考研最全数学公式随身看汇总.pdf

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1、目 录目 录一、高等数学.1(一) 函数、极限、连续.1(二) 一元函数微分学.5(三)一元函数积分学.13(四) 向量代数和空间解析几何. 21(五)多元函数微分学.30(六)多元函数积分学.36(七)无穷级数.41(八)常微分方程.49二、线性代数.54(一) 行列式.54(二)矩阵.55(三) 向量.58(四)线性方程组.61(五)矩阵的特征值和特征向量. 63(六)二次型.65三、概率论与数理统计. 67(一)随机事件和概率.67(二)随机变量及其概率分布.71(三)多维随机变量及其分布.73(四)随机变量的数字特征.77(五)大数定律和中心极限定理. 79(六)数理统计的基本概念.8

2、1(七)参数估计.83(八)假设检验.85经常用到的初等数学公式. 88平面几何. 93考研最全数学公式随身看11一、高等数学一、高等数学(一一) 函数、极限、连续函数、极限、连续考试内容考试内容公式、定理、概念公式、定理、概念函数和隐函数和隐函数函数函数：设有两个变量x和y，变量x的定义域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则， 变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作： yf x基本初等基本初等函数的性函数的性质及其图质及其图形，初等形，初等函数，函函数，函数关系的数关系的建立：建立：基本初等函数包括五类函数:1 幂函数:yxR;2 指数函数xya(0a 且1a

3、 );3 对数函数:logayx(0a 且1a );4 三角函数:如sin ,cos ,tanyx yx yx等;5 反三角函数:如arcsin ,arccos ,arctanyx yx yx等.初等函数：由常数C和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数.数列极限数列极限与函数极与函数极限的定义限的定义及 其 性及 其 性质，函数质，函数的左极限的左极限1000lim( )()()xxf xAfxfxA2000lim( )()( ),lim ( )0 xxxxf xAf xAa xa x其中3(保号定理保号定理)22与右极限与右极限0l

4、im( ),0(0),0 xxf xAAA设又或则 一个,000(,),( )0( )0)xxxxxf xf x当且时，或无穷小和无穷小和无穷大的无穷大的概念及其概念及其关系，无关系，无穷小的性穷小的性质及无穷质及无穷小的比较小的比较lim)0,lim( )0 xx设（( )(1)lim0,( )( )xxxx若则是比（ 高阶的无穷小，记为 (x)=o( (x).( )(2)lim,( )( )xxxx 若则是比（低阶的无穷小，( )(3)lim(0),( )( )xc cxxx若则与（是同阶无穷小，是同阶无穷小，( )(4)lim1,( )( )xxxx若则与（ 是等价的无穷小，记为 (x)

5、(x)( )(5)lim(0),0,( )( )kxc ckxxx若则是（ 的k阶无穷小0 x 常用的等阶无穷小：当时sinarcsintan,arctanln(1)e1xxxxxxx2111 cos21(1)1nxxxxn无穷小的性质（1）有限个无穷小的代数和为无穷小（2）有限个无穷小的乘积为无穷小（3）无穷小乘以有界变量为无穷小33Th在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大极限的四极限的四则运算则运算lim( ),lim ( ).f xAg xB则(1)lim( ( )( )f xg xAB；(2)lim( ) ( )f x g xA B；( )(3)lim(0

6、)( )f xABg xB极限存在极限存在的两个准的两个准则：单调则：单调有界准则有界准则和夹逼准和夹逼准则，两个则，两个重 要 极重 要 极限：限：1()( )( ),xxf xx0夹逼定理）设在 的邻域内，恒有（00lim( )lim ( ),xxxxxxA且0lim( )xxf xA则2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限单调有界定理：单调有界的数列必有极限3 两个重要极限：两个重要极限：0sin(1)lim1xxx10(2)lim(1)exxx重要公式：重要公式：0010111011,lim0,nnnnmmxmmanmba xa xaxanmb xb xbxbnm4 几个常用极限特例

7、lim1,nnnlim arctan2xxlim arctan2xx lim arccot0,xx44lim arccotxxlim e0,xxlim e,xx 0lim1,xxx函数连续函数连续的概念：的概念：函数间断函数间断点的类点的类型：初等型：初等函数的连函数的连续性：闭续性：闭区间上连区间上连续函数的续函数的性质性质连续函数在闭区间上的性质：(1) (连续函数的有界性)设函数 f x在, a b上连续,则 f x在, a b上有界,即常数0M ，对任意的,xa b,恒有 f xM.(2) (最值定理)设函数 f x在, a b上连续,则在, a b上 f x至少取得最大值与最小值各一

8、次,即, 使得: max,a x bff xa b ； min,a x bff xa b .(3) (介值定理)若函数 f x在, a b上连续,是介于 f a与 f b(或最大值M与最小值m)之间的任一实数,则在, a b上至少一个,使得 .fab(4) (零点定理或根的存在性定理)设函数 f x在, a b上连续,且 0f af b,则在, a b内至少一个,使得55 0.fab(二二) 一元函数微分学一元函数微分学考试内容考试内容对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念导数和微导数和微分的概念分的概念左右导数左右导数导数的几导数的几何意义和何意义和物理意义物理意义1导数定义：0000()

9、()()limxf xxf xfxx（1）或或0000( )()()limxxf xf xfxxx（2）2 函数( )f x在0 x处的左、右导数分别定义为：左导数：00000000()()( )()()limlim,()xxxf xxf xf xf xfxxxxxxx 右导数：0000000()()( )()()limlimxxxf xxf xf xf xfxxxx 函数的可函数的可导性与连导性与连续性之间续性之间的关系，的关系，平面曲线平面曲线的切线和的切线和法线法线Th1: 函数( )f x在0 x处可微( )f x在0 x处可导Th2: 若函数( )yf x在点0 x处可导，则( )y

10、f x在点0 x处连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.Th3:0()fx存在00()()fxfx00( )( )(,)f xxxf xM xy0设函数在处可导，则在处的0000000-()()1-(),()0.()yyfxxxyyxxfxfx 切线方程：法线方程: 导数和微导数和微分的四则分的四则运算，初运算，初四则运算法则:设函数( )uu x，( )vv x在点x可导则(1)()uvuv()d uvdudv(2)()uvuvvu()d uvudvvdu66等函数的等函数的导数，导数，(3)2( )(0)uvuuvvvv 2( )uvduudvdvv基本导数与微分表(1)yc（常数）0

11、y 0dy (2)yx(为实数)1yx 1dyxdx(3)xyalnxyaa lnxdyaadx特例(e )exx (e )exxddx(4)1lnyxa 1lndydxxa特例lnyx1(ln ) xx 1(ln )dxdxx(5)sinyxcosyx (sin )cosdxxdx(6)cosyxsinyx (cos )sindxxdx (7)tanyx221seccosyxx 2(tan )secdxxdx(8)cotyx221cscsinyxx 2(cot )cscdxxdx (9)secyxsec tanyxx (sec )sec tandxxxdx(10)cscyxcsc cotyx

12、x (csc )csc cotdxxxdx (11)arcsinyx211yx 21(arcsin )1dxdxx(12)arccosyx211yx 21(arccos )1dxdxx (13)arctanyx211yx 21(arctan )1dxdxx(14)arccotyx211yx 21(arccot )1dxdxx 77(15)yshxychx ()d shxchxdx(16)ychxyshx ()d chxshxdx复合函复合函数，反函数，反函数，隐函数，隐函数以及参数以及参数方程所数方程所确定的函确定的函数的微分数的微分法，法，1 反函数的运算法则: 设( )yf x在点x的某邻

13、域内单调连续，在点x处可导且( )0fx，则其反函数在点x所对应的y处可导，并且有1dydxdxdy2 复合函数的运算法则:若( ) x在点x可导,而( )yf在对应点( ) x)可导,则复合函数( ( )yfx在点x可导,且( )( )yfx3 隐函数导数dydx的求法一般有三种方法：(1)方程两边对x求导， 要记住y是x的函数， 则y的函数是x的复合函数.例如1y，2y，ln y，ey等均是x的复合函数.对x求导应按复合函数连锁法则做.(2)公式法.由( , )0F x y 知( , )( , )xyF x ydydxF x y ,其中，( , )xF x y，( , )yF x y分别表

14、示( , )F x y对x和y的偏导数(3)利用微分形式不变性高 阶 导高 阶 导数，一阶数，一阶微分形式微分形式的 不 变的 不 变性，性，常用高阶导数公式（1）( )( )()ln(0)(e )exnxnxnxaaaa（2）( )(sin)sin()2nnkxkkxn88（3）( )(cos)cos()2nnkxkkxn（4）( )()(1)(1)mnm-nxm m-m-n+x（5）( )(1)(1)!(ln )( 1)nnnnxx （6）莱布尼兹公式：若( )( )u x ,v x均n阶可导，则( )( )()0()nniin-ini=uvc u v，其中(0)u= u，(0)v= v微

15、分中值微分中值定理，必定理，必达法则，达法则，泰勒公式泰勒公式Th1(费马定理)若函数( )f x满足条件：(1)函数( )f x在0 x的某邻域内有定义， 并且在此邻域内恒有0( )()f xf x或0( )()f xf x,(2)( )f x在0 x处可导,则有0()0fxTh2 (罗尔定理) 设函数( )f x满足条件：(1)在闭区间 , a b上连续；(2)在( , )a b内可导，则在( , )a b内一个，使( )0fTh3 (拉格朗日中值定理) 设函数( )f x满足条件：(1)在 , a b上连续；(2)在( , )a b内可导；则在( , )a b内一个，使( )( )( )

16、f bf afbaTh4 (柯西中值定理) 设函数( )f x，( )g x满足条件：(1)在 , a b上连续； (2)在( , )a b内可导且( )fx，( )g x均存在，且( )0g x则在( , )a b内一个，使( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag洛必达法则：法则(00型)设函数 ,f xg x满足条件：99 00lim0, lim0 xxxxf xg x; ,f xg x在0 x的邻域内可导(在0 x处可除外)且 0gx; 0limxxfxgx存在(或).则 00limlim.xxxxf xfxg xgx法则I(00型)设函数 ,f xg x满足条件

17、： lim0,lim0 xxf xg x;一个0X ,当xX时, ,f xg x可导,且 0gx; 0limxxfxgx存在(或).则 00limlim.xxxxf xfxg xgx法则(型) 设函数 ,f xg x满足条件： 00lim, limxxxxf xg x ; ,f xg x在0 x的邻域内可导(在0 x处可除外)且 0gx; 0limxxfxgx存在(或).则 00limlim.xxxxf xfxg xgx同理法则II(型)仿法则I可写出泰勒公式: 设函数( )f x在点0 x处的某邻域内具有1n阶导数，则对该邻域内异于0 x的任意点x，在0 x与x之间至少1010一个，使得20

18、00001( )()()()()()2!fxfxfxxxfxxx( )00()()( )!nnnfxxxRxn其中(1)10( )( )()(1)!nnnfRxxxn称为( )f x在点0 x处的n阶泰勒余项.令00 x ，则n阶泰勒公式()21(0)( )(0)(0)(0)( )2!nnnffxffxfxxRxn(1)其中(1)1( )( )(1)!nnnfRxxn，在 0 与x之间.(1)式称为麦克劳林公式常用五种函数在00 x 处的泰勒公式1211e12!(1)!nxnxxxxenn 或2111()2!nnxxxo xn1311sinsinsin()3!2(1)!2nnxnxnxxxnn

19、或31sin()3!2nnxnxxo xn1211cos1coscos()2!2(1)!2nnxnxnxxnn1111或211cos()2!2nnxnxo xn 1231111( 1)ln(1)( 1)23(1)(1)nnnnnxxxxxxnn 或23111(1)()23nnnxxxxo xn2(1)(1)(1)(1)12!mnm mm mmnxmxxxn11(1)(1)(1)(1)!nm nm mmnxn 或2(1)(1)12!mm mxmxx(1)(1)()!nnm mmnxo xn函数单调函数单调性的判性的判别，函数别，函数的极值，的极值，函数的图函数的图形的凹凸形的凹凸性，拐点性，拐点

20、及渐近及渐近线，用函线，用函数图形描数图形描绘函数最绘函数最大值和最大值和最小值，小值，1 函数单调性的判断：Th1 设函数( )f x在( , )a b区间内可导，如果对( , )xa b ，都有( )0fx （或( )0fx ） ，则函数( )f x在( , )a b内是单调增加的（或单调减少）Th2（取极值的必要条件） 设函数( )f x在0 x处可导， 且在0 x处取极值，则0()0fx.Th3 （取极值的第一充分条件）设函数( )f x在0 x的某一邻域内可微，且0()0fx（或( )f x在0 x处连续，但0()fx不存在.）(1)若当x经过0 x时，( )fx由“+”变“-” ，

21、则0()f x为极大值；(2)若当x经过0 x时，( )fx由“-”变“+” ，则0()f x为极小1212值；(3)若( )fx经过0 xx的两侧不变号，则0()f x不是极值.Th4 (取极值的第二充分条件)设( )f x在点0 x处有( )0fx ，且0()0fx，则 当0()0fx时，0()f x为极大值；当0()0fx时，0()f x为极小值.注：如果0()0fx ，此方法失效.2 渐近线的求法：(1)水平渐近线若lim( )xf xb，或lim( )xf xb，则yb称为函数( )yf x的水平渐近线.(2)铅直渐近线若0lim( )xxf x ， 或0lim( )xxf x ，

22、则0 xx称为( )yf x的铅直渐近线.(3)斜渐近线若( )lim,lim ( )xxf xabf xaxx，则yaxb称为( )yf x的斜渐近线3 函数凹凸性的判断：Th1 (凹凸性的判别定理） 若在 I 上( )0fx （或( )0fx ） ，则( )f x在 I 上是凸的（或凹的）.Th2 (拐点的判别定理 1)若在0 x处( )0fx ， （或( )fx不存在） ，当x变动经过0 x时，( )fx变号，则00(,()xf x为拐点.1313Th3 (拐点的判别定理2)设( )f x在0 x点的某邻域内有三阶导数，且( )0fx ，( )0fx ，则00(,()xf x为拐点弧微分

23、，弧微分，曲率的概曲率的概念，曲率念，曲率半径半径1.弧微分：21.dSy dx2.曲率：曲线( )yf x在点( , )x y处的曲率322.(1 )yky对于参数方程( ),( )xtyt3222( )( )( )( ). ( ) ( )ttttktt3.曲率半径： 曲线在点M处的曲率(0)k k 与曲线在点M处的曲率半径有如下关系：1.k(三三)一元函数积分学一元函数积分学考试内容考试内容对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念原函数和原函数和不定积分不定积分的概念，的概念，不定积分不定积分的基本性的基本性质质基本性质1( )( )kf x dxkf x dx（0k 为常数）21212

24、( )( )( )( )( )( )kkf xfxfx dxf x dxfx dxfx dx3 求导：( )( )f x dxf x或微分：( )( )df x dxf x dx4( )( )F x dxF xC或( )( )dF xF xC（C是任意常数）基本积分基本积分公式公式111kkx dxxCk（1k ）1414211dxCxx 12dxxCx1lndxxCx(0,1)eelnxxxxaa dxCaadxCacossinsincosxdxxCxdxxC 221sectancosdxxdxxCx221csccotsindxxdxxCx 1cscln csccotsindxxdxxxCx

25、1secln sectancosdxxdxxxCxsec tanseccsc cotcscxxdxxCxxdxxC tanln coscotln sinxdxxCxdxxC 2221arctanarctan1dxxdxCxCaaaxx222arcsinarcsin1dxxdxCxCaaxx222111lnln2211dxaxdxxCCaaxxaxx2222lndxxxaCxa重要公式重要公式1515(1)( ), f xl l设在上连续，则0( )( )()lllfx dxfxfxdx00,2(),lfxfx d xfx当 （） 为 奇 函 数当 （） 为 偶 函 数2f xTa（ ）设（ ）

26、是以 为周期的连续函数， 为任意实数，则202( )( )( ).TaTTTafx dxfx dxfx dx22201(3)4aax dxa2200131,22 2(4)sincos1321,23nnnnnnnxdxxdxnnnnn当 为偶数当 为奇数20,5sincossincos0,nmnxmxdxnxmxdxnm-（ ）20sincossincos0nxmxdxnxmxdx20,coscoscoscos00,nmnxmxdxnxmxdxnm定积分的定积分的概念和基概念和基本性质，本性质，定积分中定积分中值定理值定理1 定积分的基本性质定积分的基本性质(1)( )( )( )bbbaaaf

27、 x dxf t dtf u du定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即(2)( )( )baabf x dxf x dx 1616(3)badxba(4) ( )( )( )( )bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx(5)( )( )(bbaakf x dxkf x dx k为常数）(6)( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx(7)( )( ), , ,( )( ).bbaaf xg x xa bf x dxg x dx比较定理：设则( ) , ( )0;baf xxa bf x dx推论：1.当0,时，2.|( )|( )|bba

28、af x dxf x dx(8)( ), , ,()( )()bamf xM xa bm Mm baf x dxM ba估值定理：设其中为常数，则(9)( ) , , ,( )() ( )baf xa ba bf x dxba f积分中值定理：设在上连续，则在上至少 一个使1( )( )baff x dxba平均值公式积分上限积分上限的函数及的函数及其导数，其导数，牛顿牛顿莱布尼兹莱布尼兹公式公式Th1( )xaf xabxabF xf t dtx设函数（ ）在 ，上连续， ，则变上限积分（ ）对 可导( )( )( )( )xaddFxF xf t dtfxdxdx且 有()( )( ),(

29、 ) ( )( ).xaF xf t dtFxfxx推论1 设=则1717( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )xxxf t dtfxxfxx推论2 ( ( )( )( ) ( )( ( )( )xxxxaaf t g x dtg xf t dt推论3()( )( )( ) ( )( )xagxf t dtg x fxxTh2( ),f xa bxa b设在上连续，,则( )( ) , xaf x dtf xa b是在上的一个原函数Th3( ),f xa b牛顿-莱布尼茨公式:设在上连续， ( )F x( )f x是的原函数，则的原函数，则( )( ) |( )( )bbaafx d

30、xF xF bF a不定积分不定积分和定积分和定积分的换元积的换元积分法与分分法与分部积分法部积分法1 不定积分：不定积分：分部积分法：分部积分法：udvuvvdu选择 u，dv 的原则：积分容易者选作 dv，求导简单者选为 u换元积分法：换元积分法：( )( ),f u duF uC设( )( )( )( )fxx dxfxdx则( )( )( ) ( )uxf u duF uCFxC设2 定积分定积分换元法换元法:f xa bxt设函数（ ）在 ， 上连续，若 （）满足：( )0.tt(1) ( )在 ， 上连续，且(2)( )().aabt 并且当 在，上变化时，1818tab（ ）的值

31、在 ， 上变化，则，则( )( )( ).bafx dxftt dt分部积分公式分部积分公式( ), ( ),u xv xa bu x v x设（）， （）在 ， 上具有连续导函数则( ) ( )( ) ( ) |( ) ( )aaabbbu x vx dxu x v xv x ux dx3 定积分不等式证明中常用的不等式定积分不等式证明中常用的不等式22(1)2abab1(2)0,2aaa(3)柯西不等式： 222( ) ( )( )( ),bbbaaaf x g x dxfx dxgx dxf xg xab其中（ ），（ ）在 ， 上连续有理函有理函数，三角数，三角函数的有函数的有理式和简

32、理式和简单无理函单无理函数的积数的积分，广义分，广义积分和定积分和定积分的应积分的应用用1 三角函数代换三角函数代换函数( )f x含根式所作代换三角形示意图22axsinxat22axtanxat22xasecxat1919有理函数积分有理函数积分(1)ln |AdxAxaCxa11(2)(1)()1 ()nnAAdxC nxanxa 20202222222424(3)4()()()24pxunnq pnadxdxdupq pxpx quax 令 +221211(4)()()2(1)()2()nnnx apdxdxaxpx qnxpx qxpx q（240pq）4 广义积分广义积分（1）无穷

33、限的广义积分（无穷积分）无穷限的广义积分（无穷积分）f x设（ ）连续，则( )lim( )baabf x dxf x dx+.=( )lim( )baaf x dxf x dxb-2.=3.( )( )( )ccf x dxf x dxf x dx（2）无界函数的广义积分（瑕积分）无界函数的广义积分（瑕积分）01.( )lim( ),( )bbaaf x dxf x dxxbf x 当时，02.()lim(),(bbaafx dxfx dxxafx 当时 ， （ ）00.( )lim( )lim( )(bcbaacfx dxfx dxfx dxxcfx 当时，（ ）2121(四四) 向量代数

34、和空间解析几何向量代数和空间解析几何考试内容考试内容对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念向量的概念，向量的线性运算，1.向量：既有大小又有方向的量，又称矢量.2.向量的模：向量a的大小.记为a.3.向量的坐标表示：若向量用坐标表示 , , axiyjzkx y z，则222axyz4 向量的运算法则：加减运算设有矢量111 ,ax y z，222,bxyz，则121212,.abxxyyzz.数乘运算数乘运算矢量a与一数量之积a，000,0,a aaaa aa即与 同向0=0,即为零矢量-即与 反向设111 ,ax y z，则111,.axyz向量的数量积和向量积，向量的混合积，1 矢量的

35、数积（点积，内积） ：矢量a与b的数量积cos,.a ba ba b设111 ,ax y z，222,bxyz，则121212.a bx xy yz z2 矢量的向量积（叉积，外积） ：设有两个向量a与b，若2222一个矢量c，满足如下条件（1）sin( , )ca ba b；（2）,ca cb，即c垂直于a，b所确定的平面；（3）a，b，c成右手系.则称矢量c为矢量a与b的矢量积，记ca b.设111 ,ax y z222,bxyz，则111111111222222222.ijkyzx zxya bxyzijkyzxzxyxyz3 混合积：设有三个矢量, ,a b c，若先作a，b的叉积a

36、b，再与c作点积()a bc，则这样的数积称为矢量a，b，c的混合积，记为( , , )a b c，即( , , )().a b ca bc设111 ,ax y z，222,bxyz，333,cxyz，则111222333( , , )xyza b cxyzxyz两向量垂两向量垂直、平行直、平行的条件，的条件，两向量的两向量的1 向量之间的位置关系及结论设111 ,ax y z，222,bxyz，333,cxyz2323夹角，向夹角，向量的坐标量的坐标表达式及表达式及其运算，其运算，单 位 向单 位 向量，方向量，方向数与方向数与方向余弦，余弦，（1）12121200aba bx xy yz

37、z；（2）111222/0 xyzaba bxyz；其中222,xyz之中有一个为 “0” ， 如20 x ， 应理解为10 x ；（3）a，b不共线 不全为零的数, 使0ab；（4）矢量a与b的夹角，可由下式求出121212222222111222cos()x xy yz za bxyzxyz；（5）a，b，c共面 不全为零的数, ,v ，使0abvc或者( , , )0a b c 2 单位向量：模为 1 的向量. 向量a的单位向量记作0a，0222222222,.axyzaaxyzxyzxyz3 向量的方向余弦：222222222cos,cos,cos,xyzxyzxyzxyz2424其中

38、, 为向量a与各坐标轴正向的夹角.4 单位向量的方向余弦：显然0cos,cos,cos a，且有222coscoscos1.曲面方程曲面方程和空间曲和空间曲线方程的线方程的概念，平概念，平面方程，面方程，直 线 方直 线 方程，平面程，平面与平面、与平面、平面与直平面与直线、直线线、直线与直线的与直线的以 及 平以 及 平行、垂直行、垂直的条件，的条件，点到平面点到平面和点到直和点到直线的距离线的距离1 平面方程(1)一般式方程0AxByCzD，法矢量 , , nA B C，若方程中某个坐标不出现，则平面就平行于该坐标轴，例如 平面0/AxCzDy轴(2)平面的点法式方程000()()()0A

39、 xxB yyC zz000(,)M xyz为平面上已知点， , , nA B C为法矢量(3)三点式方程111212121313131xxyyzzxx yy zzxx yy zz1111(,)Mx y z,2222(,)Mxyz,3333(,)Mxyz为平面上的三个点(4)截距式方程1xyzabc，, ,a b c分别为平面上坐标轴上的截距，即平面通过三点( ,0,0),(0, ,0),(0,0, )abc2 直线方程一般式方程(两平面交线)：1111222200A xB yC xDA xB yC xD12平面平面平面1与平面2的法矢量分别为1111,nA B C，25252222,nA B

40、 C， 直线的方向矢量为12111222ijksnnA B CA B C(2)标准式方程000 xxyyzzlmn000(,)M xyz为直线上已知点， , sl m n为直线的方向矢量(3)两点式方程111212121xxyyzzxxyyzz其中1111(,)Mx y z，2222(,)Mxyz为直线上的两点(4)参数式方程000 xxltyymtzznt000(,)M xyz为直线上已知点， , sl m n为直线的方向矢量3 平面间的关系设有两个平面： 平面1：11110A xB yC zD平面2：22220A xB yC zD(1)平面1/平面2111222ABCABC(2)平面1平面

41、21212120A AB BC C(3)平面1与平面2的夹角，由下式确定121212222222111222cosA AB BC CABCABC26264 平面与直线间关系直线000:xxyyzzLlmn平面1：11110A xB yC zD(1)/0LAlBmCn(2)ABCLlmn(3)L与的夹角，由下式确定222222sinAlBmCnABClmn5 直线间关系设有两直线：直线1111111:xxyyzzLlmn直线2222222:xxyyzzLlmn(1)11112222/lmnLLlmn(2)121 212120LLl lm mn n(3)直线1L与2L的夹角，由下式确定1 2121

42、2222222111222cosl lm mn nlmnlmn6 点到平面的距离：000(,)M xyz到平面:0AxByCzD的距离为000222AxByCzDdABC7 点到直线的距离：000(,)M xyz到直线27271111111:xxyyzzLlmn距离为0101011012221ijkxxyyzzlmnM MM PdM Plmn球面，母球面，母线平行于线平行于坐标轴的坐标轴的柱面，旋柱面，旋转轴为坐转轴为坐标轴的旋标轴的旋转曲面的转曲面的方程，方程，准线为各种形式的柱面方程的求法(1) 准线为,0:0fx yz,母线/ z轴的柱面方程为,0f x y ,准线为,0:0 x zy,

43、母线/ y轴的柱面方程为,0 x z,准线为,0:0y zx,母线/ x轴的柱面方程为,0y z.(2) 准线为, ,0:, ,0fx y zg x y z,母线的方向矢量为,l m n的柱面方程的求法首先,在准线上任取一点, ,x y z,则过点, ,x y z的母线方程2828常用的二常用的二次曲面方次曲面方程及其图程及其图形，空间形，空间曲线的参曲线的参数方程和数方程和一般方一般方程，空间程，空间曲线在坐曲线在坐标面上的标面上的投影曲线投影曲线方程方程.为XxYyZzlmn其中, ,X Y Z为母线上任一点的流动坐标,消去方程组, ,0, ,0fx y zg x y zXxYyZzlmn

44、中的, ,x y z便得所求的柱面方程常见的柱面方程名称方程图形圆柱面222xyRxyzo椭圆柱面22221xyabxyz双曲柱面22221xyab-aoaxyz抛物柱面22,0 xpy pzyx2929标准二次方程及其图形标准二次方程及其图形名称方程图形椭球面2222221xyzabc(, ,a b c均为正数)obczyx单叶双曲面2222221xyzabc(, ,a b c均为正数)双叶双曲面2222221xyzabc(, ,a b c均为正数)椭圆的抛物面22222xypzab(, ,a b p为正数)3030双曲抛物面(又名马鞍面)22222xypzab(, ,a b p均为正数)二

45、次锥面2222220 xyzabc(, ,a b c为正数)oyxz(五五)多元函数微分学多元函数微分学考试内容考试内容对应公式、定理、概念对应公式、定理、概念多元函数多元函数的概念，的概念，二元函数二元函数的几何意的几何意义，二元义，二元函数的极函数的极限和连续限和连续的概念，的概念，二元函数( , )zf x y连续，可导（两偏导存在）与可微三者的关系如下：可导可微函数连续“ ”表示可推出用全微分定义验证一个可导函数的可微性，只需验证：( ,)( ,)lim0 xyzfx yxfx yy 是否为有界闭区有界闭区域上多元域上多元连续函数连续函数的性质，的性质，基本原理基本原理3131多元函数

46、多元函数偏导数和偏导数和全微分，全微分，全微分存全微分存在的必要在的必要条件和充条件和充分条件，分条件，1()( , )( , ),( , ),( , )( , )xyyxxyyxThzf x yfx yfx yDfx yfx y求偏导与次序无关定理设的两个混合偏导数在区域 内连续 则有2()( , )( , ),Thzf x yP x yzzzzdzdxdyxyxy可微与偏导存在的关系定理 若在点处可微 则在该点处必存在 且有3()( ,),( ,)( ,)( ,)( ,)Thzzfx yP x yyP x yzfx yP x y偏 导 存 在 与 可 微 的 关 系 定 理z若的 两 个

47、偏 导 数在x上 的 某 领 域 内 存 在 ,且 在连 续 ,则在点 处 可 微多元复合多元复合函数、隐函数、隐函数的求函数的求导法，二导法，二阶 偏 导阶 偏 导数，方向数，方向导数和梯导数和梯度，度，1 复合函数微分法复合函数微分法(1)( , ),( , ),( , ),zf u v ux y vx y设则zzuzvxuxvxzzuzvyuyv y (2)( , ),( ),( ),zf u v ux vxz duz dvzu dxv dx设dz则称之为 的全导数dx(3)( , , ),( , ),( , ),0zf x u v ux y vx yzffufvxxuxvxzfufvy

48、uyvy设则注：注：复合函数一定要设中间变量，抽象函数的高阶偏导数，其中间变量用数字 1，2，3表示更简洁.32322 隐函数微分法隐函数微分法 ( , )(1)( , )0, ( , )xyFx ydyF x ydxFx y 设则 ( , , ) ( , , )(2) ( , , )0, ( , , ) ( , , )yxzzFx y zFx y zzzF x y zxFx y zyFx y z 则(3)( ),( ),yy x zz xF(x,y,z)=0设由方程组确定的隐函数G(x,y,z)=0,dy dzdx dx则可通过,dy dzdx dx解关于的线性方程组0:0 xyzxyzdy

49、dzFFFdxdydydzGGGdxdx ,yzxyzxdydzFFFdxdxdydzGGGdxdx 来求解方向导数和梯度Th1 设( , )zf x y在000(,)Mxy处 可 微 ， 则( , )f x y在 点000(,)Mxy沿任意方向(cos ,cos)l存在方向导数且000000(,)(,)(,)coscosf xyf xyf xylxy在平面上l除了用方向角表示外也可用极角表示：(cos ,sin )l，0,2 l是 的极角，此时相应的方向导数的计算公式为000000(,)(,)(,)cossinf xyf xyf xylxyTh2 设三元函数( , , )uf x y z在0

50、000(,)Mxyz处可微，则( , , )uf x y z在点0000(,)Mxyz沿任意方向(cos ,cos,cos )l存在方向导数且有000000000(,)(,)(,)coscosf xyzf xyzf xyzlxy3333000(,)cosf xyzz梯度：( , )zf x y在点0M的方向导数计算公式可改写成000000(,)(,)(,)(,) (cos ,cos)f xyf xyf xylxy000000( (,)(,) cos( (,),grad f xylgradf xygrad f xyl这里向量000000(,)(,)(,)(,)f xyf xygradf xyxy