小学数学知识点例题精讲《还原问题（一）》教师版.pdf

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1、1本讲主要学习还原问题通过本节课的学习,可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法,并会运用倒推法解决问题1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题3. 培养学生“倒推”的思想一、还原问题已知一个数,经过某些运算之后,得到了一个新数,求原来的数是多少的应用问题,它的解法常常是以新数为基础,按运算顺序倒推回去,解出原数,这种方法叫做逆推法或还原法,这种问题就是还原问题还原问题又叫做逆推运算问题解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理,根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算在计算过程中采用相反的运算,逐步逆推二、解还原问题的方法在解题过程中注意两个相反：一是运算

2、次序与原来相反;二是运算方法与原来相反方法：倒推法.口诀：加减互逆,乘除互逆,要求原数,逆推新数关键：从最后结果出发,逐步向前一步一步推理,每一步运算都是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘列式时还要注意运算顺序,正确使用括号.模块一、计算中的还原问题【例例 1】一个数的四分之一减去 5,结果等于 5,则这个数等于_.【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,二试,第 3 题【解析】方法一：倒推计算知道,一个数的四分之一是10,所以这个数是104=40.方法二：令这个数为x,则1554x,所以40 x.【答案】40【例例 2】某数先加

3、上 3,再乘以 3,然后除以 2,最后减去 2,结果是 10,问：原数是多少?例题精讲例题精讲知识点拨知识点拨教学目标教学目标6-1-2.6-1-2.还原问题（一）还原问题（一）2【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】分析时可以从最后的结果是 10 逐步倒着推.这个数没减去 2 时应该是多少?没除以 2 时应该是多少?没乘以 3 时应该是多少?没加上 3 时应该是多少?这样依次逆推,就可以推出某数.如果没减去 2,此数是：10212,如果没除以 2,此数是：12224,如果没乘以 3,此数是：2438,如果没加上 3,此数是：835,综合算式102

4、2335 ,原数是 5.【答案】5【巩固】 (2008 年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数,如果用它加上6,然后乘以6,再减去6,最后除以6,所得的商还是6,那么这个数是 .【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】可逆思想方法【解析】将最终结果进行逆推,得： 666661（） 【答案】1【巩固】 一个数减 16 加上 24,再除以 7 得 36,求这个数你知道这个数是几吗?【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】3672416244.【答案】244【巩固】 少先队员采集树种子,采得的个数是一个有趣的数把这个数除以 5

5、,再减去 25,还剩 25,你算一算,共采集了多少个树种子?【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 25255250（）(个),即共采集了 250 个树种子.【答案】250【例例 3】学学做了这样一道题：某数加上 10,乘以 10,减去 10,除以 10,其结果等于 10,求这个数小朋友,你知道答案吗?【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】根据题意,一个数,经过加法、乘法、减法、除法的变化,得到结果 10,应用逆推法,由结果 10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算10 10100,1001

6、0110,1101011,11 101综合算式为：10 10101010100101010110101011 101（）（）所以这个数为 1.解这种还原问题的关键是从最后结果出发,逐步向前一步一步推理,每一步运算都是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘列式时还要注意运算顺序,正确使用括号,这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法【答案】1【巩固巩固】 学学做了这样一道题：一个数加上 3,减去 5,乘以 4,除以 6 得 16,求这个数小朋友,你知道答案吗?【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】根据题意,一个数,经过加法、减法、

7、乘法、除法的变化,得到结果 16,应用逆推法,由结果 10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算1664-5+3 3综合算式为：16645396453245329326【答案】26【巩固巩固】 一次数学竞赛颁奖会上,小刚问老师：“我得了多少分?”老师说：“你的得分减去6后,缩小2倍,再加上10后,扩大2倍,恰好是100分”小刚这次竞赛得了多少分?【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】从最后一个条件“恰好是100分”向前推算扩大2倍是100分,没有扩大2倍之前应是100250 (分),加上10后是50分,没有加上10前应是501040(分)

8、,缩小2倍是40分,那么没有缩小2倍前应是40280(分),减去6后是80分,没有减去6前应是80686(分)综合列式为：(100210)26402686(分),所以,小刚这次竞赛得了86分【答案】86【例例 4】牛老师带着 37 名同学到野外春游休息时,小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以 2,减去 16 后,再除以 2,加上 8,结果恰好是我们今天参加活动的总人数 ”小朋友们,你知道牛老师今年多少岁吗?【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】采用倒推法,我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即 38 倒着往前推这个

9、数没加上 8 时应是多少?没除以 2 时应是多少? 没减去 16 时应是多少?没乘以 2 时应是多少?这样依次逆推,就可以求出牛老师今年的岁数没加上 8 时应是：38830;没除以 2 时应是：30260;没减去 16 时应是：601676;没乘以 2 时应是：76238,即 388216 238（）(岁).【答案】38岁【巩固巩固】 小智问小康：“你今年几岁?”小康回答说：“用我的年龄数减去 8,乘以 7,加上 6,除以 5,正好等于 4. 请你算一算,我今年几岁?” 【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】分析时可以从最后的结果是 4 逐步倒着推

10、.这个数没除以 5 时应该是多少?没没加上 6 时应该是多少?没乘以 7 时应该是多少?没减去 8 时应该是多少?这样依次逆推,就可以推出某数.如果没除以 5,此数是：4 520 如果没加上 6,此数是：20614如果没乘以 7,此数是：1472如果没减去 8,此数是：2810综合算式：4 567810 （岁）答：小康今年 10 岁.【答案】10岁【巩固巩固】 在小新爷爷今年的年龄数减去 15 后,除以 4,再减去 6 之后,乘以 10,恰好是 100,问:小新爷爷今年多少岁数?【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】采用倒推法,(100106)41

11、579（岁）.【答案】79岁【巩固巩固】 学学和思思在游玩时,遇到一位小神仙,他们问这位神仙：“你一定不到 100 岁吧！”谁知这位神仙摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上 75,再除以 5,然后减去 15,再乘以 10,恰好是 2000岁 ”小朋友,你知道这位神仙现在有多少岁吗?【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法4【解析】这就是一个还原问题,可以用倒推法解决从结果“2000”逐步倒着推,没乘 10 时是多少?没减去15 时是多少?没除以5时是多少?没加 75 时是多少?这样依次倒推,就可以知道神仙的年龄了1 “乘以 10,恰好是 2000”,不乘

12、10 时,应该是：2000102002 “减去 15”是 200,不减 15 时,应该是：20015215 3 “除以 5”是 215,不除以 5,应该是：21551075 4 现在的年龄加上 75 是 1075,如果不加 75,这个数是：1075751000 也就是神仙现在的年龄是 1000 岁验算：按原题顺序进行列式计算,看最后是否等于 2000,如果等于 2000,则解题正确1000751075,10755215,21515200,200 102000【答案】2000岁【例例 5】在电脑里先输入一个数,它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数,就把它除以2;如果输入的数是奇数,就

13、把它加上 3同样的运算这样进行了 3 次,得出结果为 27原来输入的数可能是 【考点】计算中的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】可逆思想方法,第七届,小数报【解析】本题用倒推法解最后结果是 27,上一步的结果是 54,再上一步的结果是 108 或 51,原来输入的数是 216,105,102思路如下：21610810554271025148(24()不合意)不合意AA【答案】216或105或102,答案不唯一【例例 6】假设有一种计算器,它由 A、B、C、D 四种装置组成,将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数.各装置的运算程序如下： 装置 A：将输入的数加上 6 之后输出;装

14、置 B：将输入的数除以 2 之后输出;装置 C：将输入的数减去 5 之后输出;装置 D：将输入的数乘以 3 之后输出.这些装置可以连接,如在装置 A 后连接装置 B,就记作：AB.例如：输人 1 后,经过 AB,输出 35.(1)若经过 ABCD,输出 120,则输入的数是多少?(2)若经过 BDAC,输出 13,则输入的数是多少?【考点】计算中的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,二试,第 16 题,可逆思想方法【解析】方法一：逆向考虑.（1）输入到 D 的数为 1203=40,输入到 C 的数为 40+5=45,输入到 B 的数为452=90,所以输入到 A 的

15、数是 90-6=84.（2）输入到 C 的数是 13+5=18,输入到 A 的数是 18-6=12,输入到 D 的数是 123=4,所以输入到 B 的数是 42=8.方法二：(1)设输入的数是 x,则(653=1202x 解得,x=84.(2)设输入的数是 y,则365=132y ,解得 y=8【答案】（1）84;（2）8【例例 7】哪吒是个小马虎,他在做一道减法题时,把被减数十位上的 6 错写成 9,减数个位上的 9 错写成 6,最后所得的差是 577,那么这道题的正确答案应该是多少呢?【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】被减数十位上的 6 变

16、成 9,使被减数增加906030,差也增加了 30;减数个位上的 9 错写成 6,使减数减少了963,这样又使差增加了 3,这道题可以说成：正确的差加上 30 后又加上 3 得 577,求正确的差所以列式得：577969060544（）（）这题的正确答案应该是 544【答案】5445【巩固巩固】 小马虎在做一道加法题时,把一个加数个位上的9看作6,十位上的6看作9,结果和是174,那么正确的结果应该是多少呢?【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数(正确答案),由于小马虎两次错误的计算,变成了另一个数(错误结果),

17、我们知道引起这种变化的原因是：把个位上的9看作6,这就相当于把正确答案减少了963把十位上的6看作9,这就相当于把正确答案增加了：109630（）这样原题就变成了“一个数减去3,再加上30,所得结果是174,求这个数 ”我们只要把少加的加上,多加的减去,就可以求出正确的结果：174961096174330147（）（）【答案】147【巩固】 淘气在做一道减法时,把减数个位上的 9 看成了 3,把十位上的 4 看成了 7,得到的结果是 164,请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】164(7349) 188或16

18、4630188.【答案】188【巩固】 小新在做一道加法题,由于粗心,将个位上的 5 看作 9,把十位上的 8 看作 3,结果所得的和是123正确的答案是多少?【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】倒推法,把个位上的 5 看作 9,相当于把正确的和多算了 4,求正确的和,应把 4 减去;把十位上的 8 看作 3,相当于把正确的和少算了 50,求正确的和,应把 50 加上去所以正确的和是：12350 4169.即：123(8030)(95)169.【答案】169模块二、单个变量的还原问题【例例 8】一只猴吃 63 只桃,第一天吃了一半加半只,以后每天

19、吃前一天剩下的一半再加半只,则 _ 天后桃子被吃完.【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析】通过画表格的方式,可知答案是 6.【答案】6天【例例 9】乒乓球从高空落下,到达地面后弹起的高度是落下高度的一半,如果乒乓球从 8 米的高度落下,那么弹起后再落下,则弹起第_次时它的弹起高度不足 1 米.【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】走美杯,三年级,初赛,可逆思想方法【解析】弹起第一次时变为 4 米,弹起第二次时变为 2 米,弹起第三次时变化为 1 米,第 4 次弹起时不足 1 米,所以弹起第 4 次时不足 1

20、 米.【答案】4次【例例 10】 李奶奶卖一筐鸡蛋,第一位客人买走了一半少 2 个,第二位客人又买走了剩下的一半多 2 个,第三位客人把剩下的 5 个鸡蛋全部买走了老婆婆的篮子里原来有 个鸡蛋【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,1 年级,第 12 题,可逆思想方法【解析】用倒堆的方法,第二位客人没有买走之前共有7714（个）,第一位客人没买走之前就是14212（个）,121224（个） 6 数学方法倒退法【答案】24个【巩固】 小红看一本故事书,第一天看了这本书的一半又 10 页,第二天看了余下的一半又 10 页,第三天看了10 页正好看完.这本故事书共

21、有 页.【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,一试,第 13 题,可逆思想方法【解析】第三天看的 10 页等于第一天看了余下的一半少 10 页,所以第一天看了余下了（10+10）2=40 页,所以原来有（40+10）2=100 页.【答案】100页【例例 11】 学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦,第一次用去全长的一半还多 2 米,第二次用去余下的一半少 10 米,第三次用去 15 米,最后还剩 9 米,那么这根绳子原来有多少米呢?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】根据题意,画图倒推分析：159

22、24(米)2410228（）(米)282260（）(米) 所以,这根绳子全长 60 米【答案】60米【巩固巩固】 一个人沿着公园马路走了全长的一半后,又走了剩下路程的一班,还剩下 1 千米,问：公园马路全长多少千米?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】如图：采取倒推的方法,1 千米是第一次剩下的路程的一半,所以第一次剩下路程就是1 22（千米）.而第一次剩下的路程 2 千米又是全程长的一半,所以全程长为224（千米）.答：公园马路全长为 4 千米.【答案】4千米【巩固巩固】 一捆电线,第一次用去全长的一半多 3 米,第二次用去余下的一半少 10

23、 米,第三次用去 15 米,最后还剩 7 米.这捆电线原来有多少米?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】为了帮助同学们分析数量关系,可依照题意画出右图.从线段图上可以看出：7（1）715 1012（米）,就是第一次用去后余下的一半.（2）12224（米）,就是余下的电线长度.（3）24327（米）,就是全长的一半.（4）27254（米）,就是原来电线的长度.综合列式计算：71510232(1223)227254（米）答：这捆电线原来有 54 米.【答案】54米【巩固巩固】 甲在加工一堆零件,第一天加工了这堆零件的一半又 10 个,第二天又加工了

24、剩下的一半又 10 个,还剩下 25 个没有加工,问：这批零件有多少个?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】如右图所示,按照图与题目的条件,可以有如下算式：25 1035（个）,35270（个）,701080（个）,802160（个）列综合算式：(2510)2102160,答：这批零件共有 160 个.【答案】160个【巩固巩固】 食堂买进一批大米,第一天吃了全部的一半少28千克,第二天吃了余下的一半少8千克,最后剩下122千克这批大米共有多少千克?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】列式为：

25、122822822002400（） (千克)【答案】400千克【巩固】 山顶上有棵桃数,一只猴子偷吃桃子,第一天偷吃了总数的一半多 2 个,第二天又偷吃了剩下的一半多 2 个,这时还剩 1 个,问：树上原来有多少个桃子?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】2 122216（）(个).【答案】16个【例例 12】 盒子里有若干个球.小明每次拿出盒中的一半再放回一个球.这样共操作了7次,袋中还有3个球.袋8中原有（ ）个球.【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯,3 年级,初赛【解析】倒退法：如,第 7 次操作前,

26、还剩3 124个球.10066341810643次 1次次 2次次 3次次 4次次 5次次 6次次 7次【答案】4个球【例例 13】 有一个培养某种微生物的容器,这个容器的特点是：往里面放入微生物,再把容器封住,每过一个夜晚,容器里的微生物就会增加一倍,但是,若在白天揭开盖子,容器内的微生物就会正好减少 16 个.小丽在实验的当天往容器里放入一些微生物,心急的她在第二、三、四天斗开封看了看,到第五天,当她又启封查看时,惊讶地发现微生物都没了.请问：小丽开始往容器里放了 个微生物?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,二试,第 15 题【解析】还原倒推

27、：0168241228143015 所以原来容器内放了 15 个微生物.【答案】15个【例例 14】 小丽用 4 元买了一本童话大王,又用剩下的钱的一半买了一本儿童时代,买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多 1 元,最后还剩 4 元,问：小丽原有多少钱?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】用倒推法,第二次剩下的一半是415 （元）,第二次剩下5 210（元）,第一次剩下10220（元）,原来有20424（元）.列综合算式：4 12 2424 答：小丽原有 24 元.【答案】24元【巩固巩固】 有一筐苹果,甲取出一半又 1 个;乙取出余下的一半又

28、1 个;丙取出再余下的一半又 1 个,这时筐里只剩下 1 个苹果.这筐苹果共值 6 元 6 角,问每个苹果平均值多少钱?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】从上面的线段图可以看出：最后剩下的 1 个再加上丙取出的 1 个就是再余下的一半,即 2 个是再余下的一半,因此,再余下的就是224（个）;4 个再加上乙取出的 1 个就是余下的一半,所以,甲取出后余下的就是5 210（个）;10 个再加上甲取出的 1 个就是全筐的一半,所以,全筐苹果的总数是11 222（个）.22 个苹果共值 6 元 6 角,于是可求出每个苹果平均值多少钱?先求有多少个苹

29、果：21222（1+1）2+1（个）再求每个苹果平均值多少钱：66223（角）,每个苹果平均值 3 角钱.【答案】3角9【例例 15】 思思看到织女在织布,她把一段五彩布第一次剪去一半,第二次又剪去余下的一半,这时还剩下 8 米,你知道这段五彩布原来长多少米吗?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】根据题意,画出线段图,倒推分析 8216(米) 16232(米)所以这段五彩布原来长32米【答案】32米【巩固巩固】 一群蚂蚁搬家,原存一堆食物第一天运出总数的一半少 12 克第二天运出剩下的一半少 12 克,结果窝里还剩下 43 克问蚂蚁家原有食物多

30、少克?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】采用倒推法,教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出 12 克,就是剩下的一半,所以第一天运出后,剩下的一半重量是43 1231(克);这样,第一天运出后剩下的重31 262(克).那么同理,一半的重量是621250(克),原有食物502100(克).即 43 122122100（）(克).【答案】100克【巩固巩固】 一捆电线,第一次用去全长的一半多 3 米,第二次用去余下的一半少 10 米,第三次用去 15 米,最后还剩 7 米,这捆电线原有多少米?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星

31、【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】由逆推法知,第二次用完还剩下15+722(米),第一次用完还剩下(2210)224(米),原来电线长(243)254(米),(15710)23254 (米).【答案】54米【例例 16】 工程队要修一条小路,第一天修了全长的一半多6米,第二天修了余下的一半少20米,第三天修了30米,此时还剩下14米没有修,则这条小路长 米.【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】可逆思想方法,2008 年,陈省身杯【解析】如图1所示,先根据线段图理清数量关系,可得全长为：143020262108（米）.【答案】108米【巩固巩固】 修建一条下

32、水道,第一周修了全长的一半多12米,第二周修了剩下的一半少12米,第三周修了【巩固巩固】30米,最后还剩18米,这条下水道长多少米?【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法10【解析】如下图,从图中可知30181236是第一周修后余下的一半,3621284米是下水道全长的一半列式为： 3018122122842168（）(米),所以,这条下水道长168米画图法的关键：标好有倍数关系的位置.【答案】168米【例例 17】 货场原有煤若干吨.第一次运出原有煤的一半,第二次运进 450 吨,第三次又运出现有煤的一半又 50 吨,结果剩余煤的 2 倍是 1200

33、吨.货场原有煤多少吨?【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】这道题由于原有煤的总吨数是未知的,所以要想顺解是很不容易的,我们先看图 4,然后再分析.结合上面的线段图,用倒推法进行分析,题中的数量关系就可以跃然纸上,使学生们一目了然.根据“剩余煤的 2 倍是 1200 吨”,就可以求剩余煤的吨数;根据“第三次运出现有煤的一半又 50吨”和剩余煤的吨数,就可以求出现有煤的一半是多少吨,进而可求出现有煤的吨数;用现有煤的吨数减去第二次运进的 450 吨,就可以求出原有煤的一半是多少,最后再求出原有煤多少吨.（1）剩余煤的吨数是：12002600（吨）（

34、2）现有煤的一半是：60050650（吨）（3）现有煤的吨数是：65021300（吨）（4）原有煤的一半是：1300450850（吨）（5）原有煤的吨数是：85021700（吨）答：货场原来有煤 1700 吨.【答案】1700吨【例例 18】 从前,有一位樵夫,整天幻想着遇见神仙,求得一种不花气力就能发财的窍门一天,有一位老人突然来到樵夫面前,对他说：“你不是想见到神仙吗?”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天柴,累的要死要活,才卖的这么几个钱您老人家神通广大,恳求您指点,使我可以不费力气就能得到钱吧！”老人指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始,你只要从那座桥上每走一个来回,口袋里的钱都会增

35、长一倍,但是每次回来都要付给我 24 个钱作为报酬 ”樵夫高兴的在桥上走了一个来回,他数一数口袋里的钱,果然增长了一倍他拿出 24 个钱交给神仙,然后又向桥上走去,等到他第三次回来,把 24 个钱交给神仙后,摸一摸口袋,里面竟然一个钱都没有了正当他焦急不安的时候,神仙按原数把钱留下飘然而去,并留下一句话：“年轻人,不劳而获可不行啊！”故事读完了,小朋友们,你能不能算出,樵夫原来有多少钱呢?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答11【关键词】可逆思想方法【解析】这个故事里包含的算题是：樵夫每次在桥上走一个来回,口袋里面的钱会增长 1 倍,樵夫第三次回来,交付 24 个钱给神仙后

36、,他的口袋里就一无所有了问樵夫原来有多少钱?我们可以倒着想,最后樵夫从桥上回来后,口袋里面只有 24 个钱,第二次交给神仙后有24212（个）钱,从桥上回来后有：122436（个）钱,也就是第一次交给神仙后还剩：36218（个）钱,第一次从桥上回来后有：182442（个）钱,所以樵夫一开始有：42221（个）钱【答案】21个【巩固巩固】 有一个财迷总想使自己的钱成倍增长,一天他在一座桥上碰见一个老人,老人对他说：“你只要走过这座桥再回来,你身上的钱就会增加一倍,但作为报酬,你每走一个来回要给我 32 个铜板 ”财迷算了算挺合算,就同意了他走过桥去又走回来,身上的钱果然增加了一倍,他很高兴地给了

37、老人 32个铜板这样走完第五个来回,身上的最后 32 个铜板都给了老人,一个铜板也没剩下问：财迷身上原有多少个铜板?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】第五次回来时有 32 个铜板,表明第五次走时有 16 个铜板（因为走到桥对面钱数要增加一倍）,又表明第四次回来时有 48 个铜板（因为要给老人 32 个铜板）依次类推即可推算过程可列表如下：所以原来有31个铜板【答案】31个【巩固巩固】 某人发现了一条魔道,下面有一个存钱的小箱子,当他从魔道走过去的时候,箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍,这人很高兴;当他从魔道走回来时,身上的钱会

38、飞到箱子里,使箱子里的钱增加一倍;这人一连走了 3 个来回后,箱子里的钱和人身上的钱都是 64 枚一元的硬币,那么原来这人身上有多少元?箱子里有多少元?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】已知这个人和钱箱里最后都有 64 元,采用倒推法解题,列表如下：所以最开始这个人身上有 43 元,箱子里有 85 元【答案】85元【例例 19】 学学和思思见到一种神奇的虫子,它每小时就长一倍,1 天能长到 20 厘米,聪明的小朋友,你知道小虫长到 5 厘米时需要多少小时吗?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】

39、小虫每小时长一倍的意思是：第二个小时的身长是第一个小时的 2 倍,第三个小时的身长是第二个小时的 2 倍,第四个小时的身长是第三个小时的 2 倍,1 天是 24 个小时,从 24 小时能长到 20 厘米开始,往前倒推,当长到20210(厘米)时,就是第 23 个小时,以此倒推(方法一)用倒推法解：20225(厘米),241 122 (小时)(方法二)用列表倒推法解：12【答案】22小时【例例 20】 桃园里来了第一群猴子,吃去桃子总数的一半又半个;第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个;第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有 100 个桃了.那么园中原有多少桃?【考点】单个

40、变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】第三群猴没吃,相应有桃：(1000.5)2201(个)第二群猴没吃,相应有桃：(2010.5)2403(个)第一群猴没吃,相应有桃(即桃园中原有桃)：(4030.5)2807(个)【答案】807个【巩固巩固】 山顶上有棵桃数,一只猴子偷吃桃子,第一天偷吃了总数的一半多 2 个,第二天又偷吃了剩下的一半多 2 个,这时还剩 1 个,问：树上原来有多少个桃子?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】2 122216（）(个).【答案】16个【巩固巩固】 某水果店进一批水果,运进的

41、是原来的水果的一半,原有的蔬菜卖出去一半以后,恰好与现在的水果同样多,已知原有的水果 800 千克,求原有的蔬菜多少千克?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】可逐步算出：运进水果8002400（千克）,现有水果8004001200（千克）,原有蔬菜120022400（千克）.【答案】2400千克【例例 21】 玩具店的玩具每卖出一半,就补充 20 个,到第十次卖出一半后恰好余下 20 个,则玩具店原有玩具_个.【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,二试,第 4 题,可逆思想方法【解析】202=40,4

42、02+20=40,所以前 9 次每次都剩 40 个,原有也是 40 个.【答案】40个【巩固巩固】 牧羊人赶一群羊过 10 条河,每过一条河时都有一半的羊掉入河中,每次他都捞上 3 只,最后清查还剩 6 只.这群羊在过河前共有 只.【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,二试,第 6 题【解析】用还原法,过第 10 条河之前,有（6-3）26 只,因此他过每一条河之前都有 6 只羊,最初也共有6 只.【答案】6只【巩固巩固】 牧羊人赶一群羊过 10 条河,每过一条河时都有三分之一的羊掉人河中,每次他都捞上 3 只,最后清查还剩 9 只.这群羊在过河前共

43、有_只.【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,六年级,二试,第 4 题13【解析】采用逆推的方法,最后剩的 9 只羊中有 3 只是上一次捞上来的,有 6 只是上次没有掉入河中的,也就是上次全部羊的23,那么可知前一次过河前羊的数量也是 9 只,同理可得最初羊的总数也是 9.【答案】9只【例例 22】 甲、乙、丙三人一起去钓鱼,他们将钓得的鱼放在一个鱼篓中,就在原地躺下休息,结果都睡着了.甲先醒来,他将鱼篓中的鱼平均分成 3 份,发现还多一条,就将多的这条鱼扔回河中,拿着其中的一份鱼回家了.乙随后醒来,他将鱼篓中现有的鱼平均分成 3 份,发现还多一条,也将多的

44、这条鱼扔回河中,拿着其中的一份鱼回家了.丙最后醒来,他也将鱼篓中的鱼平均分成 3 份,这时也多一条鱼.这三个人至少钓到_条鱼.【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】希望杯,六年级,一试,第 12 题【解析】根据题意画图分析如下： 当1a时,2317 bb,无法被 2 整除 当2a时,317 a,无法被 2 整除当3a时,3125ba,3128cb 三人至少钓得 3 8125 条 【答案】25条【巩固巩固】 有一堆棋子,把它四等分后剩下一枚,取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚,再取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚.问：原来至少有多少枚棋子?【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为 1 枚.由此逆推,得到第三次分之前有1 415 (枚),第二次分之前有54+121(枚),第一次分之前有21 4+1=85(枚).所以原来至少有 85 枚棋子.【答案】85枚