2022年现代控制理论试卷答案与解析 .pdf

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1、现代控制理论- - 现代控制理论试卷作业一 图 为 R-L-C 电 路 ，设u为 控 制 量 ，电 感L上 的 支 路电 流11121222121212010YxURRRRYxRR RRRR和电容 C 上的电压2x为状态变量，电容 C上的电压2x为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）。解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。以电感 L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,Lcix ux，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：22210R C xxL x?1121()0RxC xL xu?从上述两式可解出1x?，2x?，即可得到状

2、态空间表达式如下：121121212()()R RxRRLRxRRC?121121221212()()11()()RRxRRLRRLuxRRCRR C21yy=211212110RRRRRRR21xx+uRRR2120二、考虑下列系统：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页现代控制理论- - （a）给出这个系统状态变量的实现；（b）可以选出参数K（或a）的某个值， 使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。解： （a）模拟结构图如下：13123312312321332133xukxxxukxxxxaxy

3、xx?则可得系统的状态空间表达式：123xxx?302 3001 3123110 xkkxuax2 3y1 31230 xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页现代控制理论- - （b）因为302 3A001 3kka110b302 3Ab001 3kka1310012302 3A b001 3kka30192kkaMbAb2110A b30191020kka01031ka所以：当1a时，该系统不能控；当1a时，该系统能控。又因为：2 3C1 302 3CA1 30302 3001 3kka20k22CA0k302

4、 3001 3kka623k3k2kak2CNCACA2 32623k1 303k02 3226kkak010001ak（）所以：当0k或1a时，该系统不能观；当0k且1a时，该系统能观。综上可知：当1a时或0k且1a时，该系统既不能控也不能观。三、已知系统.Axx?的状态转移矩阵为：tttttAtetteteetee2222)21 (04)21 (000（1）试确定矩阵A，并验证Ate确为上式。（2）已知A求Ate，以下采用三种方法计算Ate，并对计算结果进行讨论。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页现代控制理论-

5、 - 解： （1）利用书上 P53 状态转移矩阵的性质四：对于状态转移矩阵，有AttAt)()()(?即AeAeedtdAtAtAt当 t=0 时I)0(I)0(1?0104400014) 12(0)84()44(000)()0(022220tttttttteteteteetA验证Ate： （利用 P59的公式（ 2-24）来验证）2)2)(1(10440001AI解得：221，13，有一对复根，重根部分按公式（2-24）处理，非重根部分的ia仍按公式（ 2-23）计算。ttttttttteeteeeteeeteaaa22221123321112101114434321114214101121

6、0311且2210AaAaIaeAt所以：Atet)(ttttttttttttttetteteeteeeteeeteeete2222222222)21(04)21(00044016120001)(010440001)443(100010001)432(四、有两个能控能观的单输入单输出系统：1S：111104310uxx?1112xy2S：2222Uxx?22xy（1）按图把1S、2S串联，针对12xxx推导状态方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页现代控制理论- - （2）判断以上系统的能控性和能观性。（3）把串

7、联系统的连接顺序颠倒过来，再推算系统的状态方程及能控、能观性。（4）求1S、2S及串联系统的传递函数矩阵，并对（2）和（3）讨论。解： （1）11111uBxAx?111xCy11222122222222xCBxAYBxAuBxAx?所以221122xAxCBx?222xCy因而uBxxACBAxx?00121212121得状态方程 : uxx?010212043010（2） A=212043010 b=010141010212043010Ab41941412120430102bA所以bMAb0102bA1110104194041019432)(Mrank所以该系统不能控。100C精选学习资料

8、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页现代控制理论- - 212212043010100CA4412120430102122CA所以4412121002ACCACN3)(Nrank所以 该系统是能观的。（3）uBxAx2222?222xCy2211111111xCBxAuBxAx?111xCy所以uxuBxACBAx?1002001430100022211210100200143010Ab4612102001430102bA所以4216101002bAAbbM3)(Mrank所以此时该系统能控。012C精选学习资料 - - - -

9、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页现代控制理论- - 123200143010012CA41162001430101232CA而00027001241161230122CACACN32)(Nrank所以此时该系统不能观。（4）1043112)()()()(11111ssdBAsICsUsYsw10314341122ssss=10314123412ssss3422sss21)()()(222ssUsYsw当1S、2S按照（ 2）的连接方式串联时，341)()()(221ssswswsw当1S、2S按照（ 2）的连接方式串联时，341)()()(

10、212ssswswsw由上边的传递函数结果可知， 当子系统串联时， 颠倒其先后次序， 虽然传递函数相同，但系统的能控性、能观性则不一定相同。五、试求下列系统的能控性分解及能观性分解：?101x412buAxux1003011y1cxx1解： （a）能控性分解：121010143A，001b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页现代控制理论- - 301100341010121Ab8043013410101212bA所以8310004102bAAbbM2)(Mrank，故该系统不能控。构造非奇异矩阵010001130CR

11、，所以0100011031CRbuRARRxCCC11ux100010001103031100010341010121010001103ux001100241240 xxy111031100010111（b）能观性分解：111C232341010121111CA47481440104801112CA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页现代控制理论- - 所以4742321112ACCACN32)(Nrank所以该系统不能观。构造非奇异矩阵：1004741111CR，所以1000313413137CRbuRARRxCC

12、C11ux1001004741111000313413137341010121100474111ux1412130373403132xxy0011000313413137111六、试用李雅普诺夫第二法，判断下列系统的稳定性。（1）xx?1110（2）系统结构图如下，对结果进行讨论，采取什么措施可使系统稳定？解：21xx?212xxx?原点ex=0 是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页现代控制理论- - 数，即0)(2221xxxv222122122112)(222

13、2)(xxxxxxxxxxxv?当01x，02x时，0)(?xv；当01x，02x时，0)(?xv，因此)(xv?为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。另选一个李雅普诺夫函数，例如：22212212)(21)(xxxxxv=1x2x211212123xx为正定，而)(2)()(222122112121xxxxxxxxxxxv?为负定的，且当x，有)(xV。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。（2） 闭（3） 环系统的状态方程为uxx100110.其齐次方程为21.xx12.xx显然，原点为系统的唯一的平衡状态，选李雅普夫函数0)(2221xxxv0)(222)(21212.2

14、.11.xxxxxxxxxv可见，.)(xv在任意0 x的值均保持为 0，而)(xv保持为常数cxxxv2221)(这表示系统运动的相轨迹是一系列以原点为圆心，c为半径的圆。这时系统为李雅普诺夫的稳定， 但在经典控制理论中， 这种情况属于不稳定， 这的自由解是一个等幅的正弦振荡，要想使这个系统不稳定，必须改变系统的结构。七、图示的控制系统，试设计状态反馈矩阵，使闭环系统输出超调量%5和峰值时间stp5。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页现代控制理论- - 解：传递函数sssssssUsYsW12811)2(1)6

15、(1)()()(23又因为二阶系统单位阶跃响应中：%100)1exp(2pMnpt21根据题意要求%5和stp5通过上式解答：684.0861.0n因此设计后的极点分别为：01s63.06 .0)1(22jjsn63.06.0)1(23jjsn因为传递函数)(sw没有零极点对消现象， 所以原系统能控而且能观。 可直接写出它的能控标准 I 型实现。uxx1001280100010.xy001其闭环系统结构图如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页现代控制理论- - 加入状态反馈阵210kkkK，其系统结构如下图：而

16、闭环系统特征多项式为)()8()12()(det)(01223kkkbKAIf根据极点值，得期望特征多项式：757.02.1)63.06.0)(63.06.0()(23*jjf比较)(f和)(*f各对应项系数，可得：00k243.71k8 .102k即8 .10243.70K精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页现代控制理论- - 八、系统的状态方程如下：uxx.，10)0(x，性能指标泛函dtuxuJ)(21)(2102分两种情况求最优控制：)(*tu。（1）对u没有约束（2）3.0)(tu解：（1） 原问题为自由

17、终端状态，因而0) 1(。由哈密尔顿函数)()(2122uxuxfLH又因为uguHT=0 所以)()(*ttu又沿最优轨迹线满足正则方程：xuxHx.xgxHT.xHx边界条件,10)0(x0)1 (通过上式联合解答：tteetx22*9 .91 .0)(tteet22)12(9 .9)12(1 .0)(（2） 由极小值原理，)(*tu与)(t符号有关，取)(*tu)(sgn3.0t)(sgnt表示)(t的符号，,0, 1t取0)(*tu在 1 ,0区间，0)(t，取3 .0)(*tu。下图表示求解结果。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

18、-第 13 页，共 15 页现代控制理论- - 九、试综述最有控制理论的内容及方法，分析比较二次型性能指标泛函与经典控制理论的性能指标。1内容：现代控制理论研究的对象不再局限于单变量的，线性的，常定的，连续的系统，而扩展为多变量的，非线性的，时变的，离散的系统。现代控制理论以线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础， 分析和设计控制系统。所谓状态空间法， 本质上是一种时域分析方法，它不仅描述了系统的外部特性，而且揭示了系统的内部状态和性能。现代控制理论分析和综合系统的目标是在揭示其内在规律的基础上，实现系统在某种意义上的最优化，同时使控制系统的结构不再限于单纯的闭环形式，现代控制理

19、论的主要内容包括如下五个分支：线性系统理论、建模和系统辨识、最忧滤波理论、最优控制、自适应控制。2方法：现代控制理论的方法本质是一种时域方法，它是建立在状态变量描述方法基础上的，它着眼于系统的状态， 能更完全的表达系统的动力学性质，在解决最优控制问题中，极大值原理和贝尔曼动态规划是最重要的两种方法。3分析比较指标泛函与经典控制理论的性能指标：性能指标在数学上成为泛函，经典控制理论中的性能指标一般为最大超调量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度等。现代控制理论的二次型指标泛函的意义：花费尽量少的控制能量， 使系统的输出尽可能地跟随期望输出变化。常见的二次型性能指标分两类： 线性调节器和线性伺服器。精选学

20、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页现代控制理论- - 假定状态方程：( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u tg，00()x txg寻求最优控制( )u t，使性能指标达到极小值01()()( )( ) ( )( ) ( ) ( )2ftTTTfftJxtSx txt Q t x tut R t u tdt（9-1）这是二次型指标泛函，要求 S，( )Q t，( )R t是对称阵， 且 S 和( )Q t是非负定或正定的，( )R t应是正定的。式（ 9-1）右端第一项是对终端状态提出一个符合需要的要求，表示在给定的控制终端时刻ft到来时，系统的状态()fx t接近预定终态的程度。积分项的第一项表示对于一切的0,ftt t对状态( )x t的要求，积分第二项是对控制总能量的限制，二者相互制约，求两者之和极小值，实质上是求取在某种最有意义下的折衷，偏重哪一面，取决于加权矩阵( )Q t和( )R t地选取。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页