小学数学知识点例题精讲《行程综合问题》教师版.pdf

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1、11. 运用各种方法解决行程内综合问题.2. 发现一些综合问题中,行程与其它模块的联系,并解决奥数综合问题. 行程问题是奥数中的一个难点,内容多而杂.而在行程问题中,还有一些尤其复杂的综合问题.它们大致可以分为两类：一、行程内综合,把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题目中,这就是一道行程内综合题目.例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起,把流水行船和发车间隔结合起来等等.二、学科内综合,这种问题就不只是行程问题了,把行程问题和其它知识模块里的思想方法结合在一起,这种综合性题目的难度也很大,比如行程与策略综合等等.本讲内容主要就是针对这种综合性题目.虽然题目难度偏大,但是这种题目在杯赛和小升初

2、试题中是很受“偏爱”的.所以很重要.模块一、行程内综合【例例 1】邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面山里,从邮局开始要走 12 千米上坡路,8 千米下坡路.他上坡时每小时走 4 千米,下坡时每小时走 5 千米,到达目的地停留 1 小时以后,又从原路返回,邮递员什么时候可以回到邮局?【考点】变速问题与走停问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】法一：先求出去的时间,再求出返回的时间,最后转化为时刻.邮递员到达对面山里需时间：124+85=4.6(小时);邮递员返回到邮局共用时间：84+125+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=

3、5(时).邮递员是下午 5 时回到邮局的.法二：从整体上考虑,邮递员走了（12+8）千米的上坡路,走了（12+8）千米的下坡路,所以共用时间为：（12+8）4+（12+8）5+1=10(小时),邮递员是下午 7+10-12=5(时) 回到邮局的.【答案】5 时【例例 2】小红上山时每走 30 分钟休息 10 分钟,下山时每走 30 分钟休息 5 分钟已知小红下山的速度是上山速度的1.5倍,如果上山用了 3 小时 50 分,那么下山用了多少时间?【考点】变速问题与走停问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】上山用了 3 小时 50 分,即60350230 (分),由2303010530 （,

4、得到上山休息了 5 次,走了230105180(分)因为下山的速度是上山的1.5倍,所以下山走了1801.5120(分)由120304知,下山途中休息了 3 次,所以下山共用12053135(分)2小时 15 分【答案】2小时 15 分知识精讲知识精讲教学目标教学目标行程综合问题行程综合问题2【例例 3】已知猫跑 5 步的路程与狗跑 3 步的路程相同;猫跑 7 步的路程与兔跑 5 步的路程相同而猫跑3 步的时间与狗跑 5 步的时间相同;猫跑 5 步的时间与兔跑 7 步的时间相同,猫、狗、兔沿着周长为 300 米的圆形跑道,同时同向同地出发问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程?【考点】环形跑

5、道与猎狗追兔 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】方法一：由题意,猫与狗的速度之比为9:25,猫与兔的速度之比为25:49设单位时间内猫跑 1 米,则狗跑259米,兔跑4925米狗追上猫一圈需25675300194单位时间,兔追上猫一圈需496253001252单位时间猫、狗、兔再次相遇的时间,应既是6754的整数倍,又是6252的整数倍6754与6252的最小公倍数等于两个分数中,分子的最小公倍数除以分母的最大公约数,即675,625675 62516875,8437.5424,22上式表明,经过8437.5个单位时间,猫、狗、兔第一次相遇此时,猫跑了8437.5米,狗跑了258437.5

6、23437.59米,兔跑了498437.516537.525米方法二：根据题意,猫跑 35 步的路程与狗跑 21 步的路程、兔跑 25 步的路程相等;而猫跑 15 步的时间与狗跑 25 步、兔跑 21 步的时间相同所以猫、狗、兔的速度比为15 25 21:35 21 25,它们的最大公约数为15,25,2115 25 211,35 21 2535,21,253 5 57 ,即设猫的速度为151225353 557 ,那么狗的速度为251625213 557 ,则兔的速度为211441253 557 于是狗每跑3300(625225)4单位时追上猫;兔每跑25300(441225)18单位时追上

7、猫而3,253 2575,4 184,182,所以猫、狗、兔跑了752单位时,三者相遇猫跑了752258437.52米,狗跑了7562523437.52米,兔跑了7544116537.52米【答案】16537.5米【例例 4】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去.相遇后甲比原来速度增加 2 米秒,乙比原来速度减少 2 米秒,结果都用 24 秒同时回到原地.求甲原来的速度.3【考点】环形跑道与变速问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】因为相遇前后甲,乙的速度和没有改变,如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒,则相遇前两人和跑一圈也用 24 秒.以甲为

8、研究对象,甲以原速 V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒的路程之和等于 400 米,24V +24（V +2 ）=400 易得 V = 173米/秒 【答案】173米/秒【例例 5】环形跑道周长是 500 米,甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发.甲每分跑 120 米,乙每分跑100 米,两人都是每跑 200 米停下休息 1 分.甲第一次追上乙需多少分?【考点】环形跑道与变速问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】55 分.解：甲比乙多跑 500 米,应比乙多休息 2 次,即 2 分.在甲多休息的 2 分内,乙又跑了 200 米,所以在与甲跑步的相同时间里,甲比乙多跑

9、500200700（米）,甲跑步的时间为700（120100）35（分）.共跑了 120354200（米）,中间休息了 42002001 20（次）,即 20 分.所以甲第一次追上乙需 352055（分）.【答案】55 分【例例 6】甲、乙两人同时同地同向出发,沿环形跑道匀速跑步如果出发时乙的速度是甲的2.5倍,当乙第一次追上甲时,甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即减少20%,并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距 100 米,那么这条环形跑道的周长是 米BCA【考点】环形跑道与变速问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如图,设跑道周长为 1,出发时甲速为 2,则乙速为 5

10、假设甲、乙从A点同时出发,按逆时针方向跑由于出发时两者的速度比为2:5,乙追上甲要比甲多跑 1 圈,所以此时甲跑了21(52)23,乙跑了53;此时双方速度发生变化,甲的速度变为2(125%)2.5,乙的速度变为5(120%)4,此时两者的速度比为2.5:45:8;乙要再追上甲一次,又要比甲多跑 1 圈,则此次甲跑了51(85)53,这个53就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程从环形跑道上来看,第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离,既可能是52133 个周长,又可能是51233个周长那么,这条环形跑道的周长可能为21001503米或11003003米【答案】300米【例例 7】如图所示

11、,甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步.跑道右半部分(粗线部分）道路比较泥泞,所以两人的速度都将减慢,在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米,而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米.两人一直跑下去,问：他们第 99 次迎面相遇的地方距A点还有 米.4A【考点】环形跑道与变速问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】本题中,由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同,可以发现,如果甲、乙各自绕着圆形跑道跑一圈,两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同,那么两人所用的总时间也就相同,所以,两人同时出发,跑一圈后同时回到A点,即两人在A点迎面相遇,然后再从A点出发背向而行,可

12、以发现,两人的行程是周期性的,且以一圈为周期在第一个周期内,两人同时出发背行而行,所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇,这是两人第一次迎面相遇,然后回到出发点是第二次迎面相遇;然后再出发,又在同一个相遇点第三次相遇,再回到出发点是第四次相遇可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点,偶数次相遇点都是A点本题要求的是第 99 次迎面相遇的地点与A点的距离,实际上要求的是第一次相遇点与A点的距离对于第一次相遇点的位置,需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快,所以甲从出发到跑完正常道路时,乙才跑了20084100 米,此时两人相距 100 米,且之间全是泥泞道路,此时两人速度相同,所以再各跑 50 米

13、可以相遇所以第一次相遇时乙跑了10050150米,这就是第一次相遇点与A点的距离,也是第 99 次迎面相遇的地点与A点的距离【答案】150米【例例 8】甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发,沿相反方向跑,每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈,跑第一圈时,乙的速度是甲速度的 2/3.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3;乙跑第二圈时速度提高了 1/5已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米,那么这条椭圆形跑道长多少米?【考点】环形跑道与变速问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设甲跑第一圈的速度为 3,那么乙跑第一圈

14、的速度为 2,甲跑第二圈的速度为 4,乙跑第二圈的速度为125.如下图：第一次相遇地点逆时针方向距出发点35的跑道长度有甲回到出发点时,乙才跑了23的跑道长度.在乙接下来跑了13跑道的距离时,甲以“4”的速度跑了122433圈所以还剩下13的跑道长度,甲以 4 的速度,乙以125的速度相对而跑,所以乙跑了11212435518圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点18圈即第一次相遇点与第二次相遇点相差31195840圈,所以,这条椭圆形跑道的长度为1919040040米【答案】400米【例例 9】如图 3-5,正方形 ABCD 是一条环形公路已知汽车在 AB 上时速是 90 千米,在 BC

15、上的时速是120 千米,在 CD 上的时速是 60 千米,在 DA 上的时速是 80 千米从 CD 上一点 P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在 AB 中点相遇如果从 PC 的中点 M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 上一点 N 相遇问 A 至 N 的距离除以 N 至 B 的距离所得到的商是多少?5【考点】环形跑道与变速问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形 ABCD 的边长为单位“1”.有甲从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为608090PDDAAO10.5608090PD.乙从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为60

16、12090PCBCBO10.56012090PD.有甲、乙同时从 P 点出发,则在 AB 的中点 O 相遇,所以有：16080PD=160120PC且有 PD=DC-PC=1-PC,代入有116080PC160120PC,解得 PC=58. 所以 PM=MC=516,DP=38. 现在甲、乙同时从 PC 的中点出发,相遇在 N 点,设 AN 的距离为x. 有甲从 M 到达 N 点所需时间为608090MDDAAN351816608090 x;乙从 M 到达 N 点所需时间为6012090MCCBBN511166012090 x.有351816608090 x511166012090 x,解得1

17、32x .即 AN=132.所以 ANBN1313232131【答案】131【例例 10】 一条环形道路,周长为 2 千米甲、乙、丙 3 人从同一点同时出发,每人环行 2 周现有自行车2 辆,乙和丙骑自行车出发,甲步行出发,中途乙和丙下车步行,把自行车留给其他人骑已知甲步行的速度是每小时 5 千米,乙和丙步行的速度是每小时 4 千米,3 人骑车的速度都是每小时 20千米请你设计一种走法,使 3 个人 2 辆车同时到达终点那么环行 2 周最少要用多少分钟?【考点】环形跑道与变速问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】如果甲、乙、丙均始终骑车,则甲、乙、丙同时到达,单位“1”的路程只需时间12

18、0;乙、丙情况类似,所以先只考虑甲、乙,现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程,耽搁的时间比为：1111:3:4520420 而他们需同时出发,同时到达,所以耽搁的时间应相等于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比,即6为 4:3;因为丙的情形与乙一样,所以甲、乙、丙三者步行距离比为 4:3:3 因为有 3 人,2 辆自行车,所以,始终有人在步行,甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长 于是,甲步行的距离为 24433=0.8 千米;则骑车的距离为 22-0.8=3.2 千米; 所以甲需要时间为(0.83.2520)60=19.2 分钟 环形两周的最短时间为 19.2 分钟 参考方案如下：甲先

19、步行 0.8 千米,再骑车 3.2 千米; 乙先骑车 2.8 千米,再步行 0.6 千米,再骑车 0.6 千米(丙留下的自行车) ; 丙先骑车 3.4 千米,再步行 0.6 千米【答案】19.2 分钟【例例 11】 甲、乙两人在 400 米圆形跑道上进行 10000 米比赛两人从起点同时同向出发,开始时甲的速度为每秒 8 米,乙的速度为每秒 6 米当甲每次追上乙以后,甲的速度每秒减少 2 米,乙的速度每秒减少 0.5 米这样下去,直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始,两人都把自己的速度每秒增加 O.5 米,直到终点那么领先者到达终点时,另一人距终点多少米?【考点】环形跑道与变速问题 【难度】4

20、 星 【题型】解答【解析】 对于这道题只能详细的分析逐步推算,以获得解答 先求出当第一次甲追上乙时的详细情况,因为甲乙同向,所以为追击问题 甲、乙速度差为 8-6=2 米秒,当甲第一次追上乙时,甲应比乙多跑了一圈 400 米,即甲跑了40028=1600 米,乙跑了 40026=1200 米 相遇后,甲的速度变为 8-2=6 米秒,乙的速度变为 6-0.5=55 米秒显然,甲的速度大于乙,所以仍是甲超过乙 当甲第二次追上乙前,甲、乙速度差为 6-5.5=0.5 米秒,追上乙时,甲应在原基础上再比乙多跑一圈400 米,于是甲又跑了 4000.56=4800 米,乙又跑了 4000.55.5=44

21、00 米 甲第二次追上乙后,甲的速度变为 6-2=4 米秒,乙的速度变为 5.5-0.5= 5 米秒显然,现在乙的速度大于甲,所以变为乙超过甲 当乙追上甲时,甲、乙速度差为 5-4=1 米秒,乙追上甲时,乙应比甲多跑一圈 400 米,于是甲又跑了40014=1600 米,乙又跑了 40015=2000 米. 这时甲的速度变为 4+0.5=4.5 米秒,乙的速度变为 5+0.5=5.5 米秒并以这样的速度跑完剩下的全程 在这过程中甲共跑了 1600+4800+1600=8000 米,乙共跑了 1200+4400+2000=7600 米 甲还剩下 10000-8000=2000 米的路程,乙还剩下

22、 10000-7600=2400 米的路程 显然乙先跑完全程,此时甲还剩下2400400420004.5365.51111米的路程 即当领先者到达终点时,另一人距终点43611米 评注：此题考察了我们的分析问题的能力,也考察了我们对追击这一基本行程问题的熟练程度.【答案】43611米7【例例 12】 12】某人乘坐观光游船沿河流方向从A港前行发现每隔 40 分钟就有一艘货船从后面追上游船,每隔 20 分钟就会有一艘货船迎面开过已知A、B两港之间货船发出的间隔时间相同,且船在静水中速度相同,均是水速的 7 倍那么货船的发出间隔是_分钟【考点】流水行船与发车间隔 【难度】4 星 【题型】解答【关键

23、词】数学解题能力展示,高年级组,初试【解析】设水速为v,则船速为7v,顺水船速为8v,逆水船速为6v设货船发出的时间间隔为t,则顺水船距为8vt,逆水船距为6vt设游船速度为w,则有40 88vwvvt,20 66vwvvt解得28t,1.4wv【答案】28模块二、学科内综合【例例 13】 甲、乙两辆车从 A 城开往 B 城,速度是 55 于米小时,上午 10 点,甲车已行的路程是乙车已行的路程的 5 倍：中午 12 点,甲车已行的路程是乙车已行的路程的 3 倍问乙车比甲车晚出发多少小时?【考点】行程问题与差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】希望杯,四年级,二试 【解析】行程与和

24、差倍问题【解析】路程差不变,画图求解【解析】【解析】图中粗线是 10 点到 12 点 2 小时走的路程为 1 份,从图中可以看出甲比乙多走 4 份则乙车比甲车晚出发 8 小时 （注,此题所求的是时间差,不需要将速度带入 ）【答案】8 小时【例例 14】 张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行.张明平均每小时行 5 千米;而李军第一小时行 1 千米,第二小时行 3 千米,第三小时行 5 千米,（连续奇数）.两人恰好在甲、乙两地的中点相遇.甲、乙两地相距多少千米?【考点】行程问题与数列综合 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】因为李军走的路程为：135若干个奇数相加,结果为中间数个数,而张平走的

25、路程为5小时数,所以知道李军走的路程为：1357925,那么两个人分别走了2555（小时）,所以路程为：25250（千米）.【答案】50千米【巩固】 甲、乙两个电动玩具车同时从轨道的两端相对而行,甲车每秒行 5 厘米,乙车第一秒行 1 厘米,第二秒行 2 厘米,第三秒行 3 厘米,这样两车相遇时,走的路程相同.则轨道长_厘米.【考点】行程问题与数列综合 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,一试【解析】路程相同,时间相同,甲乙的平均速度是一样的,1、2、3、4、5、6、7、8、9,乙走了 9 秒,距离为 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 厘米,轨道长 90 厘米.【答

26、案】90 厘米【巩固】 龟兔赛跑,全程 5.2 千米,兔子每小时跑 20 千米,乌龟每小时跑 3 千米乌龟不停地跑;但兔子却边跑边玩,它先跑了 1 分钟然后玩 15 分钟,又跑 2 分钟然后玩 15 分钟,再跑 3 分钟然后玩 15 分钟,那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟?8【考点】行程问题之数列综合 【难度】3 星 【题型】填空【解析】乌龟到达终点所需时间为 5.2360=104 分钟 兔子如果不休息,则需要时间 5.22060=15.6 分钟 而兔子休息的规律是跑 1、2、3、分钟后,休息 15 分钟 因为 15.6=1+2+3+4+5+0.6,所以兔子休息了 515=75 分钟,

27、即兔子跑到终点所需时间为156+75=906 分钟显然,兔子先到达,先乌龟 104-90.6=13.4 分钟达到终点【答案】兔子先到达,先乌龟 104-90.6=13.4 分钟达到终点【例例 15】 科技小组演示自制机器人,若机器人从点 A 向南行走 1.2 米,再向东行走 1 米,接着又向南行走 1.8米,再向东行走 2 米,最后又向南行走 1 米到达 B 点,则 B 点与 A 点的距离是（ ）米. （A）3 （B）4 （C）5 （D）7【考点】行程问题与几何综合 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】华杯赛,初赛【解析】C【答案】C【例例 16】 两条公路成十字交叉,甲从十字路口南 12

28、00 米处向北直行,乙从十字路口处向东直行.甲、乙同时出发 10 分后,两人与十字路口的距离相等,出发后 100 分,两人与十字路口的距离再次相等,此时他们距十字路口多少米?【考点】行程问题与几何综合 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】希望杯,六年级,二试【解析】5400 米.解：如右图所示,出发后 10 分两人与十字路口距离相等,相当于两人相距 1200 米,10 分后相遇,两人的速度和为 120010=120（米）.出发后 100 分两人再次与十字路口距离相等,相当于两人相距 1200 米,100 分后甲追上乙.由此推知两人的速度差为 120010012（米）.乙每分行（12012）

29、2=54（米）,出发 100 分后距十字路口 5400 米.【答案】5400 米【例例 17】 如图 6,迷宫的两个入口处各有一个正方形（甲）机器人和一个圆形机器人（乙）,甲的边长和乙的直径都等于迷宫入口的宽度.甲和乙的速度相同,同时出发,则首先到达迷宫中心（）处的是 .9【考点】行程问题与几何综合 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】希望杯,六年级,一试【解析】甲、乙两机器人走的路程就是正方形,和圆的中心所走的路程,他们走的直线路程都相等,只是在拐弯时圆能滚动,如左下图可以由实线位置滚动到虚线位置,这样正方形中心在拐弯时走的是折线部分,圆的中心在拐弯时走的是弧线部分,如右下图,所以是乙先

30、到达【答案】乙先到达【例例 18】 A、B 两地位于同一条河上,B 地在 A 地下游 100 千米处甲船从 A 地、乙船从 B 地同时出发,相向而行,甲船到达 B 地、乙船到达 A 地后,都立即按原来路线返航水速为 2 米/秒,且两船在静水中的速度相同如果两船两次相遇的地点相距 20 千米,那么两船在静水中的速度是 【例例 19】 米/秒【考点】行程问题与几何综合 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,复赛,高年级组【解析】本题采用折线图来分析较为简便NMFEDCBA如图,箭头表示水流方向,ACE表示甲船的路线,BDF表示乙船的路线,两个交点M、N就是两次相遇的地点由于两船在静水中的

31、速度相同,所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同,那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同,表现在图中,就是BC和DE的长度相同,AD和CF的长度相同那么根据对称性可以知道,M点距BC的距离与N点距DE的距离相等,也就是说两次相遇地点与A、B两地的距离是相等的而这两次相遇的地点相距 20 千米,所以第一次相遇时,两船分别走了10020240千米和1004060千米,可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2而顺水速度与逆水速度的差为水速的 2 倍,即为 4 米/秒,可得顺水速度为432312米/秒,那么两船在静水中的速度为12210米/秒【答案】10米/秒【例例 20】 20】夜

32、里下了一场大雪,早上,小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度,他们从同一点同向10行走,小龙每步长 54 厘米,爸爸每步长 72 厘米,两人各走完一圈后又都回到出发点,这时雪地上只留下 60 个脚印.那么这条小路长 .【考点】行程问题与数论综合 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,5 年级,1 试【解析】爸爸走 3 步和小龙走 4 步距离一样长,也就是说他们一共走 7 步,但却只会留下 6 个脚印,也就是说每 216 厘米会有 6 个脚印,那么有 60 个脚印说明总长度是216 102160厘米,也就是 21.6 米.【答案】21.6 米【例例 21】 21】甲、乙两地相距 1

33、00 千米,张山骑摩托车从甲地出发,1 小时后李强驾驶汽车也从甲地出发,二人同时到达乙地.已知摩托车开始的速度是每小时 50 千米,中途减为每小时 40 千米;汽车的速度是每小时 80 千米,并在途中停留 10 分钟.那么,张山骑摩托车在出发 分钟后减速.【考点】行程问题与鸡兔同笼 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,高年级,初试【解析解析解析】汽车行驶了：100806075 （分）;摩托车行驶了：756010145 （分）设摩托车减速前行驶了x分,则减速后行驶了145x分,列方程为：14550401006060 xx 55804600 xx 20 x 所以张山骑摩托车出发 20

34、分钟后减速.【答案】20 分钟【例例 22】 甲、乙两人在河中先后从同一个地方同速同向游进现在甲位于乙的前方,乙距起点 20 米;当乙游到甲现在的位置时,甲已离起点 98 米问：甲现在离起点多少米?【考点】行程问题中的年龄问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,初赛【解析】当乙游到甲现在的位置时,甲也游了同样的距离,这距离是(9820)239(米),所以甲现在离起点 392059(米).【答案】59 米【例例 23】 某人由甲地去乙地,如果他从甲地先骑摩托车行 12 小时,再换骑自行车行 9 小时,恰好到达乙地,如果他从甲地先骑自行车 21 小时,再换骑摩托车行 8 小时,也恰好

35、到达乙地,问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地?【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛【解析】对比分析法： 骑摩托车 骑自行车 方案一 12 小时 9 小时方案二 8 小时 21 小时 方案一比方案二 多 4 少 12说明 摩托车 4 小时走的路程=骑自行车 12 小时走的路程推出 摩托车 1 小时走的路程=骑自行车 3 小时走的路程整理全程骑摩托车需要 129315（小时）【答案】15 小时【例例 24】 甲、乙两人同时从两地出发相向而行,相遇后继续前进,当两人相距2.5千米时 ,甲走了全程的23,乙走了全程的34.两地相距多少千米?【考点】行程问题中的工

36、程问题 【难度】2 星 【题型】解答 11【解析】6千米,解：232.51634（千米）【答案】6千米【例例 25】 甲、乙二人骑车同时从环形公路的某点出发,背向而行,已知甲骑一圈需 48 分,出发后 30 分两人相遇.问：乙骑一圈需多长时间?【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】80分,解：111803048（分）.【答案】80分【例例 26】 甲、乙两站相距不到 500 千米,A,B 两列火车从甲、乙两站相对开出,A 车行至 210 千米处停车,B 车行至 270 千米处也停车,这时两车相距正好是甲、乙两站距离的19.甲乙两站的距离是多少? 【考点】行程问题中

37、的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】432 千米.提示：分两车未相遇与已相遇两种情况.若未相遇,全程为121027015409（千米）,不合题意;若已相遇,全程为121027014329（千米）,符合题意.【答案】432千米【例例 27】 客车和货车同时从甲、乙两地相向开出,客车行完全程需 10 时,货车行完全程需 15 时.两车在中途相遇后,客车又行了 90 千米,这时客车行完了全程的 80,求甲、乙两地的距离.【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】450千米.提示：相遇时客车行了全程的35.【答案】35【例例 28】 小王和小李同时从两地相向而行

38、,小王走完全程要 60 分,小李走完全程要 40 分.出发后 5 分,小李因忘带东西而返回出发点,因取东西耽误了 5 分,小李再出发后多长时间两人相遇?【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】18分,解：1511118606040（分）.【答案】18分【例例 29】 两列火车从甲、乙两地相向而行,慢车从甲地到乙地需要 8 时,比快车从异地到甲地所需时间多13.一直两车同时开出,相遇时快车比慢车多行 48 千米,求甲、乙两地的距离.【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】336 千米.解：快、慢车行一个单程所需时间之比为 34,相遇时两车分

39、别行了全程的47和37.【答案】336 千米【例例 30】 甲、乙二人在环形自行车赛场上训练,已知两人骑一圈分别需要 23 秒和 27 秒.如果两人同时从起点出发,背向而行,那么他们再次相遇需要多长时间?如果是同向行,那么甲超过乙需要多长时间?12【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】背向而行 12.24 秒,同向而行 155.25 秒.提示：甲、乙1秒分别骑一圈的123和127.【答案】背向而行 12.24 秒,同向而行 155.25 秒【例例 31】 甲、乙两汽车先后从 A 地出发到 B 地去,当甲车到达 A,B 两地中点时,乙车走了全程的15;当甲车到达B地

40、时,乙车走了全程的23.求甲、乙两车车速之比.【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】15:14,解：由题意,甲车从中点到B点行了全程的12,此期间,乙车行了全程的2173515,两车速度之比为171521514.【答案】15:14【例例 32】 大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶.大货车先走 1.5 时,小轿车出发 4 时后追上了大货车.如果小轿车每小时多行 5 千米,那么出发后 3 时就可追上大货车.问：小轿车实际上每时行多少千米?【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】55 千米.解：以大货车的时速为单位“1”,则小轿车的实

41、际时速为41.54,小轿车每时多行5千米的时速为31.53,5千米对应的分率是31.541.534.大货车每时行31.541.554034（千米）,小轿车每小时行41.540554（千米）【答案】55 千米【例例 33】 星期天早晨,哥哥和弟弟都要到奶奶家去.弟弟先走 5 分,哥哥出发后 25 分追上了弟弟.如果哥哥每分多走 5 米,那么出发后 20 分就可以追上弟弟.弟弟每分走多少米?【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】100米,解：各个的速度是弟弟的2556255（倍）.如果哥哥每分钟多走5米,则哥哥的速度是弟弟的2055204（倍）.弟弟每分钟走56155

42、1004520（米）【答案】100米【例例 34】 四年级一班在划船比赛前讨论了两个比赛方案.第一个方案是在比赛中分别以 2 米/秒和 3 米/秒的速度各划行赛程的一半;第二个方案是在比赛中分别以 2 米/秒和 3 米/秒的速度各划行比赛时间的一半.你认为这两个方案哪个好?【考点】行程问题与策略综合 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】第二种方案【答案】第二种方案【例例 35】 一条单线铁路上有 A,B,C,D,E 5 个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).两列火车同时从 A,E 两站相对开出,从 A 站开出的每小时行 60 千米,从 E 站开出的每小时行 50 千米.由于单线铁路上

43、只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟? 【考点】行程问题与策略综合 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】两列火车同时从 A,E 两站相对开出,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知道应在哪一个车站停车等待时间最短.从图中可知:13AE 的距离是:225+25+15+230=495(千米),两车相遇所用的时间是:495(60+50)=4.5(小时),相遇处距 A 站的距离是:604.5=270(千米),而 A,D 两站的距离为:225+25+15=2

44、65(千米),由于 270千米265 千米,因此从 A 站开出的火车应安排在 D 站相遇,才能使停车等待的时间最短.因为相遇处离 D 站距离为 270-265=5(千米),那么,先到达 D 站的火车至少需要等待:1156055060(小时) ,1160小时=11 分钟【答案】11 分钟【例例 36】 一辆汽车往线路上运送电线杆,从出发地装车,每次拉 4 根,线路上每两根电线杆间距离为 50 米,共运了两次,装卸结束后返回原地共用 3 时.其中装一次车用 30 分,卸一根电线杆用 5 分,汽车运行时的平均速度是 24 千米时,求第一根电线杆离出发点的距离.【考点】行程问题与植树问题综合 【难度】

45、2 星 【题型】解答 【解析】7.75 千米.解：装两次车卸 8 根电线杆,共用 30258=100（分）.剩下的603 10080 （分）,即113时,是汽车运行时间,共行驶124 1323（千米）.如上图所示,汽车第一次在 A,C 间运行一个来回,第二次在 A,D 间运行一个来回,其中 B,D 间的一个来回与 B,C 间的一个来回共 1000 米,所以 A,B 间距离为（321）4=7.75（千米）,即第一根电线杆离出发点 7.75 千米.【答案】7.75 千米【例例 37】 在一个沙漠地带,汽车每天行驶 200 千米,每辆汽车载运可行驶 24 天的汽油现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发,并

46、在完成任务后,沿原路返回为了让甲车尽可能开出更远的距离,乙车在行驶一段路程后,仅留下自己返回出发地的汽油,将其他的油给甲车求甲车所能开行的最远距离【考点】行程问题与策略综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 甲车尽可能行驶更远,则乙车离开甲车时,应保证甲车还有可行驶 24 天的汽油设此时乙车已行驶了 x 天,有甲也行驶了 x 天,乙返程也需要 x 天,有 x+x+x+24=48,所以 x=8,即乙车行驶 8 天后返程留下还可行驶 8 天的汽油,将剩下的 24-8-8=8 天的汽车给甲车所以加上开始的 24 天的汽油,甲车共得到 24+8=32 天的汽油那么甲车单程最多可行驶322=16 天即甲车所能开行的最远距离为 16200=3200 千米【答案】3200 千米