2022年中考数学第二轮复习专题讲解几何计算题选讲 .pdf

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1、学习必备欢迎下载八几何计算题选讲几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。一、三种常用解题方法举例例1如图， 在矩形 ABCD 中，以边 AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于 T，与对角线AC交于 P，PE AB于 E，AB=10，求 PE的长 . 解法一 ： （几何法）连结OT，则 OT CD ，且 OT=21AB 5BC=OT=5 ,AC=25100=55B

2、C是 O切线， BC2 =CPCA. PC=5， AP=CA-CP=54. PE BC ACAPBCPE，PE=55545=4. 说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件. 解法二 ： （代数法）PE BC ，ABAECBPE. 21ABCBAEPE. 设： PE=x，则 AE=2 x ，EB=10 2 x. 连结 PB. AB是直径， APB=900. 在 RtAPB中， PE AB， PBE APE . 21AEPEEPEB. EP=2EB ，即x=2（102x）. 解得x=4. PE=4. 说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可

3、供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系. 解法三：（三角法）连结 PB ，则 BPAC.设 PAB= 在 RtAPB中， AP=10COS ，在 RtAPE中， PE=APsin, PE=10sin COS . 在 RtABC中, BC=5,AC=55. sin =55555, COS =5525510. PE=10 55255=4. 说明：在几何计算中，必须注意以下几点：（1）注意“数形结合” ，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系. （2）注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边

4、推理边计算，力求解题过程规范化. （3）注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用. 二. 其他题型举例例 2. 如图，ABCD 是边长为2 a 的正方形， AB为半圆 O的直径，CE切 O于 E，与 BA的延长线交于F，求 EF的长 . 分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.OPABTCDEOBADCFE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载本题可用代数法求解. 解：连结OE ， CE切 O于 E， OE CF EFO BFC ，FBFEBCOE，又 OE=21A

5、B=21BC ， EF=21FB 设 EF=x，则 FB=2x，FA=2x2a FE切 O于 E FE2=FA FB ，x2=（ 2x2a） 2x解得x=34a，EF=34a. 例 3已知：如图，O1与O2相交于点A、B，且点O1在O2上，连心线O1O2交O1于点 C、D，交O2于点 E，过点 C作 CF CE ，交 EA的延长线于点F，若 DE=2 ，AE=52（1）求证： EF是O1的切线；（2）求线段 CF的长；（3）求 tan DAE的值 . 分析：（1）连结O1A，O1E是O2的直径，O1AEF ，从而知EF是O1的切线 . （2）由已知条件DE=2 ，AE=52，且 EA 、EDC

6、分别是O1的切线和割线，运用切割线定理 EA2=ED EC ，可求得 EC=10.由 CFCE ，可得 CF是O1的切线，从而FC=FA.在 Rt EFC中，设CF= x，则 FE= x+52. 又 CE=10 ，由勾股定理可得：（x+52）2= x2+102，解得 x=54.即 CF=54. （3）要求 tan DAE的值，通常有两种方法：构造含DAE的直角三角形；把求tan DAE的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化）.在求正切值时，又有两种方法可供选择：分别求出两线段（对边和邻边）的值；整体求出两线段（对边和邻边）的比值. 解： （1）连结O1A，O1E是O2的直径，O1A

7、EF EF是O1的切线 . （2） DE=2 ， AE=52，且 EA 、EDC分别是O1的切线和割线EA2=ED EC ， EC=10 由 CF CE ，可得 CF是O1的切线，从而FC=FA.在 RtEFC中，设 CF= x，则 FE= x+52. 又 CE=10 ，由勾股定理可得：（x+52）2= x2+102，解得 x=54. 即 CF=54. （3）解法一：（构造含 DAE的直角三角形）作 DG AE于 G ，求 AG和 DG的值 . 分析已知条件， 在 RtA O1E中，三边长都已知或可求（O1A=4，O1E=6） ，又 DE=2 ，且 DG A O1（因为 DG AE ） ，运用

8、平行分线段成比例可求得DG=,354,34AG从而 tan DAE=55. 解法二：（等角转化）连结 AC ，由 EA是O1的切线知 DAE= ACD.只需求tan ACD.易得 CAD=900，所以只需求ACAD的值即可 . 观察和分析图形，可得ADE CAE ，551052CEAEACAD. 从而 tan ACD=55ACAD，即 tan DAE=55. 说明：（1）从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性. 如本题（ 2）求 CF的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出CE的长 . BO1DCO2EAF精选学习资料 - - - - - - -

9、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载（2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握. 例 4. 如图， 已知矩形ABCD ，以 A为圆心， AD为半径的圆交AC、AB于 M 、E，CE的延长线交A于 F，CM=2 ，AB=4. （1）求 A的半径；（2）求 CF的长和 AFC的面积 . 解： （ 1）四边形ABCD是矩形， CD=AB=4 ，在RtACD中，AC2=CD2+AD2，（2+AD）2=42+AD2，解得 AD=3. （2）A作AG EF 于G. BG=3， BE=AB AE=1， CE=10132222BEBC由 C

10、E CF=CD2， 得 CF=105810422CECD. 又 B=AGE=900， BEC= GEA ，BCE GAE.AECEAGBC，即,3103AGSAFC=21CFAG=536. 例 5. 如图， ABC内接于O，BC=4 ，SABC=36， B为锐角，且关于x 的方程 x24xcosB+1=0 有两个相等的实数根 .D 是劣弧 AC上的任一点（点D不与点 A、C重合） ， DE平分 ADC ，交O于点 E，交 AC于点 F. （1）求 B的度数；（2）求 CE的长 . 分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化 . 解： （1）关于 x

11、的方程 x24xcosB+1=0 有两个相等的实数根， =（-4cosB ）2-4=0. cosB=21，或 cosB=-21（舍去） . 又 B为锐角， B=600. （2）点 A作 AH BC ，垂足为H. S ABC=21BC AH=21BC AB sin600=36，解得 AB=6 在 RtABH中， BH=AB cos600=621=3，AH=AB sin600=63323， CH=BC-BH=4-3=1. 在 RtACH中，AC2+CH2=27+1=28. AC=72（负值舍去）. AC=72. 连结 AE，在圆内接四边形ABCD 中， B+ADC=1800， ADC=1200.

12、又 DE平分 ADC ， EDC=600=EAC. 又 AEC= B=600， AEC= EAC ， CE=AC=72. 例 6. 已知：如图，O的半径为r ，CE切O于点 C，且与弦 AB的延长线交于点E，CD AB于 D.如果 CE=2BE ，且 AC 、BC的长是关于x 的方程 x23（r 2）x+ r24=0 的两个实数根 . 求（ 1）AC 、 BC的长；（2）CD的长 . 分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得ECB EAC ，AC=2BC. 又 AC 、 BC是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC 、BC的方程组求解.（2） CD是 RtCDB的一边，所以考虑

13、构造直角三角形与之对应 . 若过 C作直径 CF，连结 AF，则 RtCDB RtCAF ，据此可列式计算. 解： （1） CE切 O于 C ， ECB= A.又 E是公共角， ECB EAC ，21CEBEACBC， AC=2BC. 由 AC 、BC的长是关于x 的方程x23（r 2）x+ r24=0 的两个实数根， AC+BC=3（r-2 ） ；AC BC=r2-4 ，解得 r=6 ，BC=4，AC=8. （2）CO并延长交O于 F，连结AF，则 CAF=900， CFA=CBD. CDB=900=CAF ， CAF CDB ，BCCFCDAC.MAEBDCFGODBACEHFOAECDF

14、B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载CD=381248CFBCAC. 说明： （1）这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算； （2）构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试. 例 7. 如图， ABC内接于O，AB是O的直径， PA是过 A点的直线，PAC= B. （1）求证： PA是O的切线；（2）如果弦CD交 AB于 E ，CD的延长线交PA于 F，AC=CE EB=65，AEEB=2 3，求 AB的长和 FCB的正切值

15、. 解： （1） AB 是O的直径， ACB=900. CAB+ B=900，又PAC= B， CAB+ PAC=900. 即 PA AB ， PA是O的切线 . （2）设 CE=6a ,AE=2x, 则 ED=5a ，EB=3 x. 由相交弦定理，得2x3x=5a6a x=5a. 连结 AD.由 BCE DAE，得553EDEBADBC. 连结 BD.由 BED CEA ，得25AEBEACBD. BD=54. 由勾股定理得BC=228AB，AD=2)54(AB. 553)54(82222ABAB. 两边平方，整理得1002AB，10AB（负值舍去）. AD=52. FCB= BAD ， tan FCB= tan BAD=25254ADBD. 解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用，还特别要注意图形中的隐含条件，在平时的学习中要善于总结归纳，只有这样才能掌握好几何计算题的解法.POABCFD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页