2022年二次函数及其图象和性质二教案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第 10 讲二次函数及其图象和性质（二）适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域全国课时时长（分钟）120 分钟知识点1.二次函数一般式中a， b，c 和图像之间的关系2.二次函数解析式的确定3.二次函数求最值教学目标1.了解各系数分别与二次函数图像的关系2.会用 “ 待定系数法 ” 确定二次函数的解析式3.掌握2ya xhk的图像和性质， 能够利用配方法的求顶点式和最值4.通过对比探究锻炼孩子的总结归纳能力,提升学习方法,不断的找到学习函数的规律和技巧教学重点1.各系数之间的多次利用2.会用 “ 待定系数法 ” 确定二次函数的解析式教学难点1.多种图像的混合判断2.根据题意

2、进行相应形式的解设，进而用最恰当的方法确定二次函数的解析式教学过程一、复习预习上节课我们学习了二次函数2yaxbxc的定义及性质，我们先一块来复习一下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页学习必备欢迎下载1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时， y 随 x 的增大而减小； 当2bxa时， y 随 x的增大而增大； 当2bxa时， y 有最小值244acba2. 当0a时，抛物线开口向下， 对称轴为2bxa， 顶点坐标为2424bacbaa， 当2bxa时， y

3、随 x 的增大而增大；当2bxa时， y 随 x 的增大而减小；当2bxa时， y有最大值244acba. 接下来我们继续学习二次函数的其他知识点. 二、知识讲解1.二次函数一般式中a， b，c 和图像之间的关系: a 由 抛 物 线 开 口 方 向 确 定 ： 开 口 方 向 向 上 ， 则a 0 ； 否 则a 0 。b 由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式abx2.(左同右异 ) 判断符号： b与 a 同号，说明02ba，则顶点在y 轴的左边；b与 a 异号，说明02ba，则顶点在y 轴的右边；若顶点在y轴上，则b = 0. c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c0；否则

4、 c0. 2.二次函数解析式的形式一般式：)0(2acbxaxy顶点式：)0()(2akhxay两点式：)(bxaxay顶点在原点：)0(2aaxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页学习必备欢迎下载过原点：)0(2abxaxy顶点在 y 轴：)0(2acaxy3. 求二次函数cbxaxy2（ a0 ）的最值的方法（1）配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成khxay2)(的形式若 a0，当 x=h 时，函数有最小值，且k最小值y若 a 0，当 x=h 时，函数有最大值，且k最大值y（2）公式法：因为抛物线的顶

5、点坐标为（-abaca44,2b2） ，则若 a0，当 x=ab2时，函数有最小值，且ay4b-4ac2最小值若 a0，当 x=h 时，函数有最大值，且最大值yabac442（3）判别式法：结合抛物线的性质，利用一元二次方程的判别式和不等式的性质求最值。考点 /易错点 1 二次项系数和常数项比较容易掌握，特别强调注意一次项系数的符号的确定. 考点 /易错点 2 二次函数2ya xhk 与2yaxbxc 的比较从解析式上看，2ya xhk 与2yaxbxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，. 考点 /易错点 3 待定

6、系数法 : 先设出二次函数的表达式，其中自变量的系数和常数项用表示常数的字母代替，然后根据题目中的已知条件求出字母常数的值，则求出二次函数的表达式. 考点 /易错点 4 在求二次函数表达式时，要根据题目中不同的已知条件，灵活的选用不同函数表达式以有效地减小运算量，但注意所求函数的最后形式必须是一般式。不会把非负因式移到根号里精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页学习必备欢迎下载面. 考点 /易错点 5二次函数的准确配方,提系数（二次项系数1时， ） ，务漏除（一次项也要除以此系数），加平方（在括号中加2b） ，出结果（

7、括号外面加或减2ab）. 三、例题精析【例题 1】【题干】 如图，抛物线y=ax2+bx+c 的部分图象与x 轴交于点（ 3，0） ，对称轴为直线x=1，对于整个抛物线来说，当y0 时， x 的取值范围是（）A0 x3B2x3C 1x3Dx 1 或 x3【答案】 C【解析】 这道题是根据二次函数的对称性，与 x 轴的两个交点是关于对称轴对称的，而一个交点是（ 3,0）对称轴是x=1，则另一个与x 轴交点是（ -1,0） 。要想 y0 ，就是图像在x 轴下方的部分，即1x3.【例题 2】【题干】 二次函数02acbxaxy的图像如图，则点acbM,在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【

8、答案】 D yxO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页学习必备欢迎下载【解析】 开口向下，a 0 顶点在y 轴的右边，b 与 a异号，即 b 0；ac 0；点 M 在第四象限选D 【例题 3】【题干】 二次函数02acbxaxy的图像如图，则下列关系判断正确的是（）Aab 0 Bbc 0 Da - b + c 0 【答案】 D 【解析】 开口向下，a 0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，c 0 顶点在y 轴的左边， b 与 a 同号，即b 0，bc 0 故 A、B 均错x = 1 时， y 0， a + b +

9、 c 0，故 C 错x = -1 时， y 0， a - b + c 0故选 D 【例题 4】【题干】 已知抛物线y=ax2+bx+c(a0 以下结论：a+b0， a+c0， -a+b+c0， b2-2ac5a2其中正确的个数有( ) A1 个B2 个C 3 个D4 个【答案】 D 【解析】 特殊值判定法，抛物线过(-1，0)点， a-b+c=0， c=b-a 代入 4a+2b+c0 中得a+b0，正确 a0， b0， a-b+c=0， a+c=b0，a+c0，正确a0， c=b-a0，-a0， -a+b+c0，正确a-b+c=0， a+c=b，2a+c=a+b0， 2a+c0， a0， c-

10、2a0，(c-2a)(c+2a)0， c2-4a20，c24a2， b=a+c，y x O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页学习必备欢迎下载b2=c2+a2+2ac，c2=b2-a2-2ac，b2-a2-2ac4a2，b2-2ac5a2， 正确【例题 5】【题干】 一条抛物线的开口方向、对称轴与221xy相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（ 1，1） ，求这条抛物线的函数关系式【答案】 解:由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2） ，因此所求函数关系式可看作)0(22aaxy，又抛

11、物线经过点（1， 1） ，所以，2112a，解得3a故所求函数关系式为232xy【解析】 考 查 抛 物 线 的 性 质 以 及 求 顶 点 坐 标 、 对 称 轴 的 方 法 【例题 6】【题干】 把y=x2+3x-4,yx2x1配成顶点式，观察最值. 【答案】 解299(3)444yxx211()144yxx232 5()24yx215()24yx【解析】 考察配方法【例题 7】【题干】 把 y=12x2+3x-2 配成顶点式【答案】第一步：提取二次项系数,注意常数项不提取2)6(212xxy第二步：将含x 项配方，注意加的常数项要乘以系数拿出来219(69)222yxx第三步整理215(

12、3)22yx【解析】 提系数（二次项系数1时， ） ，务漏除（一次项也要除以此系数），加平方（在括号中加2b） ，出结果（括号外面加或减2ab） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页学习必备欢迎下载【例题 8】【题干】 抛物线cxaxy22的顶点是) 1,31(，则a、c 的值是多少？【答案】34112412-14433122,31a2b-2ccabacaa解得：，即得即由题：【解析】2ya xhk 与2yaxbxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424ba

13、cbhkaa，【例题 9】【题干】 已知一次函数y=ax+c 与 y=ax2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是（）ABCD【答案】 C 【解析】 A 中：二次函数0,0,0cba，一次函数0,0 ca不成立；B 中：二次函数0,0,0cba，一次函数0,0 ca不成立；C 中：二次函数0,0,0cba，一次函数0, 0 ca成立故选 C 【例题 10】【题干】 已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）Ay=2（x+1）2+8 By=18（ x+1）2-8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18

14、页学习必备欢迎下载Cy=92（x-1） 2+8 D y=2（x-1）2-8 【答案】 D 【解析】 顶点式： y=a（x-h）2+k（a，h，k 是常数， a0 ） ，其中（ h，k）为顶点坐标【例题 11】【题干】 已知二次函数的图象经（0，0） ， （1，2） ， （ -1，-4）三点，那么这个二次函数的解析式是 _【答案】 y=-x2+3x【解析】 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c （a0 ） ，把（0， 0） ， （1，2） ， （-1，-4） 代入得：c0 a+b+c 2 a-b+c - 4 ，解之得a- 1 b3 c0 ,所以该函数的解析式为：y=-x2+3x【例题 1

15、2】【题干】 已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，求这个二次函数的解析式【答案】 设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k 由二次函数的图象可知抛物线的顶点坐标是（1，-1） ，与 x 轴的交点坐标是（0， 0）和（ 2，0）把顶点坐标（ 1，-1） ，代入解析式得：y=a（x-1）2-1，把坐标（ 0， 0）代入解析式得：a（0-1）2-1=0 解之得： a=1 二次函数的解析式为y=x2-2x【解析】 由图象可知抛物线的顶点坐标是（1，-1） ，设抛物线解析式的顶点式y=a（x-1）2-1，再将点（ 0， 0）代入求a 即可精选学习资料 - - - - - - - - -

16、 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页学习必备欢迎下载【例题 13】【题干】二次函数212xy有最 _值是 _ 【答案】小， 2【解析】 a=10，当 x=-1 时，二次函数212xy的有最小值是2根据二次函数的最值问题求解即可【例题 14】【题干】 已知二次函数y=ax2+bx+c （a0）的图象如图所示，当5 x0时，下列说法正确的是 ( ) A.有最小值 5、最大值0 B.有最小值 3、最大值6 C.有最小值0、最大值6 D.有最小值2、最大值6 【答案】 B 【解析】 由二次函数的图象可知， 5 x0，当 x=2 时函数有最大值，y 最大 =6；当x= 5

17、时函数值最小，y 最小 =3。故选 B。四、课堂运用【基础】1.二次函数2axy与一次函数y=ax+a 在同一坐标系中的大致图象为（）ABCD【答案】 C 【解析】 讨论a的符号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页学习必备欢迎下载2.已知二次函数02acbxaxy的图像如图，则a、b、c 满足（）Aa 0， b 0 ；Ba 0，b 0，c 0 ；Ca 0，c 0 ；Da 0，b 0 ；【答案】A 【解析】开口向下，a 0顶点在y 轴的左边， b 与 a 同号，即b 0， ab-12a 其中正确的结论是（）AB C D

18、 【答案】 B 【解析】 排除法判定，易知c=24 把(12，0)代入 y=ax2+bx+c 中得：144a+12b+24=0，11205ab，由图象知a0，对称轴002bxba，2.4 x y 0 12 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页学习必备欢迎下载11120560aa，即成立，不成立，故不可能选C 与 D111201201255ababba，000022bbabaa，,12aba正确，故在A，B 中只能选B2. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：a+b+c=0； 4a+b=0

19、； abc0；4ac-b20；当 x2 时，总有 4a+2bax2+bx 其中正确的有（填写正确结论的序号）【答案】 【解析】由图象可知：当x=1时y 0 ，a+b+c0由图象可知：对称轴x=ab2=2，4a+b=0，正确；由抛物线的开口方向向下可推出a0 因为对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=ab20， 又因为 a 0，b0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，c 0，故 abc 0，错误； 由 抛 物 线 与x轴 有 两 个 交 点 可 以 推 出b2-4ac 04ac-b2 0正 确 ；对称轴为x=2，当 x=2 时，总有 y=ax2+bx+c=4a+2b+c 0，4a+2bax2+

20、bx 正确3.已知 M、N 两点关于y 轴对称，且点M 在反比例函数yx21的图像上，点N 在一次函数yx3 的图像上，设点M 的坐标为（ a，b） ，则二次函数yabx2(ab)x（）A、有最小值，且最小值是29B、有最大值，且最大值是29C、有最大值，且最大值是29D、有最小值，且最小值是29【答案】D 【解析】因为 M，N 两点关于y 轴对称，所以设点M 的坐标为（ a， b），则点N 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页学习必备欢迎下载为（-a，b），又因为点M 在反比例函数y=x21的图象上， 点

21、N 在一次函数y=x+3 的图象上，所以ab21，3ab，得出 a b=21与 a+b=3，故原二次函数即为xxy3212，再根据若 a0，当 x=ab2时，函数有最小值，且ay4b-4ac2最小值进行解答。【拔高】1已知：二次函数y=ax2+bx+c （ a0 ）的图象如图所示，下列结论中：abc0； 2a+b0； a+bm（am+b） （ m 1的实数）；（ a+c）2b2； a1其中正确的项是（）A、 B、 C、 D、【答案】A 【解析】抛物线的开口向上，a0，与 y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，c 0，对称轴为x=ab20， a、b 异号，即b 0，又 c0， abc0，故本选项正确

22、；对称轴为x=ab2 0， a 0，ab2 1， -b2a， 2a+b 0；故本选项错误；当x=1时，y1=a+b+c；当 x=m 时， y2=m（am+b）+c，当 m1， y2y1；当 m1，y2y1，所以不能确定；故本选项错误；当 x=1 时，a+b+c=0；当 x=-1 时， a-b+c0；（ a+b+c）（a-b+c）=0，即（ a+c）2-b2=0，（ a+c）2=b2故本选项错误当 x=-1 时， a-b+c=2；当 x=1 时， a+b+c=0， a+c=1， a=1+（-c） 1，即 a1；故本选项正确；综上所述，正确的是故选A2.已知二次函数的图象经过（-1，3） 、 （1

23、，3） 、 （ 2，6）三点（1）求二次函数的解析式（2）写出二次函数图象的对称轴和顶点坐标【答案】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c ，把 A（-1， 3） 、B（1， 3） 、C（2，6）各点代入上式得a-b+c 3, a+b+c3, 4a+2b+c6 解得a1 b0 c2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页学习必备欢迎下载抛物线解析式为y=x2+2；（2）由（ 1）可知，抛物线对称轴为直线x（或 y 轴） ，顶点坐标为（0，2） 【解析】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把（ -1，3） 、 （1，3） 、 （2，6）三点坐标代入，列方程组求a、b、c 的值，确定函数解析式；（2）根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标错题总结错题题号错题比例错题原因错题知识点小结课堂运用课后作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页