2022年浙教版八年级下专题五与平行四边形的性质有关的计算与证明 .pdf

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1、专题五与平行四边形的性质有关的计算与证明_ (教材 P90作业题第 5 题) 已知：如图 1，在?ABCD 中，过 AC 的中点 O 的直线分别交 CB，AD 的延长线于点 E，F. 求证： BEDF. 图 1 证明： 在平行四边形 ABCD 中，点 O 是 AC 的中点， OAOC，AD BC，ADBC， FACECA，又AOFCOE， AOF COE(ASA )， AFCE，AFADCEBC，即 DFBE. 【思想方法】平行四边形对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质可以作为判定平行四边形中三角形全等的条件如图 2，已知?ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O

2、任作一直线分别交 AD，CB 的延长线于 E，F，求证： OEOF. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页图 2 证明： 在?ABCD 中，AOCO，ADBC， EF， EAOFCO.在AOE和COF 中， EF， EAOFCO，AOCO， AOE COF(AAS )， OEOF. 2013南充如图 3，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，经过点 O 的直线交 AB 于 E，交 CD 于 F. 求证： OEOF. 图 3 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，AB CD. OAEO

3、CF. AOECOF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页 OAE OCF(ASA ) OEOF. 2013淮安如图 4，在平行四边形ABCD 中，过 AC 中点 O 作直线分别交 AD，BC 于点 E，F.求证： AOECOF. 图 4 证明： O 为 AC 中点， OAOC.四边形 ABCD 为平行四边形， AD BC. EAOFCO， AEOCFO. AOE COF.已知：如图 5，BD 为?ABCD 的对角线， O 为 BD 的中点， EFBD 于点 O，与 AD，BC 分别交于点 E，F.求证： DEDF.

4、图 5 证明： 在平行四边形 ABCD 中，ADBC， OBFODE. O 为 BD 的中点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页 OBOD.在BOF 和DOE 中， OBFODE，OBOD， BOFDOE， BOF DOE. OFOE. EFBD 于点 O， DEDF. 如图 6，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过 O点作直线 EF 分别交 BC，AD 于 E，F. (1)求证： BEDF；(2)若 AC，EF 将平行四边形 ABCD 分成的四部分的面积相等，指出E 点的位置，并说明理由图 6

5、 解：(1)证明：如图，在平行四边形ABCD 中， AD BC，12， 34. O 是 AC 的中点， AOCO，在 AOF 与COE 中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页 34， 12，AOCO， AOF COE，AFCE.又ADBC， ADAFBCCE，即 BEDF.变形 5 答图(2)当 E 点与 B 点重合时，EF 将平行四边形 ABCD 分成的四个部分的面积相等理由：四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC，OBOD，由ABO与AOD 等底同高可知面积相等，同理， ABO 与BOC 的面积相等，AOD 与

6、COD 的面积相等，从而易知所分成的四个三角形面积相等2013漳州如图 7，?ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上两点，且BEDF. (1)图中共有 _3_对全等三角形；(2)请写出其中一对全等三角形：_，并加以证明图 7 解：(1)图中的全等三角形有： ABECDF， ABD CDB， ADE CBF，共有 3 对故填 3；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页(2)ABECDF.理由如下：在 ?ABCD 中，AB CD，ABCD， ABECDF，在 ABE 与CDF 中，ABCD， ABECDFBEDF， ABE

7、 CDF(SAS )； ABD CDB.理由如下：在 ?ABCD 中，ADCB，ABCD，在 ABD 与CDB 中，ADCB，ABCD，BDDB， ABD CDB(SSS )； ADE CBF.理由如下：在 ?ABCD 中，AD BC，ADCB， ADECBF. BEDF，DEBF，在 ADE 与CBF 中，ADCB， ADECBF.DEBF， ADE CBF(SAS )2013徐州如图 8， 四边形 ABCD 是平行四边形， DE 平分 ADC交 AB 于点 E，BF 平分 ABC 交 CD 于点 F. (1)求证： DEBF；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

8、- - - - - - -第 6 页，共 8 页(2)连结 EF，写出图中所有的全等三角形(不要求证明 ) 图 8 解：(1)四边形 ABCD 是平行四边形， ADCB，AC， ADCCBA. DE 平分ADC，BF 平分ABC， ADE12 ADC，CBF12 CBA. ADECBF. ADE CBF(ASA) DEBF(2)ADECBF；DEFBFE. 2013重庆已知：在平行四边形ABCD 中，AEBC，垂足为 E，CECD，点 F 为 CE 的中点，点 G 为 CD 上的一点，连结DF，EG，AG，12. (1)若 CF2，AE3，求 BE的长；(2)求证： CEG12AGE. 图 9

9、 解：(1)点 F 为 CE 的中点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页 CECD2CF4.又四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD4.在 Rt ABE中，由勾股定理，得：BEAB2AE27.(2)证明：如图，延长AG，BC 交于点 H.变形 8 答图CECD，12，CC，CEGCDF.CGCF. 点 F 为 CE 的中点，即 CFEF12CE，又 CECD，CGGD12CD. ADBC，GADH，ADGGCH. ADGHCG.AGHG. AEH90，EG12AHGH. GEHH12AGE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页