2022年浙教版八年级数学下册-第1章-二次根式-知识点总结 .pdf

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1、奔驰教育个性化辅导讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义【例 2】假设式子13x有意义，则x 的取值范围是举一反三：1、使代数式221xx有意义的 x 的取值范围是2、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点Pm ，n的位置在A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例 3】假设 y=5x+x5+2009，则 x+y= 解题思路：式子aa0，50,50 xx5x，y=2009，则 x+y=2014 举一反三：1、假设11xx2()xy，则xy的值为A 1 B1 C2 D3 3、当a取什么值时，代

2、数式21 1a取值最小，并求出这个最小值。已知 a 是5整数部分， b 是5的小数部分，求12ab的值。假设17的整数部分为x，小数部分为y，求yx12的值 . 知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到2. ()()aa a20注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 3. aaa aa a200| |()()注意： 1字母不一定是正数2能开得尽方的因式

3、移到根号外时，必须用它的算术平方根代替3可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4. 公式aaa aa a200| |()()与()()aa a20的区别与联系1a2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数2()a2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数 3a2和()a2的运算结果都是非负的【典型例题】【例 4】假设22340abc，则cba举一反三： 1、已知直角三角形两边x、y 的长满足 x24652yy0，则第三边长为. 2、假设1ab与24ab互为相反数，则2005_ab。公式)0()(2aaa的运用【例 5】 化简：21(3)aa

4、的结果为A、42a B 、0 C、2a4 D 、4 举一反三：3 已知直角三角形的两直角边分别为2和5，则斜边长为公式)0a(a)0a(aaa2的应用【例 6】已知2x,则化简244xx的结果是A、2x B、2xC 、2xD 、2x举一反三：2、化简2244123xxx得A2 B44x C 2 D44x3、已知0a，化简求值：22114()4()aaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 【例 7】如果表示 a，b 两个实数的点在数轴上的位置如下图，那么化简ab+2()ab的结果等于 A 2b B2b C 2a D

5、2a 举一反三： 实数a在数轴上的位置如下图：化简：21(2)_aa【例 8】化简21816xxx的结果是 2x-5 ，则x的取值范围是Ax为任意实数B1x4 Cx1 Dx1 举一反三： 假设代数式22(2)(4)aa的值是常数2，则a的取值范围是4a2a24a2a或4a【例 9】如果11a2aa2，那么 a 的取值范围是 A. a=0 B. a=1 C. a=0或 a=1 D. a1 举一反三：1、如果2693aaa成立，那么实数a 的取值范围是.0.3 ;.3 ;.3A aBaCaDa2、假设03)3(2xx，则x的取值范围是A 3xB3xC3xD3x【例 10】化简二次根式22aaa的结

6、果是A 2a (B)2a (C)2a (D)2a1、把根号外的因式移到根号内：当b0 时，xxb；aa11) 1(。知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：1最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式2、同类二次根式可合并根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】【例 11】以下根式中能与3是合并的是 ( ) 1012aoba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 A.8

7、B. 275 D. 21举一反三：1、以下各组根式中，是可以合并的根式是 A 、318和 B 、133和 C、22a bab和 D 、11aa和2、如果最简二次根式83a与a217能够合并为一个二次根式, 则 a=_. 知识点四：二次根式计算分母有理化【知识要点】1分母有理化定义： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba与ba等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，a

8、xbyaxby与分别互为有理化因式。3分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例 12】 把以下各式分母有理化（1）2525abba25353举一反三：1、已知2323x，2323y，求以下各式的值：1xyxy2223xxyy知识点五：根式比较大小【知识要点】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 1、根式变形法当0,0ab时，如果ab，则ab；如果ab，则ab。2、平方法当0,0ab时，如果22a

9、b，则ab；如果22ab，则ab。3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：0abab；0abab8、求商比较法它运用如下性质：当a0，b0 时，则：1aabb；1aabb【典型例题】【例 13】 比较3 5与5 3的大小。【例 14】比较231与121的大小。【例 15】比较76与65的大小。【例 16】比较73与873的大小。已知：，求的值二次根式和一元二次方程经典练习题1. 把1aa的根号外的因式

10、移到根号内等于。2. 假设1ab与24ab互为相反数，则2005_ab。3. 假设23a，则2223aa等于A. 52a B. 12a C. 25a D. 21a4. 假设1a，则31a化简后为A. 11aa B. 11aa C. 11aa D. 11aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 5. 计算：222112aa的值是A. 0 B. 42a C. 24a D. 24a或42a6. 假设x24y2x2y成立，则 x、y 符合的条件是A. x0，y0 B. x0，y 为一切实数C. x0，y0 D. 以上都不对7

11、. 假设22m n和3223mn都是最简二次根式，则_,_mn。8. 已知0 xy，化简二次根式2yxx的正确结果为 A. y B. y C. y D. y9. 假设12x，则224421xxxx化简的结果是 A. 21x B. 21x C. 3 D. -3 10. 假设2182102xxxx，则x的值等于 A. 4 B. 2 C. 2 D. 411. 假设3的整数部分为x，小数部分为y，则3xy的值是 A. 3 33 B. 3 C. 1 D. 3 125aa与34ba是同类二次根式，则_,_ab。假设最简二次根式23412a与22613a是同类二次根式，则_a。13、以 - 3 和 7 为根

12、且二次项系数为1 的一元二次方程是14、如果51222mxmx是一个完全平方式，则m_15、已知12xx，是一元二次方程224(35)60 xmxm的两个实数根，且23|21xx，则 m=_16、已知12xx，是方程04442aaxax的两实根，是否能适当选取a 的值，使得)2)(2(1221xxxx的值等于45_17、关于 x 的二次方程)0(04) 1(22mxmmx的两根一个比1 大，另一个比1 小，则 m 的取值范围是 _18、已知二次方程010) 32(2kxkkx的两根都是负数，则k 的取值范围是 _19、方程04) 1(222mxmx的两个实根，且这两根的平方和比这两根之积大21

13、，那么 m = _20、一元二次方程052kxx的两实根之差是3，则_k21、已知实数x满足01122xxxx，那么xx1的值是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 A1 或- 2 B- 1 或 2 C1 D- 2 22、关于 x的方程0222ttxx的两实根满足2) 1)(1(21xx，则114tt的值是A- 5 B5 C- 9 D-15 23、已知a、b、c为 ABC的三边，试判断关于x的方程)(02)(2cbcbaxxcb的根的情况24、已知12xx，是关于 x 的方程0)4(412kkkxx的两个实根， k

14、取什么值时，1237(2)(2)4xx25、已知关于x的方程220 xkxkn有两个不相等的实数根1x、2x，且1212(2)8(2)150 xxxx1求证：0n 2试用k的代数式表示1x 3当3n时，求k的值26、已知：21xx、是关于x的方程22210 xaxa的两个实数根且122211xx，求a的值27、已知关于x的一元二次方程241210 xmxm1求证：不管m为任何实数， 方程总有两个不相等的实数根2假设方程两根为21xx 、，且满足121112xx，求m的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 28、已知

15、关于x的方程0141)1(22kxkx的两根是一个矩形两邻边的长1k取何值时，方程在两个实数根；2当矩形的对角线长为5时，求k的值29. 200020013232_。30. 计算及化简：. 2ababababab22aabbabaabaabbabbab31、已知：3232,3232xy，求32432232xxyx yx yx y的值。32、已知：1110aa，求221aa的值。33、已知：, x y为实数，且113yxx，化简：23816yyy。34、已知11039322yxxxyx，求的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页