小学数学知识点例题精讲《环形跑道问题》教师版.pdf

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1、11、 掌握如下两个关系：（1）环形跑道问题同一地点出发,如果是相向而行,则每合走一圈相遇一次（2）环形跑道问题同一地点出发,如果是同向而行,则每追上一圈相遇一次2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一.是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析. 一、在做出线段图后,反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间速度和路程差=追及时间速度差二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题,从同一地点出发,如果

2、是相向而行,则每合走一圈相遇一次;如果是同向而行,则每追上一圈相遇一次这个等量关系往往成为我们解决问题的关键.环线型同一出发点直径两端同向：路程差nSnS+0.5S相对(反向)：路程和nSnS-0.5S模块一、常规的环形跑道问题【例例 1】一个圆形操场跑道的周长是 500 米,两个学生同时同地背向而行黄莺每分钟走 66 米,麻雀每分钟走 59 米经过几分钟才能相遇?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】黄莺和麻雀每分钟共行6659125（千米）,那么周长跑道里有几个125米,就需要几分钟,即500(6659)5001254（分钟） 【答案】4分钟【巩固】 周老师和王

3、老师沿着学校的环形林荫道散步,王老师每分钟走 55 米,周老师每分钟走 65 米.已知林荫道周长是 480 米,他们从同一地点同时背向而行.在他们第 10 次相遇后,王老师再走 米就回到出发点.【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】填空知识精讲知识精讲教学目标教学目标环形跑道问题环形跑道问题2【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析】几分钟相遇一次：480（5565）=4（分钟）10 次相遇共用：410=40（分钟）王老师 40 分钟行了：5540=2200（米）2200480=4（圈）280（米）所以正好走了 4 圈还多 280 米,480280=200（米）答：再走 200

4、米回到出发点.【答案】200 米【例例 2】上海小学有一长300米长的环形跑道,小亚和小胖同时从起跑线起跑,小亚每秒钟跑6米,小胖每秒钟跑4米,(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米?(2)小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】春蕾杯,小学数学邀请赛,决赛【解析】第一次追上时,小亚多跑了一圈,所以需要300(64)150秒,小亚跑了6 150900（米）.小胖跑了4 150600（米）;第一次追上时,小胖跑了2圈,小亚跑了3圈,所以第二次追上时,小胖跑4圈,小亚跑6圈.【答案】小胖跑4圈,小亚跑6圈【巩固】 小张和小王各以一

5、定速度,在周长为500米的环形跑道上跑步小王的速度是200米/分小张和小王同时从同一地点出发 ,反向跑步,1分钟后两人第一次相遇 ,小张的速度是多少米 /分?小张和小王同时从同一点出发,同一方向跑步,小张跑多少圈后才能第一次追上小王?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】两人相遇,也就是合起来跑了一个周长的行程小张的速度是5001200300 （米/分） 在环形的跑道上,小张要追上小王,就是小张比小王多跑一圈（一个周长）,因此需要的时间是：500(300200)5（分） 30055003（圈） 【答案】300米/分 3圈【巩固】 一条环形跑道长 400 米,甲骑自行

6、车每分钟骑 450 米,乙跑步每分钟 250 米,两人同时从同地同向出发,经过多少分钟两人相遇?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】4004502502（）(分钟)【答案】2分钟【巩固】 小新和正南在操场上比赛跑步,小新每分钟跑 250 米,正南每分钟跑 210 米,一圈跑道长 800 米,他们同时从起跑点出发,那么小新第三次超过正南需要多少分钟? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈,根据Sv t差差,可知小新第一次超过正南需要：80025021020（）(分钟),第三次超过正南是比正南多跑了三圈

7、,需要800325021060 （）(分钟)【答案】60分钟【巩固】 幸福村小学有一条 200 米长的环形跑道,冬冬和晶晶同时从起跑线起跑,冬冬每秒钟跑 6 米,晶晶每秒钟跑 4 米,问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米,第 2 次追上晶晶时两人各跑了多少圈?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】这是一道封闭路线上的追及问题,冬冬与晶晶两人同时同地起跑,方向一致因此,当冬冬第一次追上晶晶时,他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长(200 米),又知道了冬冬和晶晶的速度,于是,根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程冬冬第一次追上晶晶所需要的时

8、间：20064100（）(秒)3冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6 100600(米)晶晶第一次被追上时所跑的路程：4 100400(米)冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：60022006（）(圈)晶晶第 2 次被追上时所跑的圈数：40022004（）(圈)【答案】4圈【巩固】 小明和小刚清晨来到学校操场练习跑步,学校操场是 400 米的环形跑道,小刚对小明说：“咱们比比看谁跑的快”,于是两人同时同向起跑,结果 10 分钟后小明第一次从背后追上小刚,同学们一定知道谁跑得快了,小明的速度是每分钟跑 140 米,那么如果小明第3次从背后追上小刚时,小刚一共跑了 米【考点】行程问题之环形跑道 【

9、难度】2 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,4 年级【解析】140 104001000米,100033000米.【答案】3000米【巩固】 如图 1,有一条长方形跑道,甲从 A 点出发,乙从 C 点同时出发,都按顺时针方向奔跑,甲每秒跑 5米,乙每秒跑 4.5 米.当甲第一次追上乙时,甲跑了 圈.【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析】 (10+6)(5-4.5)=32 秒,甲跑了 53232=5 圈【答案】5 圈【例例 3】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑甲每分钟跑 250 米,乙每分钟跑 200 米,两人同时同地同向出发,

10、经过 45 分钟甲追上乙;如果两人同时同地反向出发,经过多少分钟两人相遇?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】在封闭的环形道上同向运动属追及问题,反向运动属相遇问题同地出发,其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度环形道一周的长度可根据两人同向出发,45 分钟后甲追上乙,由追及问题,两人速度差为：25020050(米/分),所以路程差为：50452250(米),即环形道一圈的长度为 2250 米所以反向出发的相遇时间为：22502502005（）(分钟)【答案】5分钟【巩固】 两人在环形跑道上跑步 ,两人从同一地点出发,小

11、明每秒跑 3 米,小雅每秒跑 4 米,反向而行,45秒后两人相遇.如果同向而行,几秒后两人再次相遇【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】（4+3）45=315 米环形跑道的长（相遇问题求解）315（4-3）=315 秒（追及问题求解）【答案】315 秒【巩固】 一条环形跑道长 400 米,小青每分钟跑 260 米,小兰每分钟跑 210 米,两人同时出发,经过多少分钟两人相遇【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】小青每分钟比小兰多跑 50 米一圈是 400 米 400/50=8 所以跑 8 分钟【答案】8 分钟4【巩固】 甲、乙两人从 40

12、0 米的环形跑道上一点 A 背向同时出发,8 分钟后两人第五次相遇,已知每秒钟甲比乙多走 0.1 米,那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程是多少米?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】176【答案】176【例例 4】在 300 米的环形跑道上,田奇和王强同学同时同地起跑,如果同向而跑 2 分 30 秒相遇,如果背向而跑则半分钟相遇,求两人的速度各是多少?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】同向而跑,这实质是快追慢起跑后,由于两人速度的差异,造成两人路程上的差异,随着时间的增长,两人间的距离不断拉大,到两人相距环形跑道的

13、半圈时,相距最大接着,两人的距离又逐渐缩小,直到快的追上慢的,此时快的比慢的多跑了一圈背向而跑即所谓的相遇问题,数量关系为：路程和速度和相遇时间同向而行 2 分 30 秒相遇,2 分 30 秒150 秒,两个人的速度和为：300150=2（米/秒）,背向而跑则半分钟即 30 秒相遇,所以两个人的速度差为：30030=10（米/秒）.两人的速度分别为： 10224（）(米/秒), 1046(米/秒)【答案】6米/秒【巩固】 在 400 米的环形跑道上,甲、乙两人同时同地起跑,如果同向而行 3 分 20 秒相遇,如果背向而行40 秒相遇,已知甲比乙快,求甲、乙的速度各是多少?【考点】行程问题之环形

14、跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】甲乙的速度和为：4004010(米/秒),甲乙的速度差为：4002002(米/秒),甲的速度为：10226（）(米/秒),乙的速度为：10224（）(米/秒)【答案】4米/秒【例例 5】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步,王老师每分钟走 55 米,周老师每分钟走 65 米.已知林荫道周长是 480 米,他们从同一地点同时背向而行.在他们第 10 次相遇后,王老师再走 米就回到出发点.【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】两人每共走 1 圈相遇 1 次,用时 480(55+60)=4(分),到第 10 次相遇共用 40

15、分钟,王老师共走了.5540=2200（米）,要走到出发点还需走,4805-2200=200（米）【答案】200 米【巩固】 在周长为 200 米的圆形跑道条直径的两端,甲、乙两人分别以 6 米/秒,5 米/秒的骑车速度同时同向出发,沿跑道行驶.问：16 分钟内,甲追上乙多少次?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,初赛【解析】甲、乙二人第一次相遇时,一共走过的路程是2002100(米)所需要的时间是10011 (秒)以后,两人每隔2002 (秒)相遇一次因为10060 161112001153.3,【解析】16 分钟内二人相遇 53 次.【答案】53 次

16、【巩固】 在环形跑道上,两人在一处背靠背站好,然后开始跑,每隔 4 分钟相遇一次;如果两人从同处同向同时跑,每隔 20 分钟相遇一次,已知环形跑道的长度是 1600 米,那么两人的速度分别是多少?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】两人反向沿环形跑道跑步时,每隔 4 分钟相遇一次,即两人 4 分钟共跑完一圈;当两人同向跑步时,每20 分钟相遇一次,即其中的一人比另一人多跑一圈需要 20 分钟两人速度和为：516004400(米/分),两人速度差为：16002080(米/分),所以两人速度分别为：400802240（）(米/分),400240160(米/分)【答案】

17、160米/分【例例 6】甲、乙二人在操场的 400 米跑道上练习竞走,两人同时出发,出发时甲在乙后面,出发后 6 分甲第一次超过乙,22 分时甲第二次超过乙.假设两人的速度保持不变,问：出发时甲在乙后面多少米?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】150 米.提示：甲超过乙一圈（400 米）需 22616（分）.【答案】16 分【例例 7】在 400 米的环行跑道上,A,B 两点相距 100 米.甲、乙两人分别从 A,B 两点同时出发,按逆时针方向跑步.甲甲每秒跑 5 米,乙每秒跑 4 米,每人每跑 100 米,都要停 10 秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒? 【

18、考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】甲实际跑 100/（5-4）=100（秒）时追上乙,甲跑 100/5=20（秒）,休息 10 秒; 乙跑 100/4=25（秒）,休息 10 秒,甲实际跑 100 秒时,已经休息 4 次,刚跑完第 5 次,共用 140 秒; 这时乙实际跑了 100 秒,第 4 次休息结束.正好追上. 【答案】140 秒【例例 8】在环形跑道上,两人都按顺时针方向跑时,每 12 分钟相遇一次,如果两人速度不变,其中一人改成按逆时针方向跑,每隔 4 分钟相遇一次,问两人跑一圈各需要几分钟?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解

19、析】由题意可知,两人的速度和为14,速度差为112可得两人速度分别为11124126和111241212所以两人跑一圈分别需要 6 分钟和 12 分钟 【答案】6 分钟和 12 分钟【例例 9】有甲、乙、丙 3 人,甲每分钟行走 120 米,乙每分钟行走 100 米,丙每分钟行走 70 米.如果 3 个人同时同向,从同地出发,沿周长是 300 米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3 人又可以相聚在跑道上同一处?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】由题意知道：甲走完一周需要时间为 300120=52（分）;乙走完一周需要时间为300100=3（分）丙走完一周需要时间

20、为 300700=307,那么三个人想再次相聚在跑道同一处需要时间为：5,30,35 3030,330272,7,11分【答案】30分【例例 10】 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发,背向而行.现在已知甲走一圈的时间是 70分钟,如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇,那么乙走一圈的时间是多少分钟?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】甲行走 45 分钟,再行走 7045=25 分钟即可走完一圈.而甲行走 45 分钟,乙行走 45 分钟也能走完一圈.所以甲行走 25 分钟的路程相当于乙行走 45 分钟的路程甲行走一圈需 70 分钟,所以乙需 70254

21、5=126 分钟即乙走一圈的时间是 126 分钟【答案】126 分钟【例例 11】 林琳在 450 米长的环形跑道上跑一圈,已知她前一半时间每秒跑 5 米,后一半时间每秒跑 4 米,那么她的后一半路程跑了多少秒?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】1 星 【题型】解答 6【解析】设总时间为 X,则前一半的时间为 X/2,后一半时间同样为 X/2【解析】X/2*5+X/2*4=450【解析】X=100【解析】总共跑了 100 秒【解析】前 50 秒每秒跑 5 米,跑了 250 米【解析】后 50 秒每秒跑 4 米,跑了 200 米【解析】后一半的路程为 4502=225 米【解析】后一半的路程用

22、的时间为（250-225）5+50=55 秒【答案】55 秒【巩固】 某人在 360 米的环形跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑 5 米,后一半时间每秒跑 4 米,则他后一半路程跑了多少秒?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】44【答案】44【例例 12】 甲、乙、丙在湖边散步,三人同时从同一点出发,绕湖行走,甲速度是每小时 5.4 千米, 乙速度是每小时 4.2 千米,她们二人同方向行走,丙与她们反方向行走,半个小时后甲和丙相遇,在过 5分钟,乙与丙相遇.那么绕湖一周的行程是多少?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】30 分钟乙

23、落后甲（5.44.2）20.6（千米）,有题意之乙和丙走这 0.6 千米用了 5 分钟,因为乙和丙从出发到相遇共用 35 分钟,所以绕湖一周的行程为：3550.64.2（千米）.【答案】4.2 千米【例例 13】 甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动,当乙走了 100 米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】注意观察图形,当甲、乙第一次相遇时,甲乙共走完12圈的路程,当甲、乙第二次相遇时,甲乙共走完 1+1232圈的路程所以从开始到第一、二次相

24、遇所需的时间比为 1：3,因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍,即 1003=300 米有甲、乙第二次相遇时,共行走(1 圈60)+300,为32圈,所以此圆形场地的周长为 480 米【答案】480 米【巩固】 如图,A、B 是圆的直径的两端,小张在 A 点,小王在 B 点同时出发反向行走,他们在 C 点第一次相遇,C 离 A 点 80 米;在 D 点第二次相遇,D 点离 B 点 6O 米.求这个圆的周长.【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 7【解析】第一次相遇,两人合起来走了半个周长;第二次相遇,两个人合起来又走了一圈从出发开始算,两个人合

25、起来走了一周半因此,第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的 3 倍,那么从A到D的距离,应该是从A到C距离的 3 倍,即A到D是803240A (米)24060180(米)1802360(米)【答案】360米【巩固】 如图,有一个圆,两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发,绕圆周相 向而行它们第一次相遇在离A点 8 厘米处的B点,第二次相遇在离C点处 6 厘米的D点,问,这个圆周的长是多少?第第一一次次相相遇遇第第二二次次相相遇遇DCBA【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如图所示,第一次相遇,两只小虫共爬行了半个圆周,其中从A点出发的小

26、虫爬了 8 厘米,第二次相遇,两只小虫又爬了一个圆周,所以两只小虫从出发共爬行了 1 个半圆周,其中从A点出发的应爬行8 324(厘米),比半个圆周多 6 厘米,半个圆周长为83618 (厘米),一个圆周长就是：(8 36)236 (厘米)【答案】36厘米【巩固】 A、B 是圆的直径的两端,甲在 A 点,乙在 B 点同时出发反向而行,两人在 C 点第一次相遇,在 D 点第二次相遇已知 C 离 A 有 75 米,D 离 B 有 55 米,求这个圆的周长是多少米?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】340【答案】340【例例 14】 两辆电动小汽车在周长为 360 米

27、的圆形道上不断行驶,甲车每分行驶 20 米甲、乙两车同时分别从相距 90 米的 A,B 两点相背而行,相遇后乙车立即返回,甲车不改变方向,当乙车到达 B 点时,甲车过 B 点后恰好又回到 A 点此时甲车立即返回（乙车过 B 点继续行驶）,再过多少分与乙车相遇? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】右图中 C 表示甲、乙第一次相遇地点因为乙从 B 到 C 又返回 B 时,甲恰好转一圈回到 A,所以甲、乙第一次相遇时,甲刚好走了半圈,因此 C 点距 B 点 1809090（米） 甲从 A 到 C 用了180209（分）,所以乙每分行驶 90910（米） 甲、乙第二次相

28、遇,即分别同时从 A,B 出发相向而行相遇需要 90（2010）3（分） 【答案】3 分【巩固】 周长为 400 米的圆形跑道上,有相距 100 米的 A,B 两点甲、乙两人分别从 A,B 两点同时相背而跑,两人相遇后,乙即转身与甲同向而跑,当甲跑到 A 时,乙恰好跑到 B如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变,那么甲追上乙时,甲从出发开始,共跑了多少米?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】如下图,记甲乙相遇点为 C.当甲跑了 AC 的路程时,乙跑了 BC 的路程;而当甲跑了 400 米时,乙跑8了 2BC 的路程由乙的速度保持不变,所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间

29、是甲再次到达 A 点所需时间的12.即 AC=12400=200(米),也就是甲跑了 200 米时,乙跑了 100 米,所以甲的速度是乙速度的 2 倍那么甲到达 A,乙到达 B 时,甲追上乙时需比乙多跑 400-100=300 米的路程,所以此后甲还需跑 300(2-1)2=600 米,加上开始跑的 l 圈 400 米所以甲从出发到甲追上乙时,共跑了 600+400=1000 米【答案】1000 米【巩固】 在一圆形跑道上,甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行,6 分后两人相遇,再过 4 分甲到达 B 点,又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分?【考点】行程问题之环形跑道

30、【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由题意知,甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系） 【解析】从第一次相遇到再次相遇,两人共走一周,各行 12 分,而乙行 12 分相当于甲行 8 分,所以甲环行一周需 12820（分）,乙需 204630（分）.【答案】30 分【例例 15】 如下图所示的三条圆形跑道,每条跑道的长都是 0.5 千米,A、B、C 三位运动员同时从交点 O 出发,分别沿三条跑道跑步,他们的速度分别是每小时 4 千米,每小时 8 千米,每小时 6 千米.问：从出发到三人第一次相遇,他们共跑了多少千米?OCBA【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3

31、 星 【题型】解答 【关键词】希望杯,六年级,二试【解析】三个运动员走完一圈的时间分别为18小时、116小时、112小时,他们三人相遇地点只能是O点,所以三人相遇时间是18小时、116小时、112小时的公倍数,即14小时,分别跑了 2 圈、4 圈、3 圈,共计 4.5 千米.【答案】4.5 千米【例例 16】 甲、乙两车同时从同一点A出发,沿周长 6 千米的圆形跑道以相反的方向行驶甲车每小时行驶 65 千米,乙车每小时行驶 55 千米一旦两车迎面相遇,则乙车立刻调头;一旦甲车从后面追上一车,则甲车立刻调头,那么两车出发后第 11 次相遇的地点距离有多少米? 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】

32、3 星 【题型】解答 【解析】首先是一个相遇过程,相遇时间：6(6555)0.05小时,相遇地点距离A点：550.052.75千米然后乙车调头,成为追及过程,追及时间：6(6555)0.6小时,乙车在此过程中走的路程：550.633千米,即 5 圈余 3 千米,那么这时距离A点32.750.25千米甲车调头后又成为相遇过程,同样方法可计算出相遇地点距离A点0.252.753千米,而第 4 次相遇时两车又重新回到了A点,并且行驶的方向与开始相同所以,第 8 次相遇时两车肯定还是相遇在A点,又11332 ,所以第 11 次相遇的地点与第 3 次相遇的地点是相同的,距离A点是 3000 米9【答案】

33、3000 米【巩固】 二人沿一周长 400 米的环形跑道均速前进,甲行一圈 4 分钟,乙行一圈 7 分钟,他们同时同地同向出发,甲走 10 圈,改反向出发,每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌.问第十五次击掌时,甲走多长时间乙走多少路程?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】1428【答案】1428【例例 17】 下如右图所示,某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长 300 米的正方形甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发如果甲每分走 90 米,乙每分走 70 米,那么经过多少时间甲才能看到乙?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】

34、甲看到乙的时候,甲和乙在同一条边上,甲乙两人之间的距离最多有 300 米长,当甲追上乙一条边（300 米）需 300（9070）15（分）,此时甲走了 901530045（条）边,甲、乙不在同一条边上,甲看不到乙甲再走 05 条边就可以看到乙了,即甲走 5 条边后可看到乙,共需 3005901623（分钟 0,即 16 分 40 秒【答案】16 分 40 秒【巩固】 如图,一个长方形的房屋长 13 米,宽 8 米甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发,甲每秒钟行3 米,乙每秒钟行 2 米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】开始时,甲在

35、顺时针方向距乙 8+13+8=29 米因为一边最长为 13、所以最少要追至只相差 13,即至少要追上 29-13=16 米甲追上乙 16 米所需时间为 16(3-2)=16 秒,此时甲行了 316=48 米,乙行了 216=32 米甲、乙的位置如右图所示：显然甲还是看不见乙,但是因为甲的速度比乙快,所以甲能在乙离开上面的那条边之前到达上面的边,从而看见乙而甲要到达上面的边,需再跑 2 米,所需时间为23=23秒所以经过 16+23=1623秒后甲第一次看见乙.【答案】1623秒【例例 18】 下图是一个边长 90 米的正方形,甲、乙两人同时从 A 点出发,甲逆时针每分行 75 米,乙顺时针每分

36、行 45 米两人第一次在 CD 边（不包括 C,D 两点）上相遇,是出发以后的第几次相遇?10【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】两人第一次相遇需360(7545)3分,其间乙走了453135（米） 由此知,乙没走 135 米两人相遇一次,依次可推出第 7 次在 CD 边相遇（如图,图中数字表示该点相遇的次数）【答案】第 7 次【例例 19】 如图,8 时 10 分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距 60 米的 A,B 两地顺时针方向沿长方形ABCD 的边走向 D 点.甲 8 时 20 分到 D 点后,丙、丁两人立即以相同速度从 D 点出发.丙由 D 向 A走去

37、,8 时 24 分与乙在 E 点相遇;丁由 D 向 C 走去,8 时 30 分在 F 点被乙追上.问三角形 BEF 的面积为多少平方米?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】如下图,标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置先分析甲的情况,甲 10 分钟,行走了 AD 的路程;再看乙的情况,乙的速度等于甲的速度,乙 14 分钟行走了 60+AE 的路程,乙 20 分钟走了 60+AD+DF 的路程所以乙 10 分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF 的路程有6060101410ADAEDF,有6075 60ADDFAEEDAE然后分析丙的情况,丙 4 分钟,行了走

38、 ED 的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,丁 10 分钟行走了 DF 的距离有410EDDF,即 5ED2DF联立6075 6052ADAEEDDFAEEDAEEDDF,解得871845AEEDDF于是,得到如下的位置关系：ABCD11160(87+18)60 87184515(87+18)222=2497.5BEFABEEDFFCBSSSSS四边形【答案】2497.5【例例 20】 甲、乙两人从周长为 1600 米的正方形水池 ABCD 相对的两个顶点 A,C 同时出发绕池边沿ABCDA 的方向行走.甲每分行 50 米,乙每分行 46 米,甲、乙第一次在同一边上行走,是发生在出发后

39、的第多少分?第一次在同一边上行走了多少分?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 11【解析】第104分;823分.甲追上乙一条边长,即追上 400 米需400（5046） 100（分）,此时甲走了 501005000（米）,位于一条边的中点,与乙相距 400 米（见右图）.甲再走 200 米到达前面的顶点还需 4 分.这 4 分乙走了 184 米,距下一个顶点还差 16 米.所以甲、乙第一次在同一边上行走,发生在出发后第 1004104（分）,第一次在同一边上行走了8164623（分）.【答案】823分【例例 21】 如图,长方形 ABCD 中 ABBC=54.位于 A 点

40、的第一只蚂蚁按 ABCDA 的方向,位于 C 点的第二只蚂蚁按 CBADC 的方向同时出发,分别沿着长方形的边爬行.如果两只蚂蚁第一次在 B 点相遇,则两只蚂蚁第二次相遇在()边上.(A)AB(B)BC(C)CD【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,初赛【解析】如图,长方形 ABCD 中 ABBC=54.将 AB,CD 边各 5 等分,BC,DA 边各 4 等分.设每份长度为 a.由于两只蚂蚁第一次在 B 点相遇,所以第一只蚂蚁走 5a,第二只蚂蚁走 4a,接下来,第一只蚂蚁由 B走到 E 点时,第二只蚂蚁由 B 走到 F 点,再接下来,当第一只蚂蚁由走到

41、 G 点时,第二只蚂蚁由 F也走到 G,这时,两只蚂蚁第二次相遇在 DA 边上.【答案】DA 边上【例例 22】 在一个周长 90 厘米的圆上,有三个点将圆周三等分.A,B,C 三个爬虫分别在这三点上,它们每秒依次爬行 10 厘米、5 厘米、3 厘米.如果它们同时出发按顺时针方向沿圆周爬行,那么它们第一次到达同一位置需多长时间?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】60 秒.A 第一次追上 B 需 30（105）6（秒）,以后每隔 90（105）18（秒）追上 B一次,即 A,B 到达同一位置的时间（单位：秒）依次是6,24,42,60,78,同理,B,C 到达同一

42、位置的时间（单位：秒）依次是 15,60,105,比较知,A,B,C 第一次到达同一位置需 60 秒.【答案】60 秒模块二、环形跑道变道问题【例例 23】 如图 2,一个边长为 50 米的正方形围墙,甲、乙两人分别从 A、C 两点同时出发,沿闹墙按顺时针12方向运动,已知甲每秒走 5 米,乙每秒走 3 米,则至少经过 秒甲、乙走到正方形的同一条边上.【考点】行程问题之环形跑道 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,二试,第 8 题【解析】行程问题由题设可知,甲走完一条边需要 10 秒,乙需要503秒,要在同一条边上,首先路程差应小于一个边长经过50(53)25秒后,甲、乙路

43、程差为一个边长,此时甲在CD边的中点,而乙在AD边的中点因此需要再经过 5 秒后,甲到达D点,甲、乙才走到同一条边上综上,至少需要 30 秒【答案】至少需要 30 秒【例例 24】 如图是一个跑道的示意图,沿ACBEA走一圈是400米,沿ACBDA走一圈是275米,其中A到B 的直线距离是75米甲、乙二人同时从A点出发练习长跑,甲沿ACBDA的小圈跑,每100米用24秒,乙沿ACBEA的大圈跑,每100米用21秒,问：1 乙跑第几圈时第一次与甲相遇?2 发多长时间甲、乙再次在A相遇?ECDBA【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】因为甲、乙沿不同的路线,所以并不是谁

44、多跑一圈,就一定有一次超过超过只可能发生在他们共同经过的路线上,也就是ACB上甲跑半圈ACB用时48秒,乙跑半圈ACB用时42秒也就是说如果某次乙经过A点的时间比甲晚不超过6秒,他就能在这半圈上追上甲甲跑一圈用的时间为2751002466秒,乙跑一圈用的时间为4001002184秒,下面看甲、乙经过A点的时间序列表（单位：秒）甲066132198264330乙084168252336可以看出 336 秒与 330 秒恰好差 6 秒,由此可知乙跑完第四圈、在跑第五圈时会第一次与甲相遇要在A点相遇,两人跑的必须都是整数圈,甲跑一圈用66秒,乙跑一圈用84秒,它们的最小公倍数为66,84924因此9

45、24秒即15分24秒后,甲、乙第一次同时回到A点【答案】第五圈 15分24秒【例例 25】 如图所示,大圈是 400 米跑道,由A到B的跑道长是 200 米,直线距离是 50 米.父子俩同时从A 点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼,儿子跑大圈,父亲每跑到B点便沿直线跑.父亲每 100米用 20 秒,儿子每 100 米用 19 秒.如果他们按这样的速度跑,儿子在跑第几圈时,第一次与父亲相遇?13BA【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】首先我们要注意到：父亲和儿子只能在由A沿逆时针方向到B这一段跑道上相遇而且儿子比父亲跑得快,所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲儿子跑一

46、圈所用的时间是19(400100)76（秒）,也就是说,儿子每过 76 秒到达A点一次同样道理,父亲每过 50 秒到达A点一次在从A到B逆时针方向的一段跑道上,儿子要跑19(200100)38（秒）,父亲要跑20(200100)40（秒） 因此,只要在父亲到达A点后的 2 秒之内,儿子也到达A点,儿子就能从后面追上父亲于是,我们需要找 76 的一个整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈数）,它比 50 的一个整数倍大,但至多大 2换句话说,要找 76 的一个倍数,它除以 50 的余数在 0 到 2 之间这试一下就可以了：7650余 26,76250余 2,正合我们的要求因此,在父子第一次相遇

47、时,儿子已跑完 2 圈,也就是正在跑第 3 圈【答案】第 3 圈【例例 26】 如图,学校操场的 400 米跑道中套着 300 米小跑道,大跑道与小跑道有 200 米路程相重甲以每秒 6 米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒 4 米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?乙乙乙乙A B乙乙乙乙A【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】根据题意可知,甲、乙只可能在AB右侧的半跑道上相遇易知小跑道上AB左侧的路程为 100米,右侧的路程为 200 米,大跑道上AB的左、右两侧的路程均是 200 米我们将甲、

48、乙的行程状况分析清楚当甲第一次到达B点时,乙还没有到达B点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA某处而当乙第一次到达B点时,所需时间为200450秒,此时甲跑了650300米,在离B点300200100米处乙跑出小跑道到达A点需要100425秒,则甲又跑了625150米,在A点左边(100150)20050米处所以当甲再次到达B处时,乙还未到B处,那么甲必定能在B点右边某处与乙第二次相遇从乙再次到达A处开始计算,还需(40050)(64)35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了502535110秒所以,从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了6 110660米【答案】660米【例例 27】 有一种机器人玩具

49、装置,配备长、短不同的两条跑道,其中长跑道长 400 厘米,短跑道长 300 厘米,且有 200 厘米的公用跑道(如下图).机器人甲按逆时针方向以每秒 6 厘米的速度在长跑道上跑动,机器人乙按顺时针方向以每秒 4 厘米的速度在短跑道上跑动.如果甲、乙两个机器人同时从A点出发,那么当两个机器人在跑道上第 3 次迎面相遇时,机器人甲距离出发点A点多少厘米?200200100A【考点】行程问题之环形跑道 【难度】2 星 【题型】解答 14【关键词】小数报【解析】第一次在1B点相遇,这时甲、乙共跑了 400 厘米(见左下图);B1200200100A B2B1200200100A 第二次在2B点相遇,

50、这时甲、乙又共跑了 700 厘米(见右上图);同理,第三次相遇时,甲、乙又共跑了 700 厘米那么到第三次相遇时两者共跑了4007007001800厘米,共用时间1800(64)180（秒）,甲跑了6 1801080（厘米）,距A点4003 1080120 （厘米） 【答案】120厘米【例例 28】 下图是一个玩具火车轨道,A 点有个变轨开关,可以连接 B 或者 C. 小圈轨道的周长是 1.5 米,大圈轨道的周长是 3 米. 开始时,A 连接 C,火车从 A 点出发,按照顺时针方向在轨道上移动,同时变轨开关每隔 1 分钟变换一次轨道连接. 若火车的速度是每分钟 10 米,则火车第 10 次回到