2022年二次根式知识点及典型例题 .pdf

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1、801班数学课堂讲义第 1 页第 17 章:二次根式第一课时 : 二次根式的概念与性质知识点 1:二次根式的定义 : （1） 形如a (a0)的式子叫做二次根式。（2）a (a0)表示非负数 a 的算术平方根（3） 二次根式的要求根指数为2 被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是非负数类型一：二次根式的识别例 1：已知式子232131041,xa; ; ; ; ; 其中一定是二次根式的是。知识点 2:二次根式中字母的取值范围：（1） 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。（2） 二次根式无意义的条件：被开方数小于0 （3） 二次根式做分母时 : 被开方数大于 0. 类

2、型一：求字母的取值范围例 1：x 取何值时，下列各式有意义？131(1)5(2)62215016.60165630122102201312221xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：（）由题意知解得 5 且所以当 5 且时有意义（）由题意知解得 x 3 且 x 2所以当 x 3 且 x 2 时有意义类型二：根据字母隐含的的取值范围，求代数式的值（较难）例 2：22441,2xxxyyxyx若 、 为实数，且求的值2222222440440, 14,20,2,4xxxxxxxxxy分析：要使有意义，则 ，即4,要使有意义，则即4,所以又因为所以精选学习资料 - - - - - - - - -

3、 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页801班数学课堂讲义第 2 页22240404,120,241932442xxxxxyxy解: 由题意知 : 且又知识点 3：二次根式的性质：（1）双重非负性：被开方数为非负数，即a0；二次根式的值为非负数，即a0（2）两个性质：性质 1： （a）2= a（a0）语言叙述：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。或叙述为：一个非负数先开平方再平方等于这个数本身。性质 2：2(0)(0)aaaaaa语言叙述：一个数先平方再开平方等于这个数的绝对值。22222222221=2(0),)(0)1a(0)(0)(0)(0)xaxaxax

4、aaaxaaaaxxaxaaxxxaaaaaaaaa证明：性质：设则或把代入式得（）把代入式得（-）性质：设两边平方得：(由性质得：所以所以类型一：简单的计算与化简例 1：计算与化简22222222222222(1)(23) ;(2)(8)(3)(12)43)(23) =2(3)43=12. (2)( 8)88( 8)883)(12)1221(12)(21)213(0)43) =33(0)xxxxxxx（）（解 :(1)或（或（）（类型二：在实数范围内因式分解例 2：在实数范围内因式分解。22222222(1)3(2)1611(1)3=( 3)(3)(3);(2)1611(4 )( 11)(4

5、11)(411)abaaaabbbb解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页801班数学课堂讲义第 3 页注：性质1 的逆用：2()(0)aaa类型三 : 利用非负数定理进行的较复杂的计算例 3: 已知实数 x、y、z 满足21220,4xyyzzz求 x+y+z 的值。22214141122122()02112020 ()0 22() =022011120()04420 xyyzzxyyzzxyyzzxxyyzyxyzzz解：原式化为：因为，且所以解得所以注：非负数定理: 几个非负数和为0，则这几个非负数均为0.

6、类型四 : 根字母的取值范围、字母隐含的的取值范围、图象或三角形三边关系等及公式2(0)(0)aaaaaa进行较复杂的化简例 4：化简222(2)69(23)xxxxx:230,20,30=23(2)(3)353 =(3)3xxxxxxxxxxxxxx解原式注：例 5：化简：22441( 23)xxx2222441=21)212100.23230 23210441=21)21 =21=(21)(23)21232xxxxxxxxxxxxxxxxxx分析：（要脱掉绝对值符号必须知道是大于 ，还是小于解：由知 所以 ，从而又（原式例 6：实数 a,b 在数轴上数轴上位置如图所示，化简2()abba0

7、,00,0=()()2abababbaabbaabbaabbaa解：由图象可知：且原式例 7：若 a、b、c 为ABC 的三边长，化简222()()()abcabccaba b 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页801班数学课堂讲义第 4 页ABC,0,0,0=()()()3aabcacbcababcabccababcabccabbcaabcabcabc解：、b、c是的三边原式类型五 : 复杂问题的分析方法之一: 从特殊到一般例 8：已知 m 、n 是两个连续的自然数（ mn ）, 且 q=mn, 设,pqnq

8、mp则 是奇数还是偶数？2223323232325分析：对于复杂问题我们可从特例入手，寻找解题的方向。如取 m=2,则n=3,p=2222,(1)qmm mmmPnmnmnmmnnmp解: 由题意知：n=m+1, 则 q+n=n(n-1)+n=n所以因为、为连续的自然数，所以m 、n中必定有一奇一偶。所以必定为奇数，所以总是为奇数注：对于性质2：2(0)(0)aaaaaa一定要分两步走，这样避免出错。知识点 4：2()a与2a 的不同点与联系不同点：从运算顺序来看:2()a先开方后平方2a先平方后开方注：2()a表示一个正数a 的算术平方根的平方，而2a表示一个实数a 的平方的算术平方根；从取

9、值范围来看：22() :0:0aaaa可以是正数、 、负数。从运算结果看：（a）2= a（a 0）2(0)(0)aaaaaa联系：当被开方数都是非负数，220)aaaa即 时(220)aaaaa当 时(无意义，而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页801班数学课堂讲义第 5 页第二课时：二次根式的运算知识点 5：二次根式的性质3（二次根式的乘法法则） ：)0,0(baabba。语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。注： （1）公式逆向运用可得：)0, 0(babaab语言叙述：积的算术平方根，等于积中各

10、因式的算术平方根的积。（2）,0,0a bab千万注意公式中必须满足 ，否则易出错222=)()()ababa b证明：左边（右边得证注：证明时性质2 的逆用：2(0)aaa(3) 最后的结果必须是最简的。如：842422 2133311133=3933393333或类型一：公式成立的条件例 1：等式2111xxx成立的条件是什么？2111(1)(1)10,10 xxxxxxx分析 :1 01,110 xxxx解：由题意知：解得： 故成立的条件是：例 2计算：.（-9)(-25)=925( 3)( 5)15=9259253515小南的解是：（-9)(-25)小颖的解是：（-9)(-25)请你判

11、断正误，并说明理由。解：小颖的解题过程正确，小南的解题过程是错误的。小南没有考虑到公式abab 的成立条件：0,0ab. 即925、都是没有意义的。类型二：二次根式比较大小例 3：比较2 33 2和2 3434 3123 29292182 3( 3 2)121802 33 22 33 22 33 2解：方法二：作差比较法（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页801班数学课堂讲义第 6 页例 4：比较111412+ 13与的大小2222( 1114)( 1213)(252 154)(252 156)2( 154156

12、)0( 1114)( 1213) ,11141213解：例 5：比较2(0,0)abab ab与222()2()2()()02=ababaabbabababab解：（当且仅当时，取 “ ”）注：比较大小最常用的方法是作差比较法，其次是作商比较法。例4 不是直接作差比较，而是先平方再作差比较。类型三：二次根式的简单计算与化简例 6：计算1(1)32;(2)6 8( 3 2);(3) 156202132=164282184722(3)1562018009002302解： (1) 原式 =（ ）原式 =6 (-3)原式例 7化简：346(1) 2418;(2)535abcaabca334224182

13、4 18463612 34682 22535255aaa aaaabcbca解： (1) 原式（ ）原式类型四：挖掘字母的隐含条件进行较复杂的二次根式化简. 例 8. （1）已知 xy0,所以a0 原式原式注：只能把正数由根号外移入根号内，负数中负号的一定要写在根号外。类型六：二次根式的估算（主要采用放缩法）例 11. 计算132252的结果估计在7 至 8 之间 ( 填整数) 1322516104109101623104434104474108分析：原式例 12. 求2(nn n为正整数）的整数部分。2222222221211nnnnnnnnnnnnnnnnn解：的整数部分为类型七：利用乘法

14、公式进行复杂的二次根式化简。例 13.2252,52,7abab已知求的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页801班数学课堂讲义第 8 页2222222222()242 (54)18187255()2(2 5)2(54)18(544 5)(544 5)18ababababababab解:原式注: 或或例 14.2221,21,xyxxyy若求的值。2222221)( 21)2,21)( 21)( 2)11()323 17()(2 2)1817xyxyxyxyxyxy解：（原式注：方法二 : 原式练课课练P8 第 5

15、题：221111(75),(75),222xyxxyy已知求的值 .答案：课课练 P9 达标 3：221,212xxx已知求的值。 答案：知识点 6：二次根式的性质4（二次根式的除法法则） ：(00aaabbb ， ）语言叙述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。注： （1）公式逆向运用可得：(00aaabbb ， ）语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。（2）,0,0a bab千万注意公式中必须满足 ，否则易出错222()()()aaabbb证明：左边右边得证注：证明时性质2 的逆用：2(0)aaa(3) 最后的结果必须是最简二次根式：见知识点7 类型一

16、：公式成立的条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页801班数学课堂讲义第 9 页22299341.,(1)616909969.6066810(4)(1)(1)(1)(4)(1)(1)(8 1) (84)9 126 3xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx例 已知且 为偶数，求的值解：要使成立，必须解得：又因为 为偶数，所以从而原式类型二：二次根式的简单计算与化简3332.33732634(1) 2(2)1(3)127(4)1849943313113113164648=2=497934991212(3)

17、=131341321343344444)= 18= 18=32=162=423333例计算解： (1) 原式（ ）原式原式（原式32223223.3211(1)(0)(2)(0,0)(3)(4)2254324 24 2(0)55251111(2)=(0,0)()bbxababaxaabaxxxxbabababa ab aba ba baabaab例化简解:(1) 原式 =原式2(0)(3)(0)babbaaabaa原式321933(4)2004422aaaaaaaa ，原式类型三：二次根式大小的比较精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9

18、 页，共 14 页801 班数学课堂讲义第 10 页5554.,.77725252525755,4974949749525257494949abcabcabccab例若用“”把 、 、 连接起来解：又知识点 7：最简二次根式与分母有理化1. 最简二次根式应满足的条件为：(1) 被开方数的因数是整数，因式是整式且二次根式不做分母(2) 被开方数中不得含有开得尽方的因数或者因式。如84 2422 21333133=393393332.二次根式的分母有理化：2222()(0)()()am aam an bm an baa aab abab分母有理化因式 (1) 分母为单项式：或（ ）分母为多项式：注

19、：利用公式和公式来去掉根号 .类型一：最简的二次根式的识别例 1. 下列二次根式中，是最简的二次根式的有232221246870924xnmxaxxmn322333333222233(111(0)(0)xxxxxxxxxmnmnnmmnmnmnmnm nmnmnmnmn分析 :）因为隐含了1这个条件类型二：已知最简二次根式，求字母取值。例 2.232235xyxyxy若和都是最简二次根式，求、 的值 。21132212xyxxyy解：由题意知解得类型三：简单的分母有理化。例 3.,3*5aa babb定义试求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

20、 -第 10 页，共 14 页801 班数学课堂讲义第 11 页331563*5351515155555解：注：二次根式前面的系数要写成假分数的形式，不能写成带分数。如本题中6155中的系数65不能写成115。335155555另外。练课课练 P6中考 22132412)3 3362化简:（答案：例 4. 若121,xxx求的值. 22111 (21)212121(21)(21)(2)1( 21)(21)2 2x解：原式练课课练 P7达标 2：2(57)237计算答案：练课课练 P9达标 4：123,23abab若则 与 的关系是a=b类型四：11nnnn与互为倒数的应用：计算与比较大小。22

21、11)()(1)(1)111nnnnnnnnnnnn证明：()(与互为倒数 .注：111111nnnnnnnn由证明可知：例 5. 计算：1111() (20121)2132432012201122(21324320122011)(20121)(20121)( 20121)(2012)1201212011解：原式注： 裂项相消法是解决带省号问题的常用方法。11 1111()(2)()()nknn nkknnkknkn常用的裂项技巧：(1)练课课练 P9课堂 3：化简：111121324320102009精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

22、 11 页，共 14 页801 班数学课堂讲义第 12 页练课课练 P12第 8 题：猜想并证明：11nnnn与的大小。知识点 8：同类二次根式的概念及二次根式的加减与混合运算。1同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则称它们为同类二次根式。（即：先化简最简二次根式；再判断被开放数相同）2. 二次根式相加减：先把每个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别进行合并。解答二次根式加减问题的三步曲：即“先化简再判断最后合并”。3二次根式的混合运算顺序：与整式运算的顺序类似，先做乘方、开方，再做乘除，最后做加减，有括号的先算括号里面的。在二次根式的运算中，整式的运算律及

23、乘法公式仍然适用。类型一：同类二次根式的识别例1.下列二次根式中，与5 3 是同类二次根式的是（ D）A.18. 0.3. 30. 300BCD223303018323 20.330010310 31010010分析:类型二：根据同类二次根式求字母的值。例 283a baabab若与最简二次根式是同类二次根式，求、 的值.82,82 233222312abaabaaaabaabaaba解: 由是二次根式得又又由同类二次根式得 2联立方程组，得解得318122 333,22a baabab且此时，符合题意 . 故练习：最简二次根式24328b aabab与能否为同类二次根式？若能求出ab、的值，

24、若不能，请说明理由。答案：23171,432822b aababab求出，但此时与均为不是最简二次根式，不合题意，舍去。故满足条件的ab、不存在。类型三：简单的二次根式混合运算。例 3计算11(1)( 12)2(27)2831(2) (512)34223(3)3( 9 45)342014422(20023)12（ ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页801 班数学课堂讲义第 13 页215( 9)453415 3645 32解：原式1216(22)1(12)(12)16221(12)16解：原式例 4. 化简53

25、23(1)() 32aaba bbb21(2)96234xxxx5322222223()3299()9aaba bbba baba baba b abbb解：原式2362322323xxxxxxxxx解：原式类型四：利用因式分解约分简化计算325. (1)(2)aa bababaababaabab例()()()()aaabababaababaabb解： (1) 原式(2)()1aabaababababababab原式类型五：先分母有理化再用乘法公式进行复杂的二次根式化简.例 6: 已知:121x，121y，求22243yxyx的值. 12121212121(21)(21)12121212121

26、(21)(21)xy解：223( 21)4( 21)( 21)2( 21)3(212 2)42(212 2)192 2原式类型六：利用性质2 进行复杂的二次根式化简例 7：已知：的值；求aaaaaaaa22212121,31精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页801 班数学课堂讲义第 14 页解 :31a01311a221(1)(1)(1)11111(1)(1)(1)aaaaaaaaa aa aa aa原式当3334313111,31aaa原式时. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页