大学课件概率论 第2章 一维随机变量第二次.pptx

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1、定义 设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使得对一切实数x，关系式,都成立，则称X为连续型随机变量， f(x)称为X的密度函数。,可以证明，连续型随机变量的分布函数是连续函数。,一维连续型随机变量,密度函数的性质,定理 密度函数f(x)具有下列性质： （1） （2） （3）,证明 （）由定义知f(x) 0显然。,（）由分布函数性质知，,由广义积分概念与定义知，,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，,（）,对任意类型的 随机变量均成立,反之，对定义在 的函数 ，满足(1)、(2), 如果令 则F是某随机变量的分布函数。,P(X=a)=?,对任意的h

2、0 所以 连续型随机变量取任意单点值的概率是0，所 以它的分布性不可能通过列举它的单点值概 率来表示。,一个事件的概率为零，这个事件不一定是不 可能事件；同样的这个事件的概率为1，这个 事件也不一定是必然事件。,对 所以 在某点 处的取值较大，则随机变量 取 附近的值的概率也较大。所以用分布密度 函数来描述随机变量的分布特性，与用分布 列描述离散型随机变量是类似的。,例2.3.1(标准的柯西分布) 设随机变量X的分布密度函数为 试确定a的值。 试求X的分布函数。 试求,解: (1)首先a0，另外,(2),(3),均匀分布,设a、b为有限数，且ab。如果随机变量X分布密度为,则称X在a,b上服从

3、均匀分布，记作U(a，b),均匀分布随机变量的分布函数为：,由定义， 在a,b上取常值，所以对满足 的c和d有 这就是均匀分布名称的由来。 几何概型中，若投点都落入区间a,b, 记X为 落点坐标，则X服从均匀分布。,102电车每5分钟发一班，在任一时刻 某一乘客到了车站,求乘客候车时间不超过2分钟的概率。,设随机变量X为候车时间，则X服从（0，5）上的均匀分布,解,例,XU（0，5）,几何概型（一维）,思考,设在-1，5上服从均匀分布，求方程,有实根的概率。,解 方程有实数根,即,而 的密度函数为,所求概率为,指数分布,若随机变量X具有分布密度为,则称X服从参数为 的指数分布，容易求得它的分布

4、函数为,一般的，用它来作为各种“寿命”分布的近似，电器元件的寿命，动物的寿命. “稀有事件”(在有限时间内发生有限多次，在极短时间内至多发生一次)发生的时间间隔服从指数分布.,若 X (),则,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,指数分布的“无记忆性”,事实上,命题,例,设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数,及,和,解：X的概率密度,其中、0为常数，则称X服从参数为、的正态分布，简记为XN(,2) 。,正态分布,若随机变量X的分布密度,正态分布的密度函数的性质与图形,关于 x = 对称,（- ，）升，（，+ ）降,单调性,对称性,拐点,中间高 两边低,，对密度曲线的影响,正态分布的分布

5、函数,标准正态分布,定义,X N（0，1）分布称为标准正态分布,密度函数,分布函数,Standard Normal distribution,偶函数,标准正态分布的概率计算,分布函数,X,-x,标准正态分布的概率计算,公式,查表,例,一般正态分布的标准化,定理,查标准正态分布表,概率计算,如XN(,2)，有,证明：,证明：,设XN（1，4），求 P(0X1.6),解,例,正态分布的实际应用,分析,然后根据录取率或者分数线确定能否录取,解: 成绩X服从,录取率为,可得,得,查表得,解,查表得,.,解得,故,设录取的最低分为,则应有,某人78分，可 被录取。,X的取值几乎都落入以为中心，以3为半径

6、的区间内。这是因为：,3准则,是小概率事件,例 设已知测量误差XN（0，102 ），现独立重复进行100次测量，求误差绝对值超过19.6的次数不少于3的概率。,解：,第一步:以A表示一次测量中“误差绝对值超过19.6”的事件，则有,第二步:以Y表示100次独立重复测量中，事件A发生的次数，则YB（100，0.05），所求概率是 P（Y3）=1P（Y3）,第三步:由于n=100较大而p=0.05很小，故二项分布可用=np=5的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得,例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子身高X服从=170cm、=6cm的正态分布，即XN（170

7、，62 ），试确定车门的高度。,解：,设车门的高度为hcm，根据设计要求应有,例 从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可走，第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位分钟）服从正态分布N(50,100)，第二条沿环城公路走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间（单位分钟）服从正态分布N(60,16)， （1）如有70分钟可用，问应走哪一条路线？ （2）如只有65分钟可用，问应走哪一条路线？,解：,如X是随机变量，在y=g(x)连续、分段连续或单调时，则 Y=g(X) 也是随机变量。,一维随机变量函数的分布,方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件,求 随机因变量Y= g (

8、X )的密度函数 或分布律,问题 已知随机变量 X 的密度函数 或分布律,设随机变量 X 的分布律为,由已知函数 g(x)可求出随机变量 Y 的 所有可能取值，则 Y 的概率分布为,例 设X的分布律为,解:,将表中取相同值的部分作适当并项得,将表中取相同值的部分作适当并项得,0.4,0.4,0.2,P,4,1,0,X2,0.25,3,0.2,1,0.2,0.2,0.15,P,1,3,5,2X-1,将表中取相同值的部分作适当并项得,0.4,0.4,0.2,P,3,2,1,X+1,已知 X 的密度函数 f (x) 或分布函数 求 Y = g( X ) 的密度函数,方法：,（1） 从分布函数出发 （2）用公式直接求密度函数,例 设随机变量X具有连续的分布密度fX(x)，试求Y=aX+b（其中a，b是常数，并且a0）的分布密度fY(y)。,解：,例 设随机变量X服从正态分布N(,2)，求 的分布密度fY(y)。,解：,例 已知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y),解：从分布函数出发,y,当 y 0 时，FY (y) = 0,当 y 0 时，,故,