大学课件概率论 第6章 数理统计的基本概念.ppt

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1、数 理 统 计,数理统计的基本概念,引 言,随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机 现象的统计性规律。,概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常 是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都 是在这已知的基础上得出来的。,但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所 服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概 型，但是其中的某些参数是未知的。,例如：,某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的；,电视机的使用寿命服从什么分布是未知的；,产品是否合格服从两点分布，但参数合格率p是 未知的；,数理统计的任务则是以概率论为基础，根据试验 所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合 理的

2、推断。,数理统计方法具有“用局部推断整体”的特征 .,在数理统计中，不是对所研究的对象全体 ( 称为总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断.,总体、样本和统计量,总体与样本,在数理统计中，把研究对象的全体称为总体，而把组成总体的每个单元称为个体。,总体可以认为是一个随机变量，而个体的取值就是该随机变量的一个观测值。,按一定原则从总体中抽取若干个个体进行观察，这个过程叫做抽样。,一旦取定一组样本 X1， ,Xn ,观察得到 n 个具体的数 (x1, x2, , xn)，称为样本的一次观测值，简称样本值 .,n 称为这个样本的容量.,从

3、总体X中第i次抽取的个体指标为Xi(i=1,2n),则我们称X1， ,Xn是总体X的一组样本，因为我们在抽样之前无法预测Xi的取值，所以 Xi是一个随机变量。,随机抽样方法的基本要求,独立性每次抽样的结果既不影响其余各次抽 样的结果，也不受其它各次抽样结果的影响。,满足上述两点要求的样本称为简单随机样本.获得简单随机样本的抽样方法叫简单随机抽样.,代表性样本( )的每个分量 与总体 具有相同的分布。,从简单随机样本的含义可知，样本 是来自总体 、与总体 具有相同分布的随机变量.,简单随机抽样,例如：要通过随机抽样了解一批产品的次品率， 如果每次抽取一件产品观测后放回原来的总量中，则 这是一个简

4、单随机抽样。,但实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不是一个简单随机抽样。但当总量N很大时，可近似看成是简单随机抽样。,简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.,若总体的分布函数为F(x)、分布密度函数为f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为,其简单随机样本的联合分布密度函数为,F(x1 , x2 , , xn) =F(x1) F(x2) F(xn),f(x1 , x2 , , xn) =f(x1) f(x2) f(xn),统计量,定义 设（ ）为总体X的一个样本， 为不含任何未知参数的连续函数，则 称 为样本

5、( )的一个统计量。,则,例如： 设 是从正态总体 中抽取 的一个样本，其中 为已知参数, 为未知参数，,是统计量,不是统计量,几个常用的统计量,样本均值：,设 是总体 的一个样本，,样本方差：,修正样本方差：,样本k阶原点矩：,样本k阶中心矩：,顺序统计量：,样本极差：,样本中位数：,经验分布函数,设总体X的分布函数为FX，利用伯努利大数定律可以证明，对于任意0，有,故当样本容量 n 足够大时，经验分布函数与总体的分布函数差距很小。因此只要样本容量足够大，就可以近似推断总体的分布。,事实上，对于任意 x ，我们可以定义事件 A=随机变量取值 xtx，则由伯努利大数定律,而,故有,样本均值与样

6、本方差的数字特征,证明：（1）,（2）,命题6.3.5 设总体 X 的分布函数为 FX，分布密度 函数为 fX，则,顺序统计量的分布,证明：,数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即,数理统计的三大分布(都是连续型).,它们都与正态分布有密切的联系.,分布,定义 设总体 ， 是 的一个样本, 则称统计量 服从自由度为n的 分布，记作,自由度是指独立随机变量的个数,分布的密度函数为,其中Gamma函数 (x) 通过下面积分定义,一般的，若X的分布密度函数为,则称X服从参数为0和0的分布，记为X (, )。 分布的数学期望和方差为,不难看出,其图形随自由度的不同而有所改变

7、.,分布密度函数的图形, 2分布的性质,设X 2(n)，则EX=n，VarX=2n.,证明：,利用公式：, 2分布的可加性,若 且X1, X2相互 独立，则,若 则当 n 趋于无穷时，近似的有,证明：由中心极限定理,这里,可得,性质 设(X1,X2,Xn)为取自正态总体XN( , 2) 的样本，则,证明,由已知，有,故,定理 设(X1,X2,Xn)为来自正态总体 XN( , 2) 的样本，则样本均值 与样本方差 Sn2 相互独立；,(1),(2),比较 设(X1,X2,Xn)为取自正态总体 XN( , 2)的样本，则,只证明（1）： 为X1,X2,Xn的线性组合，故仍然 服从正态分布，而,故,

8、(2)式的自由度为什么是 n-1？,这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1项是独立的.所以(2)式的自由度是n-1.,定理（抽样分布基本定理） 设(X1,X2,Xn)为来自 正态总体 XN(0 , 1)的样本，则样本均值 与样本 方差 Sn2 相互独立；,(1),(2),t分布,定义：,设随机变量 XN(0,1)，Y 2(n) ，且X与Y相互独立，则称统计量,服从自由度为 n 的 t 分布，,记作,t 分布的概率密度函数为,T t(n).,其形状类似标准正态分布，关于 x=0 对称.,当 n 较大时， t分布近似于标

9、准正态分布.,一般说来，当 n30 时，t 分布与标准正态分布N(0, 1)就非常接近.,但对较小的 n 值，t 分布与标准正态分布之间有较大差异. 且 P(|T| t0) P(|X| t0) (对于较大的t0) ，其中 X N(0, 1)，即在 t 分布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率.,当 n 趋于无穷时， t 分布趋于标准正态分布.,t 分布的数学期望与方差,设 Tt (n)，则,定理,设(X1，X2，Xn)为来自正态总体 XN( ， 2)的样本，则统计量,证:,故,由于,由t分布定义得,定理,设(X1, X2, , Xn1)和(Y1, Y2, , Yn2) 分别是来自正态总体

10、 N(1 , 2) 和 N(2 , 2) 的样本，且它们相互独立，则统计量,其中,证明：,因此,由已知条件可得,故,又因为,故,因此,F分布,服从第一自由度为 n1，第二自由度为 n2 的F分布，,显然，若 Z F(n1, n2)，则 1/Z F(n2, n1).,F分布的分布密度函数：,其中,定理,为正态总体 的样本容量和样本方差；且两个样本相互独立，则统计量,设 为正态总体 的样本容量和样本方差；,证明,由已知条件知,且相互独立，,由F 分布的定义有,例1 设总体 XN(0,1)， X1, X2, , Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？,解,(1),因为 XiN(0,1)，

11、i=1, 2, , n.,所以,X1 X2 N(0, 2)，,故,t(2).,例1 设总体 XN(0,1)， X1, X2, , Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？,续解,(2),因为X1N(0,1)，,故,t(n-1).,例1 设总体 XN(0,1)， X1, X2, , Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？,续解,(3),因为,所以,F(3, n-3).,例2 若 Tt(n)， 问T 2服从什么分布？,解,因为 Tt(n)，,可以认为,其中UN(0,1)， V2(n)，,U22(1)，, F(1, n).,分位数,设 X f (n)（f 为某种分布，n 为有关的自由 度），01，则称满足,的数 f(n) 为分布 f (n) 的 分位数（或分位点）,查课本后面的表可得 2分布， t 分布， F 分布 的分位数。,注意,对于 t(n) 分布，当 n 趋于无穷时，分布趋于 N(0,1)，故当自由度较大时，用标准正态分布的分位数 u 代替 t(n) 的分位数。,若X 2(n) 分布，当n趋于无穷时， 近似的服从 N(0,1)，故当自由度较大时，近似的有,对于 F(m,n) 分布和 (01),有,第六章知识小结,第六章知识小结,第六章知识小结,作业： 5, 6, 7, 14, 16, 17, 18,