2022年二元一次方程组的应用 .pdf

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1、学习必备欢迎下载课题：二元一次方程组的应用（教师用）一、解应用题的关键点：利用二元一次方程组解有关的应用题时，对应用题进行观察和分析，要着重注意如下三点：(1) 题中有哪几个未知数 (包括明显的未知数和隐含的未知数) ？(2) 题中的未知数与已知内容之间有哪几个相等关系( 包括明显的相等关系和隐含的相等关系 ) ？题中有几个未知数，一般就要找出几个相等关系. (3) 设立哪几个未知数， 利用哪几个相等关系， 可以较方便地把其余未知数用所设未知数的代数式表示出来？( 利用剩下的等量关系列方程组.) 二、常见几类应用题及其基本数量关系明确各类应用题中的基本数量关系，是正确列出方程的关键. 常遇到的

2、几类应用题及其基本关系如下：（1）等积类应用题的基本关系式：变形前的体积（容积）变形后的体积（容积）。（2）调配类应用题的特点是：调配前的数量关系，调配后又有一种新的数量关系。（3）利息类应用题的基本关系式：本金利率利息，本金利息本息。（4）商品利润率问题：商品的利润率，商品利润商品售价商品进价。（5）工程类应用题中的工作量并不是具体数量，因而常常把工作总量看作整体1，其中，工作效率工作总量工作时间。计划数量超额百分数=超额数量计划数量实际完成百分数 =实际数量(6). 行程问题：基本关系式为: 速度时间 =距离相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程乙走的路程总路程。精选学习资料 - - -

3、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程前者走的路程两地间的距离。环形跑道题：甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的。甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。飞行问题、基本等量关系：顺风速度无风速度风速逆风速度无风速度风速航行问题，基本等量关系：顺水速度静水速度水速逆水速度静水速度水速（7）. 工程问题：基本关系式为: 工作效率工作时间=工作总量计划数量超额百分数=超额数量计划数量实际完成百分数=实际数量（8）百分比

4、浓度问题：基本关系式为: 溶液百分比浓度=溶质（9）混合物问题：基本关系式为: 各种混合物重量之和=混合后的总重量混合前纯物重量=混合后纯物重量混合物重量含纯物的百分数=纯物的重量（10）. 倍比问题，要注意一些基本关系术语，如：倍、分、大、小等. （11 ）比例类应用题：若甲、乙的比为2：3，可设甲为2x ，乙为 3x 。（12 ），数字类应用题基本关系：若一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为 c，则这三位数为：,100a+10b+c 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载三、 例题精

5、析（ 1）直接设元例 1. 某单位外出参观. 若每辆汽车坐45 人，那么15 人没有座位；若每辆汽车坐 60 人，则恰好空出一辆汽车，问共需几辆汽车，该单位有多少人？思考如下：（1）题目中的已知条件是什么？（2）“有人没有座位”是指什么意思？“有空座位”是指什么意思？3. 基于上述分析，那么已知条件“每辆车坐45 人， 15 人没有座位”可理解成什么？“每辆车坐60 人，恰好空出一辆车”又可理解成什么？解：设该单位共有x 辆车， y 个人 . 依题意，得例 2. 汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45 千米，就要延误小时到达；若每小时行驶50千米，就可以提前小时到达。求甲、乙两地间的距离及原计划行

6、驶的时间。思考问题：（1）路程、速度、时间三者关系是什么？（2）本题中的“延误”和“提前”都是以什么为标准的？（3）基于上述分析，那么已知条件“汽车每小时行使45 千米，则要延误小时到达目的地”可理解成什么？已知条件“若每小时行使50 千米，就可以提前小时到达目的地”又可理解成什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载解： 设甲、乙两地的距离为x 千米，原计划行驶时间为y 小时 . 依题意，得。例 3. 甲、 乙两人从相距36 千米的两地同时相向出发，经过 4 小时 30 分钟相遇， 如果乙先走 2

7、小时，然后甲再出发，这样甲经过3 小时 40 分钟与乙相遇，求甲、乙两人的速度。分析：此题是行程问题中的相遇问题。题中有两个未知量：甲、乙两人的速度。有两个等量关系：（1）甲、乙二人4 小时所走的路程=36 千米；（2）甲 3 小时所走的路程+乙(2+3 ) 小时走的路程=36 千米。解：设甲、乙二人的速度分别为x 千米 / 时， y 千米 / 时。根据题意，得例 4. 甲、乙两人在周长是400 米的环形跑道上散步. 若两人从同地同时背道而行，则经过2 分钟就相遇 . 若两人从同地同时同向而行，则经过 20 分钟后两人相遇. 已知甲的速度较快，求二人散步时的速度.( 只列方程，不求出) 分析：

8、 这个问题是环形线上的相遇、追及问题 . 其中有两个未知数：甲、乙二人各自的速度.有两个相等关系，即(1) 背向而行：两次相遇间甲、乙的行程之和=400 米；(2) 同向而行：两次相遇间甲、乙的行程之差=400 米 . 解：设甲人速度为每分钟x 米，乙人速度为每分钟行走y 米. 依题意， 得例 5. 某纸品厂加工甲、乙二种无盖的长方体小盒如图（1），利用边角料裁出正方形和长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等，如图（2）。现将 150 张正方形硬纸片和 30

9、0 张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？解: 法（一）设可以制作甲种小盒x 个，乙种小盒y个根据题意列出方程组解：法（二）设制作甲种小盒用去x 张正方形硬纸片，制作乙种小盒用去y 张正方形硬纸片，那么可制作甲种小盒 x 个，乙种小盒 Y/2 个根据题意列出方程组：四、例题精析（2）合理选择，间接设元列方程解应用题的第一步是设未知数，设未知数的方法很多，有时可直接设所求量为未知数， 有时应间接地设未知数，还有的时候需要增设辅助未知数. 那么，如何巧设未知数，以达到迅速解题的目的呢？合理选择，间接设元许多同学在解应用题时只考虑题目要求什么就设什么为未知数. 这种方

10、法有时很难寻找已知量与未知量之间的相等关系. 因此，我们应根据题目条件选择与要求的未知量有关的某个量为未知数，以便找出符合题意的相等关系，从而达到解题的目的. 例 1. 从夏令营到学校，先下山然后走平路，某同学先骑自行车以每小时12 千米的速度下山，而以每小时9 千米的速度通过平路，到达学校共用55 分钟，他回来的时候以每小时 8 千米的速度通过平路而以每小时4 千米的速度上山回到夏令营用了1 小时。从夏令营到学校有多少千米？分析：根据题设条件，若设山路长为未知数x，则由来回的平路长相等得方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页

11、，共 13 页学习必备欢迎下载9 ；同样可设平路长为未知数，由来回山路长相等得方程 12 还可设山路长和平路长分别为x 千米，y 千米， 由来回的时间关系建立二元一次方程组或设下山和上山的时间分别为x 小时， y 小时 . 由来回山路长和平路长分别相等得到二元一次方程组五、例题精析（ 3）设而不求，巧用辅助量当应用题中涉及的量较多，各个量之间的关系又不明显时，可适当地增设辅助未知数，有的不是要具体地求出它们的值，而是以此作桥梁，沟通各个数量之间的关系，为列方程 ( 组)创造条件 . 在解题过程中需将辅助未知数消去，以便求出所需未知数的值. 例 1. 一客轮逆水行驶，船上一乘客掉了一件物品，浮在

12、水面上，等乘客发现后，轮船立即掉头去追，已知轮船从掉头到追上共用5 分钟，问乘客丢失了物品，是几分钟后发现的？解 设 x 分钟后发现掉了物品，船静水速为V1，水速为V2，由题意得(x 5)V2x(V1-V2) 5(V1V2) ，xV2+5V2xV1-xV25V1+5V2，xV15V1， V10， x 5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载答：乘客5分钟后发现掉了物品. 注：这里的辅助未知数是V1和 V2. 例 2. 一只船发现漏水时，已进了一些水，现水匀速进入船内. 如果 10 人淘水， 3 小时

13、可淘完， 5 人淘水 8 小时淘完，如果2 小时淘完水，需要多少人淘水. 解 设 2 小时淘完水需x 人，一人淘水量为y，每小时进水量为z，再设原进水量为a，由题意得(2)-(1)得 5z=10y ，z2y，(4) (2) (3) 得 6z=2y(20-x)，(5) 把(4) 代入 (5) 得 62y2y(20-x)，解得 x=14. 答： 2 小时淘完水需14 人 . 注：这里的y，z，a 是设而不求的辅助未知数. 例 3. 甲班与乙班共83 人，乙班与丙班共86 人，丙班与丁班共88 人，问甲班和丁班共多少人？( 首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题) 解 设甲、乙、丙、丁班各有人数a、b

14、、c、d，由题意得(1)-(2)+(3)得 a d=85 人. 答：甲班和丁班共有85 人. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载例 4. 一只小船顺流航行从甲码头到乙码头需a 小时，逆流航行这段路程需b 小时，那么一木块顺水漂流这段路程需_小时 . 解：设甲、乙两个码头的距离是S公里，小船在静水中的速度为x 公里 / 小时，水流速度为 y 公里 / 小时，依题意得即由(1)-(2)得答：一木块顺水漂流这段路程需小时。例 5. 有一片牧场，草每天都在均匀地生长( 草每天增长的量相等) ，如果放牧24

15、头牛，则 6 天吃完牧草，如果放牧21 头牛，则8 天吃完牧草，设每头牛吃草的量相等。如果放牧 16 头牛，几天可以吃完牧草？解： (1) 设这片牧场原有草量为a，每天生长的量为b，每头牛每天吃草量为c，16 头牛在 x天内可以吃完牧草，则由(2)-(1)得 b=12c (4) 由(3)-(2)得(16x-168)c=(x-8)b (5) 将(4) 代入 (5) 得 x=18. 答：如果放牧16 头牛， 18 天可以吃完牧草。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载六、练习题1. 某所中学现有学生4200

16、 人，计划一年后初中在校生增加8%,高中在校生增加11% ，这样全校在校生将增加10% ，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数依次是（）A、1400 和 2800 B、1900 和 2300 C、2800 和 1400 D、2300 和 1900 评析：根据题的条件列方程组。设初中生x人，高中生y人，可得方程组，解得故选 A。说明： 该题也可列方程8% x+(4200-x) 11%=4200 10% 来解。2有资料显示，美洲是世界上贫富差别最大的地区，美国的人均国内生产总值，比海地与墨西哥的人均国内生产总值的和还要多23800 美元，美国的人均国内生产总值是海地的45倍与墨西哥的4 倍之和

17、， 达到 29000 美元。 海地与墨西哥的人均国内生产总值的比例中项是尼加拉瓜的人均国内生产总值的倍，并且尼加拉瓜的人均国内生产总值高于海地的人均国内生产总值。问尼加拉瓜的人均国内生产总值是多少美元? 评析。该题中等量关系，一是美国的人均国内生产总值比海地与墨西哥人均国内生产总值的和多 23800 美元，二是美国的人均国内生产总值是海地的45 倍与墨西哥的4 倍之和。 29000是美国的人均国内生产总值，因此可列方程组求出海地、墨西哥的人均国内生产总值，再根据比例中项的意义求出尼加拉瓜的人均国内生产总值。解题过程如下：解：设海地的人均国内生产总值为x美元， 墨西哥的人均国内生产总值为y美元，

18、依题意，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载解这个方程组，得，xy=1000000。其比例中项为1000。依题意舍去负值，得尼加拉瓜的人均国内生产总值为500 美元。答：尼加拉瓜的人均国内生产总值为500 美元。3 把浓度分别是90% 和 60% 的甲乙两种酒精溶液，配制成浓度为75% 的消毒酒精溶液500 克，求甲、乙两种酒精溶液各取多少克？评析： 该题是一个溶液配比中的合二为一问题，对于此类问题要把握两点，一是配制过程中两种溶液的质量和是配制后溶液的质量。二是在配制过程中纯酒精的量不变。所以可设

19、甲为x克，乙为y克，列方程组解方程组即可。解：设甲种酒精取x克，乙种酒精取y克根据题意得解得答：两种酒精各取250 克。另解：设甲种酒精取x 克，根据题意得方程90%+60%(500-x)=75%500 解得：x=250，500-x=500-250=250 4. 我区某学校原计划向内蒙察右后旗地区的学生捐赠3500 册图书，实际共捐赠了4125 册，其中初中学生捐赠了原计划的120% ，高中学生捐赠了原计划的115% 。问初中学生和高中学生各比原计划多捐赠了图书多少册? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备

20、欢迎下载解：设初中学生原计划捐赠x册，高中学生原计划捐赠y册。根据题意，得整理得： x= 82500-23（x+y）=82500-23 3500=2000 y=3500-2000=1500 ( -1)x=400；（-1 ）y=225。答：初中学生比原计划多捐赠了400 册，高中学生比原计划多捐赠了225 册。5. 某河上游的A地，为改善流域环境，把一部分牧场改为林场，改变后，林场与牧场共有162 公顷，牧场面积是林场面积的20% ，请你用两种方法计算，退牧还林后林场面积为多少公顷？解. 设退牧还林后，牧场面积、林场面积各为x 公顷， y 公顷，依题意得解之得：6 某公园有东、西两个门，开园半小

21、时内东门售出成人票65 张，儿童票12 张，款 568元，西门售出成人票81 张，儿童票8 张，收票款680 元。问此公园成人票、儿童票每张售价各几元？解：设成人票每张售价x 元，儿童票每张售价y 元，根据题意，得解之得：7 小李和小张买了同样数量的信纸和同样数量的信封。小李用自己买的信纸和信封写了一些信，每封信都用一张信纸；小张也用自己买的信纸写了一些信，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载但每封信都用了三张信纸；结果小李用掉了所有信封但余下50 张信纸，而小张用掉了所有的信纸而余下了50 个信封

22、，那么他们每人买了多少个信封和多少张信纸？解：设每人买了 x 个信封， y 张信纸。根据题意，得整理得解这个方程组，得七、课堂小结1列二元一次方程组解应用题的步骤：（1）审题，熟悉题目中的实际意义和题目中各种量之间的基本关系，正确找出未知数和已知数之间的等量关系。（2）根据等量关系，列出方程并组成方程组。（3）解这个方程组，求出未知数的值。（4）检查所得的结果是否正确、合理。（5）写出答案。2注意：（1）设几个未知数，就要找出几个相等关系，列出几个方程。（2）在解应用题的最后，要检查所得的解是否适合原方程组的每一个方程，还要检查这些解是否符合题意。八、课外作业1.王大伯承包了25 亩土地，今年

23、春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000 元。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载其中种茄子每亩用了1700 元，获纯利2400 元；种西红柿每亩用了1800 元，获纯利2600元。问王大伯一共获纯利多少元？2、在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000 辆”；乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000 辆”；丙同学说：

24、“三环路车流量的3 倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2 倍”；请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？3、已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。4. 某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452 元，且随身听的单价比书包单价的4 倍少 8 元。（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100 元返购物券30 元销售（不足100 元不返券，购物券全场通用），但他只带了400 元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页