大学课件概率论 第4章 随机变量的数字特征.ppt

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1、第4章 随机变量数字特征,数学期望 方差与标准差 协方差与相关系数 矩 条件数学期望,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .,在这些数字特征中，最常用的是,数学期望、方差、协方差和相关系数,4.1 一维随机变量的数字特征,引例 一位射手的水平用打出的环数来记，其分布列为：,4.1.1 随机变量的数学期望,则射手射击100次的平均

2、环数近似为：,由于打出环数的概率不同，所以不是1到10的算术平均.,若当 时，则称 为随机变量X的数学期望或均值，记作 ，即有,1.离散型随机变量的数学期望,设随机变量X的分布律为,例 甲、乙两射手的稳定成绩分别为,试比较甲、乙两射手谁优谁劣。,解 甲的平均环数,因此，从某种角度说，甲比乙射击本领高。,乙的平均环数,例 XB(n,p)，求EX。,二项分布的数学期望,例 若X服从泊松分布P()，试求EX。,解:,泊松分布的数学期望,几何分布的期望,证明：,例4,例5 设想这样一种博彩游戏，博彩者将本金1元压注在1到6的某个数字上，然后掷三颗骰子，若所压的数字出现i次（i=1，2，3），则下注者赢

3、i元，否则没收1元本金，试问这样的游戏规则对下注者是否有利?,解：,用随机变量X表示下注者1元注金带来的赢利，其可能取值是1，1，2，3。显然可以用考察EX是否等于零来评价这一游戏规则对下注者是否有利。,X的分布列为,即,由于平均赢利小于0，故这一游戏规则对下注者是不利的。,离散型随机变量函数的数学期望,g(X)的数学期望为,例6 设X的分布律为,求EX2及EX+2 。,解：,数学期望在医学上的一个应用,An application of Expected Value in Medicine,考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验

4、。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？,分析：,设随机抽取的10人组所需的化验次数为X,我们需要计算X的数学期望，然后与10比较,化验次数X的可能取值为1，11,先求出化验次数X的分布律。,X=1=“10人都是阴性”,X=11=“至少1人阳性”,结论：,分组化验法的次数少于逐一化验法的次数,注意求 X期望值的步骤！,二、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密

5、的分点x0 x1x2 ,则X落在小区间xi, xi+1)的概率是,小区间xi, xi+1),阴影面积近似为,由于xi与xi+1很接近, 所以区间xi, xi+1)中的值可以用xi来近似代替.,这正是,的渐近和式.,近似, 该离散型随机变量的数学期望是,定义 若连续型随机变量X有概率密度函数f(x)，并且积分 收敛，则称积分 为X的数学期望，记为EX，即,例7 设X服从均匀分布，其分布密度为,解:,求EX。,均匀分布的期望,例8,解：,正态分布的期望,例9,解：,指数分布的期望,设X服从柯西分布，即有密度函数 证明X不存在数学期望。,证:,故EX不存在。,例10,连续型随机变量函数的数学期望,当

6、我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,例11,解:,数学期望的性质,(1) 常数c的数学期望等于这个常数，即Ecc 。,证: 随机变量X服从单点分布，即P(Xc)=1 ， 所以，EXEcc1c,(2)设c是常数，若EX存在，则EcX也存在，并且有EcX=cEX 。,(3),(4),特别地,(5),注：这些性质可以推广到多个随机变量上。,例12 在n次重复独立试验中，每次成功的概率为p。设Xi 表示第i次试验成功的次数，则Xi有分布律,此外，我们可以推导出 B(n,p),则,上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了

7、随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.,4.1.2 方差与标准差,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,测量结果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .,由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏

8、离程度呢?容易看到,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的,方差,能度量随机变量与其均值EX的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量,来度量随机变量X与其均值EX的偏离程度.,定义,1、对于离散型随机变量X，若有分布律p(xi)，则,2、对于连续型随机变量X，若有分布密度f(x)，则,由方差的定义，有,由数学期望的性质，可导出计算方差的另一个公式：,方差的计算步骤,Step 1: 计算期望 EX,Step 2: 计算 EX2,Step 3: 计算 VarX,离散型,连续型,离散型,连续型,例1,解:,二项分布的方差,于是,例2 设XP()，试求VarX。,解:,泊松分布的方差,几何

9、分布的方差,证明：,例3,例4 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4。,证: 设X表示事件在一次试验中发生的次数，即,例5 设随机变量X服从a，b上的均匀分布，求VarX。,解：,均匀分布的方差,例6,解：,正态分布的方差,例7设随机变量X服从参数为的指数分布，求VarX。,解：,指数分布的方差,方差的性质,证明：,（1）Varc=0 (c是常数),（2）,证明:,（3）,证明:,（4）,证明:,性质4可以推广到如下情形:,（5）,在n次重复独立试验中，每次成功的概率为p。设Xi 表示第i次试验成功的次数，则Xi服从参数为p的（01）分布。求X1+X2 + +Xn 的方差。,例8,解

10、：,期望和方差主要内容小结,数学期望的性质,1. 设C是常数，则EC=C;,4. 设X、Y 相互独立，则 EXY=EXEY;,2. 若k是常数，则EkX=kEX;,3. EX+Y = EX+EY;,（诸Xi相互独立时）,请注意: 由EXY=EXEY 不一定能推出X,Y 独立,方差的性质,1. 设C 是常数, 则 VarC=0 ;,2. 若 C 是常数, 则 VarCX=C2 VarX ;,3. 设 X 与 Y 是两个随机变量，则 VarX+Y= VarX+VarY+2E(X-EX)(Y-EY),4. VarX=0 P(X= C)=1 ,这里C=EX,若X、Y 相互独立，则 VarX+Y= Va

11、rX+VarY,例如,4.1.3 随机变量的矩,定义,设X为随机变量，c为常数，k为正整数，则 1) E(Xc)k称为X关于c点的k阶矩。 2）当c0时,ak=EXk称为X的k阶原点矩; 3）当c=EX时,k=E(XEX)k称为X的k阶中心矩。,显然： EX是一阶原点矩, VarX是2阶中心矩。,偏度系数,用于衡量X的分布与正态分布(可以计算得偏度系数为0)的偏离程度。 如偏度系数显著异于零，说明X的分布与正态分布有较大的偏离程度。若偏度系数大于零，右偏；若偏度系数小于零，左偏.,峰度系数,用于衡量X的分布密度在均值附近的陡峭程度,可以计算得正态分布的峰度系数为3。因此峰度系数越大，说明X的密

12、度曲线在均值附近越陡峭。反之，越平坦。大于3比正态分布更陡峭,反之平坦于正态分布.,例,解:,4.2 随机向量的数字特征,(1) 设二维离散型随机向量(X,Y)有概率分布,(2) 设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y),而g 为定义在二维平面上的实值函数，如果,绝对收敛，则g(X,Y)的数学期望存在，且有,特别有,随机向量的每个分量的期望都可由其联合分布计算得到.,例,解：,二维随机向量(X,Y)，其协方差定义为,4.2.1 二维随机向量的协方差,由定义,3) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y),证明：,证明：,定理1,对二维随机向量(X,

13、Y)，,(1) 若X,Y独立，则cov(X, Y)0,证明,2),VarX+Y= VarX+VarY+ 2Cov(X,Y),随机变量和的方差与协方差的关系,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：,Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y),为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .,二、相关系数,为随机变量 X 和 Y 的相关系数 .,也经常用 来表示相关系数.,相关系数的性质：,2. X和Y独立时， ，但其逆不真.,由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.,故,请看下例.,Cov(X,Y)=0，,事实上，X的密度函

14、数,例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布 , 而Y=cos X,不难求得,即 X 和 Y 以概率 1 线性相关.,因而,即X和Y不相关 .,但Y与X有严格的函数关系，,即X和Y不独立 .,若 Y 与 X 无线性关系;,若,的值越接近于1, Y 与 X 的线性相关程度越高;,的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.,相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.,但对下述情形，独立与不相关等价,前面，我们已经看到：,若 X 与 Y 独立，则X与Y不相关，,但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.,例,设二维随机向量（X,Y）的联合密度为,解：,4.2.3 条件数学期望,离散型随机变

15、量的条件数学期望,连续型随机变量的条件数学期望,条件期望的性质,(1),(2),(3),特别地,(4),例,(随机个随机变量的和),解：,例:,解:,补充：,已知1 ,2相互独立，均服从正态分布N(0,2),1a1b2，2a1b2，其中a，b是常数。 （1）求1，2的相关系数; （2）问1，2是否相关，是否独立; （3）当1，2独立时，求(1，2)的联合密度函数。,例,解：,（2）因为1，2都是正态分布随机变量，所以不相关与独立是等价的。 故 当|a|=|b|时，r=0，1,2相互独立， 当|a|b|时，r0，1,2是不独立的。,(3)当1，2相互独立时，即a 2 =b 2 时， 1 N（0，

16、2a22 ），即,例,在求职过程中得到了三个公司的面试通知，为简化计算，假定每个公司都有三类不同的空缺职位:一般的、好的、极好的。其工资分别为2.5万元、3万元、4万元。估计能得到这些职位的概率分别为0.4，0.3，0.2，有0.1的概率将得不到任何职位，由于每家公司都要求在面试结束时表态接受或拒绝所提供的职位，那么应遵循什么策略来应答呢?,求职面试问题,解：,极端的情况当然容易处理，假设有一家公司聘任求职者担任极好的职位，当然就无需再去下一家公司面试了。 若一家公司不聘任，求职者必然要到下一家公司去面试的。对于其他情况，作任何决定都是要冒风险的，有效的办法是:采取使期望收益最大的行动。,将求

17、职者的数据列成下表:,设去第i个公司应聘的收益为i，(i=1,2,3）。当用期望值准则对第一次面试作决策时就碰到了困难，因为假设第一次面试落聘，但有可能在以后的面试中会获得职位，因而这个结果（落聘）是带有不确定性的。这几乎是复杂决策问题的共同特征:在将来的决策做出之前，当前决策的结果是不能估算的，有一种避开这个困难的方法，那就是先分析未来的决策，称这种方法为逆推解法。,首先考虑尚未接受职位而要去进行最后一次（即第三次）面试，则可以确定公司提供工资的期望值为 E(3)=2.50.4+30.3+40.2+00.1=2.7(万元),知道了第三次面试的期望值，就能倒推，以决定第二次面试应采取的行动。,

18、若提供极好的职位，肯定接受。 若没有职位肯定去进行第三次面试。 若提供一般的工作，那么就须在接受这一工作(期望值2.5万元）和不接受而去碰第三次面试的运气（期望值2.7万元）这两者间做出选择，由于后者具有较大的期望值，故这就是应采取的行动。 若提供一个好职位，那么其期望值较高（3万元），故应接受这一工作且放弃第三次面试。,现在考虑第二次面试：,综上所述，第二次面试的决策应是:接受好的或极好的职位，拒绝一般的职位。 第二次面试的期望值可用下列数据求出:,E(2)=0.4E(2|2.5)+0.33+0.24+ 0.1E(2|0) =0.42.7+0.33+0.24+0.12.7 =3.05（万元）

19、,现在考虑第一次面试： 如果提供一般职位，所面临的选择是接受（期望工资为2.5万元）或拒绝（进行下一次面试，期望工资为3.05万元），后者期望值较高。故应采取拒绝一般的工作， 对于好的职位，因其期望工资3万元低于下一次面试的期望工资3.05万元。故也应放弃好的职位。,因此，第一次面试时应采取的行动是:只接受极好的职位，否则就进行下一次面试。 由此得到： 这个面试问题的总的应对策略是:第一次面试只接受极好的职位，否则进行第二次面试;第二次面试可接受好的或极好的职位，否则进行第三次面试;第三次面试则接受能提供的任何职位。,与这个策略相应的期望值，可用下列数据求出:,E(1)=0.4E(1|2.5)+0.3E(1|3)+0.24 + 0.1E(1|0) = 0.43.05+0.33.05+ 0.24+ 0.13.05 =3.24（万元） 由此可看出，在求职时，收到三份面试通知 与只收到一份面试通知相比较，不仅提高了就业 的机会，而且也提高了工资的期望值。,超几何分布的期望,例,解：,表示n次抽样抽出的废品数，服从超几何分布。,