】设( , )A BM,那么,AMa BMb,其中 a,b 分别表示 A,B 的独有因数.那么 , A BMab,即有( , ) , (1)35A BA BMMabMab,因为 A,B 不互质,所以1M ,而根据上面的式子 M 是 35的因数,所以 M 只可能为 5 或 7.1）当 M=5 时,ab=6,此时有12,63aabb()51635ABM ab,或()52325ABM ab2）当 M=7 时,ab=4,

21、此时有12,42aabb（舍）因为,1a b ()71435ABM ab,或()72228ABM ab（舍）所以 A+B 的最小值是 25.【答案】25【例例 10】 10】两个整数 A、B 的最大公约数是 C,最小公倍数是 D,并且已知 C 不等于 1,也不等于 A 或 B,C+D=187,那么 A+B 等于多少? 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4 星 【题型】解答【解析解析解析】最大公约数 C,当然是 D 最小公倍数的约数,因此 C 是 187 的约数,187=1117,C 不等于 1,只能是C=11 或者 C=17如果 C=11,那么 D=187-11=176A 和 B

22、都是 176 的约数,A 和 B 不能是 11,只能是22,44,88,176 这四个数中的两个,但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是 11,由此得出 C不能是 11现在考虑 C=17,那么 D=187-17=170,A 和 B 是 170 的约数,又要是 17 的倍数,有34,85,170 三个数,其中只有 34 和 85 的最大公约数是 17,因此,A 和 B 分别是 34 和85,A+B=34+85=119【答案】119【例例 11】 11】若 a , b , c 是三个互不相等的大于 0 的自然数,且 a + b + c = 1155 ,则它们的最大公约数的最大值为 ,最小公倍数

23、的最小值为 ,最小公倍数的最大值为 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】走美杯,6 年级,决赛,第 8 题,10 分【解析】由于 a + b + c = 1155,而 1155=35711.令 a=mp,b=mq,c=ms.m 为 a,b,c 的最大公约数,则p+q+s 最小取 7.此时 m=165.为了使最小公倍数尽量小,应使三个数的最大公约数 m 尽量大,并且使 A,B,C 的最小公倍数尽量小,所以应使 m=165,A=1,B=2,C=4,此时三个数分别为 165,330,660,它们的最小公倍数为 660,所以最小公倍数的最小值为 660.为了使最

24、小公倍数尽量小,应使三个数两两互质且乘积尽量大.当三个数的和一定时,为了使它们的乘积尽量大,应使它们尽量接近.由于相邻的自然数是互质的,所以可以令 1155=384+385+386,但是在这种情况下 384 和 386 有公约数 2,而当 1155=383+385+387 时,三个数两两互质,它们的最小公倍数为 383385387=57065085,即最小公倍数的最大值为 57065085.【答案】最大公约数的最大值为165,最小公倍数的最小值为660,最小公倍数的最大值为57065085模块二、约数的个数与约数的和【例例 12】 12】2008 的约数有（ ）个.【考点】约数的个数与约数的和

25、 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】走美杯,四年级,初赛,第 4 题【解析】因为 2008=222251,所以约数有（3+1）（1+1）=8（个）【答案】8个【巩固巩固巩固】2008006 共有()个质因数.【巩固巩固巩固】（A）4（B)5(C)6(D)7【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3 星 【题型】选择【关键词】华杯赛,初赛,第 2 题7【解析】因为 2008006=20061000+2006=20061001=（21759）（71113）,共有6个.【答案】6个【巩固巩固巩固】105 的约数共有几个?【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】华杯赛,初

26、赛,第 3 题【解析】105357,共有(11)(11)(11)8 个约数,即 1,3,5,7,15,21,35,105.【答案】8个【巩固巩固巩固】已知 300=22355,则 300 一共有 个不同的约数.【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,5 年级,初赛,第 5 题,6 分【解析】32318 个【答案】18【例例 13】 13】筐中有 60 个苹果,将它们全部都取出来,分成偶数堆,使得每堆的个数相同.问：有多少种分法?【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】华杯赛,初赛,第 8 题【解析】方法一：偶数 60 的约数中,偶

27、数有 8 个,即：2,4,6,10,12,20,30,60 因此有 8 种分法.方法二：偶数个约数,即602=30的所有约数,30=23 5 ,所以共有 1 11 11 1 =8个约数.【答案】8个约数【例例 14】 14】数 360 的约数有多少个?这些约数的和是多少? 【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3 星 【题型】解答【解析解析解析】360 分解质因数:360=222335=32235;360 的约数可以且只能是2a3b5c,(其中a,b,c 均是整数,且 a 为 03,6 为 02,c 为 01)因为 a、b、c 的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)

28、(2+1)(1+1)=24我们先只改动关于质因数 3 的约数,可以是 l,3,23 ,它们的和为(1+3+23),所以所有 360 约数的和为(1+3+23)2y5w;我们再来确定关于质因数 2 的约数,可以是 l,2,22,32,它们的和为(1+2+22+32),所以所有 360 约数的和为(1+3+23)(1+2+22+32)5w;最后确定关于质因数 5 的约数,可以是 1,5,它们的和为(1+5),所以所有360 的约数的和为(1+3+23)(1+2+22+32)(1+5)于是,我们计算出值:13156=1170所以,360 所有约数的和为 1170【答案】约数有 24 个,和为 117

29、0【例例 15】 15】20086ab , a b均为自然数a有_种不同的取值【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯,五年级,初赛,第 8 题【解析】由20086ab 可知,ab+6=2008,ab=2002.又因为 2002=271113,而且a6,所以a的取值有：3+2344CC+1=14（种）【答案】14【巩固巩固巩固】2010 除以正整数 N,余数是 15,那么 N 的所有可能值的个数是 .【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,6 年级,1 试,第 5 题【解析】2010151995,19953 57 19 ,

30、1995 的约数有 16 个,其中小于等于 15 的有 5 个,所以满足条件的 N 有 11 个.【答案】118【例例 16】 16】自然数 N 有 45 个正约数.N 的最小值为 .【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】走美杯,6 年级,决赛,第 5 题,8 分【解析解析解析】由于4545 11539553 3 ,根据约数个数公式,自然数 N 可能分解成44a、142ab、84ab、422abc等形式,在以上各种形式下,N 的最小值分别为442、14223、8423、422235,比较这些数的大小,可知441428442222323235,所以最小值是42223

31、53600【答案】3600【巩固巩固巩固】自然数N有20个正约数,N的最小值为 .【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】走美杯,5 年级,决赛,第 1 题,8 分【解析】因为约数的个数是指数加 1 再相乘,所以先将 20 分解质因数,2020 110254522 ,若想 N 最小：20522 ,那么指数为 4、1、1,经试算,最小值为423 5240 .【答案】240【巩固巩固巩固】恰有 20 个因数的最小自然数是（ ）.【巩固巩固巩固】（A）120 （B）240 （C）360 （D）432【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4 星 【题型】选择【关键词】华杯赛

32、,初赛,第 5 题【解析】B,20=20=210=45=225,四种情况下的最小自然数分别为：192、923、4323、423 5 ,其中最小的是最后一个,为 240.【答案】B【例例 17】 17】设 A 共有 9 个不同的约数,B 共有 6 个不同的约数,C 共有 8 个不同的约数,这三个数中的任何两个都不整除,则这三个数之积的最小值是多少? 【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4 星 【题型】解答【解析解析解析】本题考查对约数个数计算公式的灵活应用由公式的结果倒推,A 有 9 个约数,那么符合公式的要求有,9(21)(21),或者9(01)(81),若要求 A 的值尽可能小,则 A 不

33、可能为某个质数的 8 次方的形式,那么说明 A 的形式为22Aab的形式,为最终满足三个数的乘积最小的要求,那么 A 最小为2223A ,类似的可以知道2Bab,同时为满足最小要求252B .C 为 8 个约数情况可能有两种,3,Cmnp Cmn ,其中当332C 时数字最小,同时三个数任意 2 个都不整除,所以此时三个数的乘积为20243617280【答案】17280【例例 18】 18】在 1 到 100 中,恰好有 6 个约数的数有多少个? 【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4 星 【题型】解答【解析解析解析】61 623 ,故 6 只能表示为51或 1 121,所以恰好有 6 个约

34、数的数要么能表示成某个质数的 5 次方,要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数,100 以内符合前者的只有 32,符合后者的数枚举如下：2222222222222222325272112132172192238323537311452532721个个个个所以符合条件的自然数一共有1842116 个【答案】16 个9【巩固巩固巩固】恰有 8 个约数的两位数有_个 【考点】约数的个数与约数的和 【难度】5 星 【题型】填空【解析解析解析】根据约数个数公式,先将 8 进行分解：81 824222 ,所以恰有 8 个约数的数至多有 3 个不同的质因数,分解质因数后的形式可能为7A,13A B,111

35、A B C其中由于72128100,所以7A形式的没有符合条件的两位数;13A B形式中,B 不能超过 3,即可能为 2 或 3,有323、33 2、352、372、311 2,共 5 个;111A B C形式的有23 5 、23 7 、23 11 、23 13 、257 ,共 5个所以共有5510个符合条件的数【答案】10 个【巩固巩固巩固】在三位数中,恰好有 9 个约数的数有多少个? 【考点】约数的个数与约数的和 【难度】5 星 【题型】解答【解析解析解析】由于91 93 3 ,根据约数个数公式,可知 9 个约数的数可以表示为一个质数的 8 次方,或者两个不同质数的平方的乘积,前者在三位数

36、中只有82256符合条件,后者中符合条件有2225100、2227196、22211484、22213676、2235225、2237441,所以符合条件的有 7个【答案】7 个【例例 19】 19】能被 2145 整除且恰有 2145 个约数的数有 个 【考点】约数的个数与约数的和 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,6 年级,第 6 题【解析解析解析】先将 2145 分解质因数：21453 5 11 13 ,所以能被 2145 整除的数必定含有 3,5,11,13 这 4 个质因数;由于这样的数恰有 2145 个约数,所以它至多只有 4 个质因数,否则至少有 5 个质因数,根据

37、约数个数的计算公式,则有 5 个大于 1 的整数的乘积等于 2145,而 2145 只能分解成 3,5,11,13 的乘积,矛盾所以所求的数恰好只有 3,5,11,13 这 4 个质因数对于这样的每一个数,分解质因数后 3,5,11,13 这 4 个因子的幂次都恰好是23 1,451,1011 1,1213 1的一个排列,所以共有4!24种【答案】24 个【巩固巩固巩固】能被 210 整除且恰有 210 个约数的数有 个 【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4 星 【题型】填空【解析解析解析】21023 57 ,所以原数肯定含有 2,3,5,7 这四个质因子,而且幂次一定按照某种顺序是 1,

38、2,4,6,可以任意排列,所以有4!24个【答案】24 个【巩固巩固巩固】1001 的倍数中,共有 个数恰有 1001 个约数 【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6 星 【题型】填空【关键词】仁华学校【解析解析解析】1001 的倍数可以表示为1001k,由于10017 11 13,如果 k 有不同于 7,11,13 的质因数,那么1001k至少有 4 个质因数,将其分解质因数后,根据数的约数个数的计算公式,其约数的个数为123411111naaaaa,其中4n 如果这个数恰有 1001 个约数,则12341111110017 11 13naaaaa,但是 1001 不能分解成 4 个大于

39、1 的数的乘积,所以4n 时不合题意,即 k 不能有不同于 7,11,13 的质因数那么1001k只有 7,11,13 这 3 个质因数设100171113abck ,则1111001abc,1a 、1b 、1c 分别为 7,11,13,共有3!6种选择,每种选择对应一个1001k,所以 1001 的倍数中共有 6 个数恰有 1001 个约数【答案】6 个【巩固巩固巩固】如果一个自然数的 2004 倍恰有 2004 个约数,这个自然数自己最少有多少个约数? 10【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6 星 【题型】解答【解析解析解析】设这个自然数是a,2200423 167 ,将a分解质因数,

40、设121223167nbbbxyznaa aa,其中 x,y,z可以是 0 或正整数,其余的系数都是正整数,则这个数的约数的个数12(1)(1)(1)(1)(1)(1)nAxyzbbb因为这个自然数的 2004 倍恰有 2004 个约数,所以212(3)(2)(2)(1)(1)(1)200423 167nxyzbbb 可得2004(3)(2)(2)322(1)(1)(1)111xyzxyzAxyzxyz,要想使A最小,需要使322111xyzxyz最大,而323311xxxx,22211yyyy,22211zzzz,所以200432212A ,得到167A要想使等号成立,必须0 xyz,1n

41、,1166b ,即此数为一个不是 2,3,167 的质数的 166 次方,此时这个数的约数有 167 个故这个自然数最少有 167 个约数【答案】167 个【例例 20】 20】已知偶数 A 不是 4 的整数倍,它的约数的个数为 12,求 4A 的约数的个数. 【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4 星 【题型】解答【解析解析解析】由于 A 是偶数但不是 4 的倍数,所以 A 只含有 1 个因子 2,可将 A 分解成12AB,其中 B 是奇数,根据约数个数公式,它的约数的个数为1 112N (其中 N 为 B 的约数个数),则3482ABB,它的约数个数为1324N个【答案】24 个【例例

42、21】 21】已知mn、两个数都是只含质因数 3 和 5,它们的最大公约数是 75,已知m有 12 个约数,n有 10 个约数,求m与n的和 【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4 星 【题型】解答【解析解析解析】因为2753 5 ,如果设35pqm ,35xyn ,那么px、中较小的数是 1,qy、中较小的数是 2由于一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个质因数的次数加 1 的乘积所以(1)(1)12pq,(1)(1)10 xy又122634,1025,由于2y ,所以13y ,那么15y ,12x ,得到1x ,4y 那么2q ,得到3p ,所以3235675m ,43 51875n

43、,=2550mn【答案】2550【例例 22】 22】已知 A 数有 7 个约数,B 数有 12 个约数,且 A、B 的最小公倍数,1728A B ,则B 【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】101 中学【解析解析解析】63172823,由于 A 数有 7 个约数,而 7 为质数,所以 A 为某个质数的 6 次方,由于 1728 只有 2 和3 这两个质因数,如果 A 为63,那么 1728 不是 A 的倍数,不符题意,所以62A ,那么33为 B 的约数,设323kB ,则 13112k ,得2k ,所以2323108B 【答案】108【例例 23】 23】一

44、个自然数恰好有 18 个约数,那么它最多有 个约数的个位是 3.【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】走美杯,五年级,初赛,第 14 题【解析解析解析】21823 ,根据求一个数约数个数公式知,不同的质因数可能有一至三个.但是如果个位是 3 的约数11尽可能多,可以构造出：1831Nab ,即一个质因数的个位是 3,这个质因数只有 1 次方,另一个质因数的个位是 1,这个质因数有 8 次方.这样得到的不同的个位是 3 的约数有10111213183131313131ababababab、 共有 9 个.【答案】9【例例 24】 24】一个分子是 1 的分数,化成小

45、数后是一个混循环小数,且循环节为两位,不循环也有两位,那么这种分数共有多少个?【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6 星 【题型】解答【解析解析解析】假设该混循环小数是990.99009900abcdababcdabcd,那么其中cd 0,11,22,33,44,55,66,77,88,99,且bd,所以99abcd不是11和10的倍数令abx,cdy,则1990.99009900abcdabxyabcdn,那么999900 xyn（）,而所以99xy是9900的约数,且不是11和10的倍数 9900的约数中11的倍数有222990023511,9900的约数中11的倍数有3 3 327 （

46、个）,10的倍数有232224 （个）,即是11也是10的倍数有12个,显然对任意值,x和y都有99以内的符合条件自然数解,所以符合条件的解有3 3 3227241215 （）（个）,对应的n也有15个,即这样的分数有15个【答案】15 个【例例 25】 25】1 232002,8 9 102009中,共有_ _个最简分数.【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,6 年级,第 5 题【解析】由于分子和分母相差 7,所以当分子是 7 的倍数时,该分数就不是最简分数,1 到 2002 中 7 的倍数的数共有 286 个,故最简分数有 2002-286=1716

47、 个.【答案】1716 个【例例 26】 26】设a,b,c 是0 9的数字（允许相同）,将循环小数0.abc 化成最简分数后,分子有 种不同情况 【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6 星 【题型】填空【解析解析解析】0.999abcabc ,显然只要abc与 999 互质,就构成了最简分数,所以最简分数的分子可以是所有小于999 且与 999 互质的数,这样的数一共有9999999999996483373 37（个） 如果abc与 999 不互质,那么abc的质因数当中,如果质因数 3 不多于 3 个,质因数 37 不多于 1 个,那么999abc约分后是分子还是与 999 互质的数（已

48、被统计过）;如果abc的质因数当中,如果质因数 3 多于 3 个,质因数37 多于 1 个（这种情况肯定没有因为 37 的平方大于 999）, 质因数 3 多于 3 个,那么约分过程当中,分子分母至少约掉 27,所剩下的分子不会大于9993727,所以凡是不大于 37 的分子都可能有它的 27倍约分而来,其中的 3、6、9、36 这 12 个数都是可能的分子所以一共有64812660（个）【答案】660【例例 27】 27】在循环小数中类似于10.1428577,10.07692313等,循环节是从小数点右边的第一位（即十分位）就开始的小数,叫做纯循环小数,包括7和13在内,共有 个正整数,其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数.【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,6 年级,1 试12【解析解析解析】根据容斥原理,因为六位纯循环小数表示成分数为abcdef999999,题目需要的正整数是能够约分后分子是1 的分数的分母,所以分子是 999999 的约数的数都有可能是答案,399999937 11 13 37 有 311 11 11 11 164,所求的n的个数为64(863)53（个）.【考点】计数问题、数论、循环小数化分数等知识点的综合【答案】53 个