小学数学知识点例题精讲《同余问题》学生版.pdf
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1、11. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理1、定义:若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数,那么称 a、b 对于模 m 同余,用式子表示为:ab ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作:a 同余于 b,模 m.2、重要性质及推论:(1)若两个数 a,b 除以同一个数 m 得到的余数相同,则 a,b 的差一定能被 m 整除例如:17与11除以3的余数都是2,所以1711()能被3整除(2)用式子表示为:如果有 ab ( mod m ),那么一定有 abmk,k 是整数,即 m|(ab)3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但
2、当被除位数较多时,计算是很麻烦的建立余数判别法的基本思想是:为了求出“N 被 m 除的余数”,我们希望找到一个较简单的数 R,使得:N 与 R 对于除数 m 同余由于 R 是一个较简单的数,所以可以通过计算 R 被 m 除的余数来求得 N 被 m 除的余数 整数 N 被 2 或 5 除的余数等于 N 的个位数被 2 或 5 除的余数; 整数 N 被 4 或 25 除的余数等于 N 的末两位数被 4 或 25 除的余数; 整数 N 被 8 或 125 除的余数等于 N 的末三位数被 8 或 125 除的余数; 整数 N 被 3 或 9 除的余数等于其各位数字之和被 3 或 9 除的余数; 整数
3、N 被 11 除的余数等于 N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被 11 除的余数;(不够减的话先适当加 11 的倍数再减); 整数 N 被 7,11 或 13 除的余数等于先将整数 N 从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被 7,11 或 13 除的余数就是原数被 7,11 或 13 除的余数模块一、两个数的同余问题【例例 1】 1】 有一个整数,除 39,51,147 所得的余数都是 3,求这个数.例题精讲例题精讲知识点拨知识点拨教学目标教学目标5-5-3.5-5-3.同余问题同余问题2【例例 2】 2】 某个两位数加上 3 后被 3 除余 1,加上 4 后被
4、4 除余 1,加上 5 后被 5 除余 1,这个两位数是_. 【例例 3】 3】 有一个自然数,除 345 和 543 所得的余数相同,且商相差 33求这个数是多少?【例例 4】 4】 一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220 后所得的余数,则这个自然数是多少?【例例 5】 5】 两位自然数ab与ba除以 7 都余 1,并且ab,求abba【例例 6】 6】 现有糖果 254 粒,饼干 210 块和桔子 186 个.某幼儿园大班人数超过 40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子.余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是:1:3:2
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