2022年中考数学专题复习学生版第十八讲等腰三角形与直角三角形 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证，讨论角时应主要底角只被为角

2、】4、等边三角形的性质：等边三角形的每个内角都都等于等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、 等边三角形的判定：有三个角相等的三角形是等边三角形有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以

3、看作是的点的集合。2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一 个直角三角形的两直角边为a、 b 斜边为 c 则 a、b、c 满足逆定理： 若一个三角形的三边a、b、c 满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

4、- - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载直角三角形两锐角直角三角形斜边的中线等于在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法有一个角是的三角形是直角三角形有两个角的三角形是直角三角形如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：角的平分线例 1 （2013?丽水） 如图，在 RtABC中，A=Rt， ABC的平分线BD交 AC于点 D， AD=3 ，

5、BC=10 ，则 BDC的面积是泉州点评： 本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意： 角平分线上的点到角两边的距离相等对应训练1 （2013?泉州） 如图， AOB=70 ，QC OA于 C，QD OB于 D，若 QC=QD ，则AOQ= 考点二：线段垂直平分线例 2 （2013?义乌市）如图，AD BC于点 D， D为 BC的中点，连接AB， ABC的平分线交AD于点 O，连结 OC ，若 AOC=125 ，则 ABC= 天门点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记各性质是解题的关键对应训练2（20

6、13?天门）如图，在ABC中， AB=AC ， A=120， BC=6cm ， AB的垂直平分线交BC于点 M ，交 AB于点 E，AC的垂直平分线交BC于点 N，交 AC于点 F，则 MN的长为（）A4cm B3cm C2cm D1cm 考点三：等腰三角形性质的运用例 3 （2013?武汉）如图，ABC中，AB=AC ， A=36，BD是 AC边上的高，则DBC的度数是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载A18B24C30D36点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三

7、角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般对应训练3（2013?云南）如图，已知AB CD ，AB=AC ， ABC=68 ，则 ACD= 黔西南州考点四：等边三角形的判定与性质例 4 （2013?黔西南州）如图，已知ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且 CG=CD ，DF=DE ，则 E= 度点评： 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180以及等腰三角形的性质，难度适中对应训练4（2013?黄冈）已知ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至 E，使 CE=CD=1 ，连接DE ，则 DE= 昆明考点五：三角形中位线定理例 5 （2013?昆明） 如图，在 A

8、BC中，点 D， E分别是 AB ， AC的中点，A=50，ADE=60 ，则 C的度数为（）A50B 60C70D80点评： 本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形中位线定理的内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半对应训练5 （2013?厦门）如图，?ABCD 的对角线AC ，BD相交于点O，点 E，F 分别是线段AO ，BO的中点，若AC+BD=24 厘米， OAB的周长是18 厘米，则EF= 厘米考点六：直角三角形例 6 （2013?衢州）将一个有 45角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上 另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸

9、带的一边所在的直线成30角，如图，则三角板的最大边的长为（）A3cm B6cm C32cm D62cm 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载点评： 此题考查的知识点是含30角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边对应训练6 （2013?重庆）如图，在ABC中， A=45， B=30， CD AB ，垂足为D，CD=1 ，则AB的长为（）A2 B23C33 +1D3 +1衢州考点七：勾股定理例 7 （2013?扬州） 矩形的两邻边长的差为2， 对角线长为4， 则矩

10、形的面积为思路分析： 设矩形一条边长为x，则另一条边长为x-2 ，然后根据勾股定理列出方程式求出x 的值，继而可求出矩形的面积点评： 本题考查了勾股定理及矩形的性质，难度适中， 解答本题的关键是根据勾股定理列出等式求处矩形的边长，要求同学们掌握矩形面积的求法对应训练7（2013?莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2则最大的正方形E的面积是【聚焦山东中考】1 （2013?临沂）如图，四边形ABCD中， AC垂直平分BD ，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）AAB=AD BAC平分 BCD CAB=

11、BD D BEC DEC 枣庄2 （2013?枣庄）如图，ABC中， AB=AC=10 ，BC=8，AD平分 BAC交 BC于点 D，点 E为 AC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载的中点，连接DE，则 CDE的周长为（）A20 B 12 C14 D13 3 （2013?淄博）如图，ABC的周长为26，点 D，E都在边 BC上， ABC的平分线垂直于AE ，垂足为Q， ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若 BC=10 ，则 PQ的长为（）A32B52C3 D4 威海4 （2013?威海）如图，在A

12、BC中， A=36， AB=AC ，AB的垂直平分线OD交 AB于点 O，交 AC于点 D，连接 BD ，下列结论错误的是（）A C=2A BBD平分 ABC CSBCD=SBODD点 D为线段 AC的黄金分割点5 （2013?莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（ 1，3） ，M为坐标轴上一点，且使得MOA 为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A4 B5 C6 D8 6 （2013?滨州）在等腰ABC中， AB=AC ， A=50，则 B= 7 （2013?滨州）在ABC中， C=90， AB=7，BC=5 ，则边 AC的长为8 （2013?烟台）如图，?ABCD 的周

13、长为36，对角线 AC ，BD相交于点O 点 E是 CD的中点，BD=12 ，则 DOE的周长为9 （2013?泰安）如图，在RtABC中， ACB=90 ， AB的垂直平分线DE交 AC于 E，交 BC的延长线于F，若 F=30， DE=1 ，则 BE的长是烟台10（2013?烟台）如图，ABC中， AB=AC ， BAC=54 ， BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O ，将 C沿 EF（E在 BC上， F 在 AC上）折叠，点C 与点 O恰好重合，则OEC为度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下

14、载11 （2013?菏泽） 我们规定： 将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”， “面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”） 已知等边三角形的边长为2，则它的 “面径” 长可以是（写出 1 个即可）12 （2013?威海）操作发现将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30角的直角三角板 DEF的长直角边DE重合问题解决将图中的等腰直角三角板ABC绕点 B顺时针旋转30，点 C落在 BF上， AC与 BD交于点O ，连接 CD ，如图（1）求证： CDO 是等腰三角形；（2）若 DF=8 ，求 AD的长

15、【备考真题过关】一、选择题1（2013?成都）如图，在ABC中， B=C，AB=5 ，则 AC的长为（）A2 B3 C4 D5 2（2013?南充）如图，ABC中， AB=AC ， B=70，则 A的度数是（）A70B55C50D40精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载成都3 （2013?淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3 和 1，则此等腰三角形的周长为（）A5 B7 C5 或 7 D6 3B 4 （2013?长沙）下列各图中，1 大于 2 的是（）ABCD5 （2013?宜昌）如图，在矩形ABCD

16、 中， AB BC ，AC ，BD相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是（）A8 B 6 C4 D2 南平6 （2013?南平）如图，在ABC中， AB=AC ，DE BC ， ADE=48 ，则下列结论中不正确的是（）A B=48B AED=66 C A=84D B+C=967 （2013?遂宁）如图，在ABC中， C=90 ， B=30，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、 AC于点 M和 N，再分别以M 、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结 AP并延长交BC于点 D，则下列说法中正确的个数是（）AD是 BAC的平分线；ADC=60 ；点D在 AB的中垂线上

17、；SDAC：S ABC=1：3A1 B2 C3 D4 8 （2013?铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0 的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A5.5 B5 C4.5 D4 9 （2013?柳州）在ABC中， BAC=90 ， AB=3 ，AC=4 AD 平分 BAC交 BC于 D，则 BD的长为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载A157B125C207D21510 （2013?德宏州）在RtABC中， C=90 ， AB=10若以点 C为圆心

18、， CB为半径的圆恰好经过 AB的中点 D，则 AC= （）A5 B52C53D6 11（2013?大庆）正三角形ABC的边长为 3，依次在边AB 、BC 、CA上取点 A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则 A1B1C1的面积是（）A34B3 34C94D9 3411 B 12 （2013?鄂州）如图，已知直线ab，且 a 与 b之间的距离为4，点 A到直线 a 的距离为2，点 B到直线 b 的距离为3，AB=230试在直线a 上找一点M ，在直线 b 上找一点N，满足 MN a 且 AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB= （）A6 B8 C10 D12 12 B 二、

19、填空题13 （2013?徐州）若等腰三角形的顶角为80，则它的底角度数为（）A80B50C40D2013 B 14 （2013?白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为14 6，4 或 5，515 （2013?广州）点P在线段 AB的垂直平分线上，PA=7 ，则 PB= 15 716 （2013?长沙）如图，BD是 ABC的平分线， P为 BD上的一点， PE BA于点 E，PE=4cm ，则点 P到边 BC的距离为 cm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载16 4 17 （2013?宿

20、迁）如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B 间的距离，在地面上确定点O，分别取 OA 、OB的中点 C、D，量得 CD=20m ，则 A 、B之间的距离是 m17 4018 （2013?漳州）如图，正方形ODBC 中，OC=1 ，OA=OB ，则数轴上点A表示的数是18 -219 （2013?泰州）如图，ABC中， AB+AC=6cm ，BC的垂直平分线l 与 AC相交于点D，则ABD的周长为 cm19 6 20 （2013?资阳）在矩形ABCD中，对角线AC 、BD相交于点O ，若 AOB=60 ， AC=10 ，则AB= 20 521 （2013?吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐

21、标分别为（-6 ，0） 、 （0，8） 以点 A为圆心，以AB长为半径画弧，交x 正半轴于点C，则点 C的坐标为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载21 （4，0）22 （2013?锦州）在ABC中， AB=AC ，AB的垂直平分线DE与 AC所在的直线相交于点E，垂足为 D，连接 BE已知 AE=5 ， tan AED=34，则 BE+CE= 22 6 或 16 23（2013?无锡）如图，ABC中， AB=AC ， DE垂直平分AB ， BE AC ， AFBC ， 则EFC= 23 45 24

22、（2013?哈尔滨）在ABC中，AB=22，BC=1，ABC=45 ，以 AB为一边作等腰直角三角形 ABD ，使 ABD=90 ，连接CD ，则线段 CD的长为245或13525 （2013?沈阳）已知等边三角形ABC的高为 4，在这个三角形所在的平面内有一点P ，若点 P 到 AB的距离是1，点 P 到 AC的距离是2，则点P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是25 1，7 26 （2013?鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒

23、中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来若AB=20cm ，则画出的圆的半径为 cm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载26 10 三、解答题27（2013?湘西州）如图，RtABC中， C=90 ， AD平分 CAB ， DE AB于 E，若 AC=6 ，BC=8 ，CD=3 （1）求 DE的长；（2）求 ADB的面积27解：（1） AD 平分 CAB ，DEAB ， C=90 ，CD=DE ，CD=3 ，DE=3 ；（2）在 RtABC 中，由勾股定理得：AB=22ACBC=2268=

24、10， ADB的面积为S ADB=12AB?DE=12103=1528 （2013?永州）如图，M是 ABC的边 BC的中点， AN平分 BAC ，BN AN于点 N，延长 BN交 AC于点 D，已知 AB=10 ，BC=15 ，MN=3 （1）求证： BN=DN ；（2）求 ABC的周长28解：（1）在 ABN和 ADN中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载12ANANANBAND， ABN ADN ，BN=DN （2） ABN ADN ，AD=AB=10 ，DN=NB ，又点 M是 BC中点，MN是 BDC的中位线，CD=2MN=6 ，故三角形ABC的周长 =AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页